函数的极值与导数.ppt

1 3 2函数的极值与导数 目标引领 1 利用上节课导数的单调性作铺垫 借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义 利用定义求函数的极值 2 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性 通过学习体会极值是函数的局部性质 增强数形结合的思维意识 f x 0 f x 0 如果在某个区间内恒有 则为常数 复习回顾 1 函数的单调性与导数的关系 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 为这个区间内的减函数 2 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 3 已知函数f x 2x3 6x2 7 求f x 的单调区间 并画出其图象 复习回顾 观察画出的图象 回答下面问题 问题1 在点x 0附近的图象有什么特点 问题2 函数在x 0处的函数值和附近函数值之间有什么关系 问题3 在点x 0附近的导数符号有何变化规律 问题4 函数在x 0处的导数是多少 单调递增f x 0 单调递减f x 0 f 0 0 f x 0 f x 极大值点 f 0 极大值 分析讨论 函数在x 0附近的变化规律 你能尝试给出极大值的定义吗 f x 函数极大值的定义 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 若x0满足1 f x 0 2 在x0的两侧的导数异号 满足 左正右负 你能尝试给出函数在x 2处的结论吗 f x 0 f x f 2 极小值点 极小值 你能尝试给出极大值的定义吗 函数极小值的定义 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 若x0满足1 f x 0 2 在x0的两侧的导数异号 满足 左负右正 极大值与极小值统称为极值 x0叫做函数的极值点 思考3 观察图1 3 10 回答以下问题 问题1 找出图中的极值点 并说明哪些点为极大值点 哪些点为极小值点 问题2 极大值一定大于极小值吗 问题3 函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗 问题4 区间的端点能成为极值点吗 问题5 极值是相对于函数的定义域而言的吗 1 极值是一个局部概念 反映了函数在某一点附近的大小情况 2 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 3 函数的极大 小 值可能不止一个 而且函数的极大值未必大于极小值 关于极值概念的几点说明 4 函数的极值点一定在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 例1 1 下图是函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 2 如果把函数图象改为导函数的图象 哪些是极大值点 哪些是极小值点 f x 3x2当f x 0时 x 0 而x 0不是该函数的极值点 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 思考4 导数为0的点一定是极值点吗 能举例说明吗 导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件 例 求函数的极值 例题讲解 解 当时 y有极大值 并且 当时 y有极小值 并且 1 求导数f x 2 解方程f x 0 3 通过列表检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 进而确定函数的极值点与极值 求函数极值的步骤 例2 所以 当x 1是 函数的极大值是 2 当x 1时 函数的极小值是2 导函数的正负是交替出现的吗 不是 极大值 极小值 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况若f x 左正右负 则f x 为极大值 若f x 左负右正 则f x 为极小值 求导 求极点 列表 求极值 注意 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 练习1 判断下面4个命题 其中是真命题序号为 可导函数必有极值 可导函数在极值点