数学分析(2)期末试题

数学分析 数学分析 2 期末试题 期末试题 课程名称课程名称 数学分析 数学分析 适适 用用 时时 间间 试卷类别试卷类别 1 适用专业 年级 班适用专业 年级 班 应用 信息专业应用 信息专业 一 单项选择题一 单项选择题 每小题 3 分 3 6 18 分 1 下列级数中条件收敛的是 A B C D 1 1 n n 1 1 n nn 2 1 1 n n n 1 1 1 n n n 2 若是内以为周期的按段光滑的函数 则的傅里叶 Fourier 级数f 2 f 在 它的间断点处 x A 收敛于 B 收敛于 f x 1 0 0 2 f xf x C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 函数在上可积的必要条件是 xf ba A 有界 B 连续 C 单调 D 存在原 函数 4 设的一个原函数为 则 f xln x fx A B C D 1 x lnxx 2 1 x x e 5 已知反常积分收敛于 1 则 2 0 0 1 dx k kx k A B C D 2 2 2 2 2 4 6 收敛 则 231 ln ln ln 1 ln nn xxxx A B C 为任意实数 D xe xe x 1 exe 二 填空题二 填空题 每小题 3 分 3 6 18 分 1 已知幂级数在处条件收敛 则它的收敛半径为 1 n n n a x 2x 2 若数项级数的第个部分和 则其通项 和 1 n n u n 2 1 n n S n n u S 3 曲线与直线 及轴所围成的曲边梯形面积为 1 y x 1x 2x x 4 已知由定积分的换元积分法可得 则 1 0 b xx a e f e dxf x dx a b 5 数集的聚点为 1 1 2 3 1 n n n n 6 函数的麦克劳林 Maclaurin 展开式为 2 x f xe 65 三 计算题三 计算题 每小题 6 分 6 5 30 分 1 2 1 dx xx 2 ln xx dx 3 4 22 0 0 a axdx a 2 0 0 cos lim sin x x t dt x 5 2 0 1 sin2 x dx 四 解答题四 解答题 第 1 小题 6 分 第 2 3 小题各 8 分 共 22 分 1 讨论函数项级数在区间上的一致收敛性 2 1 sin n nx n 2 求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数 1 n n x n 3 设 将在上展为傅里叶 Fourier 级数 f xx f 五 证明题五 证明题 每小题 6 分 6 2 12 分 1 已知级数与都收敛 且 1 n n a 1 n n c 1 2 3 nnn abcn 证明 级数也收敛 1 n n b 2 证明 22 0 0 sin cos nn x dxx dx 66 试题参考答案与评分标准试题参考答案与评分标准 课程名称课程名称 数学分析数学分析 适适 用用 时时 间间 试卷类别试卷类别 1 适用专业 年级 班适用专业 年级 班 应用 信息专业应用 信息专业 一 一 单项选择题单项选择题 每小题 3 分 3 6 18 分 B B A C D D 二 二 填空题填空题 每小题 3 分 3 6 18 分 2 2 2 1 n uS n n ln2 1 abe 1 2 0 1 n n xx n 三 三 计算题计算题 每小题 6 分 6 5 30 分 1 解 111 1 1xxxx 3 分 1 1 dxxx 11 1 dx xx 3 分 lnln 1 xxC 2 解 由分部积分公式得 23 1 lnln 3 xxdxxdx 3 分 33 11 lnln 33 xxx dx 33 111 ln 33 xxxdx x 32 11 ln 33 xxx dx 3 分 33 11 ln 39 xxxC 3 解 令sin 0 2 xat t 由定积分的换元积分公式 得 22 0 a ax dx 3 分 22 2 0 cosatdt 67 68 2 2 0 1 cos2 2 a t dt 2 2 0 1 sin2 22 a tt 3 分 2 4 a 4 解 由洛必达 L Hospital 法则得 2 0 0 cos lim sin x x tdt x 4 分 2 0 cos lim cos x x x 0 limcos x x 2 分 1 5 解 2 0 1 sin2xdx 2 分 2 2 0 sincos xxdx 2 0 sincosxxdx 2 分 42 0 4 cossin sincos xx dxxx dx 2 4 0 4 sincos sincos xxxx 2 分 2 22 四 四 解答题解答题 第 1 小题 6 分 第 2 3 小题各 8 分 共 22 分 1 解 正整数 xn 3 分 22 sin1nx nn 而级数收敛 故由 M 判别法知 2 1 1 n n 在区间上一致收敛 3 分 2 1 sin n nx n 2 解 幂级数的收敛半径 1 n n x n 1 1 1 limn n R n 收敛区间为 2 分 1 1 易知在处收敛 而在发散 1 n n x n 1x 1x 故的收敛域为 2 分 1 n n x n 1 1 2 分 0 1 1 1 1 n n xx x 逐项求积分可得 00 0 1 1 1 1 xx n n dtt dtx t 即 2 分 1 01 ln 1 1 1 1 nn nn xx xx nn 3 解 函数及其周期延拓后的图形如下f 函数显然是按段光滑的 f 故由收敛性定理知它可以展开为 Fourier 级数 2 分 由于在为奇函数 f x 故 0 0 1 2 n an 而 1 sin 11 coscos n bxnxdx xnxnxdx nn 4 分 1 1 2 n n 所以在区间上 2 分 1 1 sin 2 1 n n nx f xx n 69 70 五 五 证明题证明题 每小题 5 分 5 2 10 分 1 证明 由与都收敛知 1 n n a 1 n n c 级数也收敛 1 分 1 nn n ca 又由 1 2 3 nnn abcn 可知 0 1 2 3 nnnn bacan 从而由正项级数的比较判别法知 收敛 2 分 1 nn n ba 于是由 1 2 3 nnnn