一阶倒立摆模型建立与正确性分析

姓名 姓名 戴鹏 指导老师 指导老师 胡立坤 成绩 成绩 学院 学院 电气工程学院 专业 专业 自动化 班级 班级 自 093 年 月 日 实验内容 实验内容 一阶倒立摆模型建立与正确性分析 其他组员 其他组员 黄育尚 实验时间实验时间 2013 年 1 月 18 日星期五 实验地点实验地点 综合楼 702 实验目的实验目的 学会建立一阶倒立摆模型建立 并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性 实验设备与软件实验设备与软件 MATLAB Simulink 实验原理实验原理 对于倒立摆系统 由于其本身是自不稳定的系统 实验建模存在一定的困难 但是经过 假设忽略掉一些次要的因素后 倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统 可以在惯性 坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建 立直线型一阶倒立摆系统的数学模型 微分方程的推导 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后 可将直线一阶倒立摆系统抽象成小 车和匀质杆组成的系统 图一直线一阶倒立摆系统图 参数参数大小大小 摆杆质量摆杆质量 m m 0 109kg 小车质量小车质量 M M 1 096kg 摆杆转动轴心到摆杆质心的长度摆杆转动轴心到摆杆质心的长度 l l 0 25m 摆杆绕其重心的转动惯量摆杆绕其重心的转动惯量 J J 0 0034kg 2 摆杆与小车间的摩擦系数摆杆与小车间的摩擦系数 b1b1 0 001N m s 1 小车水平运动的摩擦系数小车水平运动的摩擦系数 b2b2 0 1N m s 1 摆杆与垂直向上的夹角摆杆与垂直向上的夹角 取小车质量 M 1 096kg 摆杆质量 m 0 109kg 摆杆与小车间的摩擦系数 b1 0 001N m s 小车水平运动的摩擦系数 b2 0 1N m s 摆杆转动轴心到摆杆质心的长度 1 1 l 0 25m 加在小车上的力 F 小车位置 X 摆的角度 摆杆惯量 J 一 忽略摩擦一 忽略摩擦 摆杆绕其重心的转动方程为 J l lsin cos 1 摆杆重心的水平运动可描述为 m x 2 2lsin 2 摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 mg m x l 2 2cos 3 小车水平方向运动可描述为 F M 2 2 4 由式 2 和式 4 得到 M m x ml F cos sin 2 5 由式 1 式 2 和式 3 得 J mml mgl 2 cos sin 6 整理式 5 和式 6 得 J m 2 J m 2 sin 2 2 2 sin cos J m 2 2 2cos 2 mlcos 2 2sin cos 2 mglsin 2 2cos 2 2 7 若只考虑 0 在其工作点附近 0 10 的细微变化 这时可近似认为 0 sin cos 1 J 由此得到的简化近似模型为 2 3 2 2 2 2 2 代入数值得本实验中倒立摆的简化模型 0 73 0 89 32 18 2 67 二 有摩擦 定义逆时针转动为正方向 设摆杆的重心为 则 1 sin cos 根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程 1 摆杆绕其重心转动的力学方程为 J l l b1 sin cos 2 式中 J 为摆杆绕其重心的转动惯量 这里 杆重力的转动力 23 12 123 JmL Lml 矩为 0 小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为 0 1 摆杆重心的水平动力学方程为 2 2 sin x dxl mN dt 3 2 摆杆重心的垂直动力学方程为 2 2 cos y dl mNmg dt 4 3 小车的水平动力学方程为 2 2 2 x d xdx MFNb dtdt 5 由式 3 5 得 2 2 cossinMm xxmlmlF b 6 由式 2 3 4 得 2 1 cossin0Jmlbmlxmgl 7 于是 设计u F得单级倒立摆动力学方程为 2 22 21 2 222 sincossincoscos sin Mm mglmlum lmlb xMm b J Mmm lMml 8 2222 22 21 2 222 sinsincos cos sin JmluJmlmlm l gJmlb xmlb x J Mmm lMml 9 令 计及上表所给参数 则系统的状态空间表 zxx Tyx 达式为 12 zz 2222 22 4333221 43 2 2 222 3 sinsincos cos sin JmluJmlmlzzm l gzzJmlb zmlb zz z J Mmm lzMml 10 34 zz 2 22 334332231 4 4 2 222 3 sincossincoscos sin