固体物理第五章习题.ppt

1 第五章习题 2 1 晶格常数为a的一维晶体中 电子的波函数为 1 2 f是某一函数 求电子在以上状态中的波矢 3 由 固体物理教程 5 14 式 求解 可知 在一维周期势场中运动的电子波函数满足 由此得 于是 1 因此得 4 若只取布里渊区内的值 则有 2 令 得 由上式知 所以有 由此得在布里渊区内的值为k 0 5 2 一维周期势场为 其中a 4b W为常数 试画出此势能曲线 并求出势能的平均值 6 图 一维周期势场 求解 7 由图所示 由于势能有周期性 因此只有一个周期内求平均即可 于是得 8 3 用近自由电子模型求解上题 确定晶体的第一及第二个禁带宽度 9 根据教科书 5 35 式知禁带宽度的表达式为Eg 2 Vn 其中Vn是周期势场V x 付里叶级数的系数 该系数可由 固体物理教程 5 22 式 求解 求得 第一个禁带宽度为 10 第二禁带宽度为 11 5 对简立方结构晶体 其晶格常数为a 1 用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带 2 分别画出第一布里渊区 110 方向的能带 电子的平均速度 有效质量以及沿 110 方向有恒定电场时的加速度曲线 12 求解 非简并s态电子的能带 式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢 对于简单立方晶体 任一格点有6个最近邻 取参考格点的坐标为 0 0 0 6个最近邻坐标为 简单立方晶体非简并s态电子的能带则为 13 2 在 110 方向上能带变成 其中 在 110 方向上 在第一布里渊区内 电子的能带如图所示 14 电子的平均速度 平均速度曲线 15 有效质量曲线 电子的有效质量 16 在 110 方向上有恒定电场情况下 电子受的力 电子的加速度 设电场方向与 110 方向相反 加速度曲线则如图 17 7 用紧束缚方法处理体心立方晶体 求出 1 s态电子的能带为 2 画出第一布里渊区 111 方向的能带曲线 3 求出带底和带顶电子的有效质量 18 1 用紧束缚方法处理晶格的s态电子 当只计及最近邻格点的相互作用时 其能带的表示式为 解答 是最近邻格矢 对体心立方晶格 取参考格点的坐标为 0 0 0 则 个最近邻格点的坐标为 19 将上述8组坐标代入能带的表示式 得 20 2 在 111 方向上 其中 且第一布里渊区边界在 于是能带化成 第一布里渊区 111 方向的能带曲线 21 3 由能带的表示式及余弦函数的性质可知 当kx ky kz 0时 Es取最小值 即kx ky kz 0是能带底 电子有效质量为 同理可得 其他交叉项的倒数全为零 22 而在布里渊区边界上的 处是能带顶 电子的有效质量为 其他交叉项的倒数也全为零 23 13 平面正三角形结构 相邻原子间距为a 试求 1 正格矢和倒格矢 2 画出第一和第二布里渊区 求第一布里渊区内切圆半径 24 1 正格原胞的基矢如图所示取为 解答 i和j是相互垂直的单位矢量 取单位矢量k垂直与i和j 构成的体积 则 倒格原胞的基矢为 25 2 选定一例格点为原点 原点的最近邻倒格矢有6个 它们是 b1 b2 b1 b2 这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分 以原点为对称心正六边形是第一布里渊区 正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区 第一布里渊区内切圆半径 26 19 证明迪 阿哈斯 范阿耳芬效应的周期为 其中 是kz 0平面在费密球上所截出的面积 27 由热力学可知 当磁感应强度B增加dB时 磁场H所作的功 解答 即系统内能的微分 其中Vc是晶体体积 由电磁学可知 磁感应强度 磁场和磁化率的关系是 28 由 1 2 两式可得 其中 0是真空中的磁导率 由上式可以看出 磁化率随磁场的倒数作振荡 应是系统内能微商 U B随1 B作振荡的反映 当不存在磁场时 能态在波矢空间分布是均匀的 当由磁场存在时 能态重新分布 磁场的作用使电子的量子态高度简并 此时电子的状态密度为 29 令 则电子系统的能量 对上式求微分 30 可见 每当时 U B将成为极大值 磁化率将变成极小值 设B Bi时 对应磁化率的一个极小值 相邻的一个极小值对应B Bi 1 因为 所以 式中有一项 31 上式的 1 B 是一个固定的常量 这说明 每当两个1 B的间距 周期 等于这一常量时 磁化率曲线就多一个极小 也就是说 磁化率以磁场倒数 1 B 作振荡 因为kz 0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有 其中我们假设Bi 1大于Bi 由以上两式可得 32 20 从E E0到E EF能带都为 其中mx my mz都是大于零常数 求电子能态密度 其中n为单位体积内的电子数 33 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 解答 将上式与椭球公式 比较可知 在波矢空间内电子等能面是一椭面 与椭球的体积4 abc 3比较可得到 能量为E的等能面围成的椭球体积 34 能量区间E E dE内电子的状态数