论多项式因式分解的一般方法

学 年 论 文 题目 题目 论多项式因式分解的一般方法论多项式因式分解的一般方法 学学 生 生 吴琼 学学 号 号 201412010124201412010124 院院 系 系 文理学院 专专 业 业 数学与应用数学 指导教师 指导教师 连铁艳 2015 年年 12 月月 24 日日 1 论多项式因式分解的方法 数学 141 班 吴琼 指导老师 连铁艳 陕西科技大学文理学院 陕西 西安 710021 摘要 多项式的因式分解是多项式乘法的逆运算 是代数式恒等变形的一个重要组成部分 也是处理数学问题的重要手段和工具 因式分解在代数式的预算 解方程等方面有极其广发的运用 本文对多项式因式分解的概念和方法进行了初步的探索 总结归纳了因式分解的几种方法 同时 说它在数学中的应用 关键词 多项式 因式分解 The Theory Of Polynomial Factorization Method ABSTRACT the inverse operation of polynomial factorization is polynomial multiplication it is an important part of the deformation of algebraic expression identity and is an important method of dealing with mathematics and tools factoring in the algebraic expression of the budget has extremely using equation and so on in this paper the concept and method of polynomial factorization has carried on the preliminary exploration sums up the methods of the factoring and said it in the application of mathematics KEY WORDS polynomial factoring 在高等数学中 多项式的因式分解渗入在各个层面 是很多解题过程中不可或缺的一部分 这使我们有必要对多项式的求解因式的方法进行研究 因式分解及唯一性定理 数域 上的多项式环内的每一个次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式 1 数域 上次数的多项式不能表示成数域 上的两个次数比的次数低的多项式的乘积 1 则该多项式为不可约多项式 的乘积 并且表达式唯一 即 其中 1 2 1 2 3 s 所谓唯一是指 若另有分解式其中 1 2 3 t 则 1 2 必有 s t 且适当排序后有 提公因式法 多项式中 每一都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式 通常 某些多项式的各项或 一些项有公因式 那么 我们可以把这个公因式提出来 从而将多项式化成两个因式或多个因式 的乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 提公因式法的关键在于能否找到公因式 首先看系数 当各项系数都是整数时 公因式的系 数取各项系数的最大公约数 再看字母 字母应取各项中相同字母的指数次数最低的 最后看多 项式中是否有不可约的比原多项式次数低的公共的多项式 且取其次数最低的 在提取公因式时 要注意其正负 2 公式法 将乘法公式反过来 就可以将某些多项式因式分解 这种方法叫公式法 平方差公式 2 2 完全平方式 2 2 2 2 立方和公式 3 3 2 2 立方差公式 3 3 2 2 完全立方公式 3 3 2 3 2 3 3 还有几种常用的公式 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 分组分解法 分组分解法是分解较复杂的多项式的一种方法 在能分组的多项式往往有四项或者更多 一 般分组为两两分组或三一分组 常用于多项式中的某些项分别进行合并后会有公因式或者可用公 式化简等 需要注意的是 在运用分组分解法时 需要对多项式进行细致的观察 善于发现其中 的特点 还要有一定的预见性 能预见下一步是否可以继续分解 分解要恰当 例 解原式 十字相乘法 十字相乘法多用于二次三项多项式的分解 将二次项系数和常数项进行分 2 0 解 然后交叉相乘 即十字相乘 十字左边的上下分别为二次项系数的两个因式 十字右边 1 2 上下分别为常数项的两个因式 按十字交叉相成后再相加可得二次三项式的系数 1 2 1 那么二次三项式就可以分解为两个因式 与的乘积 即 1 2 2 1 1 1 2 2 2 这种方法的关键在于观察二次三项式的各项系数 他们是否满足交叉相乘 1 1 2 2 求和凑中 例 把二次三项多项式进行因式分解 2 3 4 解 原式 1 4 拆项添项法 在多项式乘法运算中 常将几个同类项合并为一个 或者将两个仅符号相反的同类项相互抵 消为零 在对某些多项式因式分解时 需要在多项式中添加两个仅符号相反的项或把多项式中的 某些项拆成两项或多项 而多项式没有改变 但又便于进行因式分解 例 3 7 2 16 12 解 原式 3 2 2 5 2 10 6 12 2 2 5 2 6 2 3 2 2 5 6 2 3 2 2 2 3 主元法 主元法是在分解含多个字母的多项式时 选取其中一个字母作为主元 其余字母看为常数项 并把多项式按主元的降幂排列 或升幂排列 再用因式分解的常用方法对其进行因式分解 例 2 3 6 3 15 39 2 7 2 2 16 237 2 32 2 13 解 原式 2 3 9 2 13 7 2 16 2 6 3 15 3 37 2 32 先抛开 只看 6 3 9 2 28 2 32 15 3 6 3 15 3 37 2 32 2 3 5 3 2 3 2 5 3 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式 可将其配成一个完全平方式 然后再利用平方差公式 就可将其分解 这种方法叫配方法 属于拆项 补项法的一种特殊情况 例 把多项式 因式分解 2 27 6 2 原式 2 2 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 应用因式定理 对于多项式 如果 那么必含有因式 0 0 对称式和轮换对称式 如果将一个多项式中任意两个字母对换 多项式恒等不变 那么这个多项式就叫做对称式 如果将一个多项式中的所有字母轮换 多项式恒等不变 那么这个多项式就叫做轮换对称式 简称轮换式 轮换对称式的性质 两个轮换对称式的和 差 积 商其结果仍是轮换对称式 例 分解因式 2 6 分析 令 则 故可确定是的一个因式 2 6 2 0 2 2 6 解 2 6 2 3 换元法 在因式分解时 有时可以选择多项式中的相同的部分换成另一未知数 然后进行因式分解 4 最后在转换回来 这种方法叫做换元法 例 分解因式 1 2 3 6 2 解 原式 2 7 6 2 5 6 2 设 则 2 5 6 2 7 6 2 所以 原式 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 求根法 因式定理 综合除法 令多项式 得根 则可分解为 0 1 2 1 2 因式定理 如果多项式 那么多项式必定含有因式 相反的 若含有因 0 式 那么 0 当 是有理数时 可用综合除法来确定 如果整系数多项式有 1 1 1 0 因式 p q 是互质的整数 则 一定是的约数 一定是的约数 0 先写出整系数多项式的首项系数和常数项的所有因数 然后以的因数为分母 的因 0 0 数为分子 做出所有可能得既约分数 如果有有理根 则必定在这些既约分数中 然后选择 试除数 代入原式是否为零 若不为零 用综合除法求其商式 例 分解多项式2 3 3 2 8 3 待定系数法 用待定系数法分解因式 首先按已知条件吧原式假设成若干个因式的乘积 这些因式中的系 数可先用字母表示 他们的值是待定的 根据恒等原理 建立待定系数方程组 求解方程 例 6