Mm mglzmluzm l zzzmlb zzMm b z z J Mmm lzMml 11 11 yz 23 yz 封装图为 Fcn 内程序为 function y fcn u z2 z3 z4 J M m g l b1 b2 This block supports an embeddable subset of the MATLAB language See the help menu for details 注意修改采样时间等参数 采样时间 脉冲 运行时间 y J m l 2 u J m l 2 m l z4 2 sin z3 m 2 l 2 g sin z3 cos z3 J m l 2 b2 z2 m l b1 z4 cos z3 J M m m 2 l 2 power sin z3 2 M m l 2 实验内容 方法 过程与分析实验内容 方法 过程与分析 1 实验内容 完整地推导模型 并用 MATLAB Simulink 对模型进行封装 结合物理现象与数值曲线 从以下几个方面验证模型的正确性 1 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为脉冲信 号 面积为单位 1 分析波形得到结论 图 1 1 图 1 2 当给一 面积为单位 1 脉冲信号小车时 小车向右变加速运动 摆 杆逆时针摆动 当角度超过 2 时 小车做减加速运动 超过 时 小 车加速运动 继而摆杆角度继续增加超过 3 2 小车加速运动 但无摩 擦情况下 小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零 摆杆一部分 势能转化为动能 从而摆杆角度不能达到 2 当角度达到最大后角度开 始减小 摆杆顺时针运动 在如上情况摆杆往复摆动 小车不断向右运动 2 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为脉冲 信号 面积为单位 1 分析波形得到结论 图 2 1 摆杆角度初值为 时 给小车一脉冲信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆顺 时针摆动 角度减小 小车减速运动 而脉冲信号给的能量有限 摆杆角度不能小到 2 当摆杆顺时针摆到最高点时 摆杆改为逆时针摆动 角度不断增大 当大于 时 小车改为加速运动 摆杆逆时针摆到最高点时 摆杆改为顺时针摆动 角度减小 在无摩擦情况下 如上情况摆杆往复摆动 小车不断向右运动 3 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为阶跃 信号 幅度为 1 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 时 给小车一阶跃信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆顺 时针摆动 此时摆杆速度最大 角度减小 小车减速运动 但阶跃信号给的能量有限 摆杆角度不能减小到 0 当摆杆顺时针摆到最高点时 摆杆改为逆时针摆动 角度不断 增大 但在无摩擦情况下 由于小车和摆杆作为一个整体的动量不为零 而小车的能 量不可能全部转化为摆杆的能量 所以摆杆角度不会超过 而是改为顺时针运动 如上情况摆杆往复摆动 小车不断向右运动 4 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为阶跃信 号 幅度为 1 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 0 时 给小车一阶跃信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆逆时针摆 动 角度增大 小车变加速运动 当角度超过 2 时 小车做减加速运动 超过 时 小车变加速运动 继而摆杆角度继续增加超过 3 2 小车加速运动 但无摩擦情况下 小车动量由恒定外力维持 摆杆角度达到 2 由于摆杆方向为逆时针 所以摆杆会越过 原点 角度不断增大 如上情况摆杆不断逆时针摆动 小车不断向右运动 5 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 01 0 T时 无外力作用下 分析 波形得到结论 摆杆角度初值为 0 01 时 此时摆杆受重力作用 摆杆逆时针运动 摆杆角度增大 在没有 摩擦的情况下 由于摆杆摆杆一部分势能转化为小车的动能 摆杆不能回到原始高度 即 摆杆角度不能达到 2 0 01 当达到最大时 摆杆改为顺时针运动 由此往复摆动 小 车也在原来位置进行极小范围的左右往复移动 然而 系统模型的仿真图却显示在 90s 左 右 小车往左边跑 而且摆杆角度在 160s 时出现飙升 这与客观实在不符 6 在没有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 20 T时 无外力作用下 实际 上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 时 给摆杆一个 20rad s 的逆时针初速度 摆杆逆时针摆动 由于 摆杆的带动 小车往右运动摆杆逆时针摆动 角度增 与此同时 摆杆将一部分能量传给 小车 在无摩擦的情况下 摆杆即使失去一小部分能量 然而由于摆杆的初速足够大 摆 杆仍然角度超过 2 由此之后一直增大 小车和摆杆作为一个整体 当无外部因素的干 扰情况下 给摆杆一个初速 即给小车和摆杆这一整体一个动量 根据牛顿第一定律 小 车和摆杆这一整体不断向右运动 即小车不断向右移 然而 图 6 1 仿真图却显示 当经 过 100 左右 小车速度减到 并反方向加速运动 这与客观规律不符 7 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为脉冲信号 面积为单位 1 分析波形得到结论 当给一 面积为单位 1 脉冲信号小车时 小车向右运动 摆杆逆时针摆动 小车做 减加速运动 超过 时 小车加速运动 继而摆杆角度继续增加超过 3 2 小车加速运 动 小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零 摆杆一部分势能转化为动能 从而 摆杆角度不能达到 2 当摆杆达到最高时改为顺时针摆动 由此摆杆往复摆动 而由于 摩擦的存在 此后摆杆的摆幅不断减小 最后为 0 摆杆位于角度为 处 而小车的动能 在运动过程中不断被摩擦消耗 小车减速运动 最后停止 8 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为脉冲信 号 面积为单位 1 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 时 给小车一脉冲信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆顺时针摆 动 此时摆杆速度最大 角度减小 小车减速运动 而脉冲信号给的能量有限 摆杆角度 不能小到 2 当摆杆顺时针摆到最高点时 摆杆改为逆时针摆动 角度不断增大 当大 于 摆到最高点时 摆杆改为顺时针摆动 角度减小 由此摆杆往复运动 而由于摩擦的 存在 此后摆杆的摆幅不断减小 最后为 0 摆杆位于角度为 处 而小车的动能在运动 过程中不断被摩擦消耗 小车减速运动 最后停止 9 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为阶跃信 号 幅度为 1 分析波形得到结论 图 9 2 摆杆角度初值为 时 给小车一阶跃信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆顺时针摆 动 此时摆杆速度最大 角度减小 小车加速运动 而摆杆初速不够大以致使摆杆角度小 到 2 当摆杆顺时针摆到最高点时 摆杆改为逆时针摆动 角度不断增大 当摆杆角度 达到 左右 摆杆的水平速度不大于小车速度 因而摆杆不会逆时针远离 位置 进而 改为顺时针摆动 角度减小 由此摆杆往复运动 而由于摩擦的存在 此后摆杆的摆幅不 断减小 最后为 0 摆杆位于角度为 处 而小车由于外力的牵引 在运动过程中牵引力 大于等于摩擦力 小车不断向右运动 10 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 0 T时 在 10s 时给小车为阶跃信号 幅度为 1 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 时 给小车一阶跃信号 小车往右运动 由于惯性 摆杆逆时针摆 动 角度增大 由于摆杆的初速不足够大 在摩擦的干扰下 摆杆角度达不到 2 当达 到最大角时 摆杆改为顺时针摆动 由此往复摆动 但由于摩擦的存在 摆杆摆幅越来越 小 最后变为 0 摆杆位于角度为 处 而小车有外力一直牵引着 牵引力开始一段时间 大于摩擦力 小车加速运动 二十几秒后牵引力几乎等于摩擦力 小车匀速运动 11 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 0 01 0 T时 无外力作用下 分析波 形得到结论 图 11 2 摆杆角度初值为 0 01 时 此时摆杆受重力作用 摆杆逆时针运动 摆杆角度增大 由 于摩擦的干扰 摆杆不能回到原始高度 即摆杆角度不能达到 2 0 01 当达到最大时 摆杆改为顺时针运动 由此往复摆动 但由于摩擦的存在 摆杆摆幅越来越小 最后变为 0 摆杆位于角度为 处 而摆杆相对小车有了向右 0 1m 根据动量2 0 5 sin0 01 守恒 摆杆向右运动 小车离开原点向左运动一小段距离 12 在有摩擦情况下 当初始状态为 0 0 20 T时 无外力作用下 实际上 这种情况相当于给摆杆加脉冲信号 分析波形得到结论 摆杆角度初值为 时 给摆杆一个 20rad s 的初速度 由于摆杆的带动 小车往右运 动摆杆逆时针摆动 角度增大 而且由于摆杆的初速足够大 摆杆角度超过 2 并且不 断增大 由于摩擦的存在 摆杆速度在减小 最后摆杆逆