数学必修五选修2-1知识点总结归纳

1 必修五知识点总结归纳必修五知识点总结归纳 一 解三角形 一 解三角形 1 正弦定理 在中 分别为角 的对边 为的C A abcA CRC A 外接圆的半径 则有 2 sinsinsin abc R C A 正弦定理的变形公式 2 sinaR A2 sinbR 2 sincRC sin 2 a R A sin 2 b R sin 2 c C R sin sin sina b cC A sinsinsinsinsinsin abcabc CC A A 2 三角形面积公式 111 sinsinsin 222 C SbcabCac A A 3 余弦定理 在中 有 C A 222 2cosabcbc A 222 2cosbacac 222 2coscababC 4 余弦定理的推论 222 cos 2 bca bc A 222 cos 2 acb ac 222 cos 2 abc C ab 二二 数列数列 1 数列 按照一定顺序排列着的一列数 2 数列的项 数列中的每一个数 3 有穷数列 项数有限的数列 4 无穷数列 项数无限的数列 5 递增数列 从第 2 项起 每一项都不小于它的前一项的数列 1 0 nn aa 6 递减数列 从第 2 项起 每一项都不大于它的前一项的数列 1 0 nn aa 7 常数列 各项相等的数列 8 摆动数列 从第 2 项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 2 9 数列的通项公式 表示数列的第项与序号之间的关系的公式 n ann 10 数列的递推公式 表示任一项与它的前一项 或前几项 间的关系的公式 n a 1n a 11 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 则这个数列 称为等差数列 这个常数称为等差数列的公差 12 由三个数 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 则称为与aAbAa 的等差中项 若 则称为与的等差中项 b 2 ac b bac 13 若等差数列的首项是 公差是 则 n a 1 ad 1 1 n aand 14 通项公式的变形 nm aanm d 1 1 n aand 1 1 n aa d n 1 1 n aa n d nm aa d nm 15 若是等差数列 且 则 n amnpq mnp q 若是等差数列 且 则 mnpq aaaa n a2npq np q 2 npq aaa 16 等差数列的前项和的公式 n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 17 等差数列的前项和的性质 若项数为 则 且n 2n n 21nnn Sn aa SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为 则 且 21nn 21 21 nn Sna n SSa 奇偶 1 Sn Sn 奇 偶 其中 n Sna 奇 1 n Sna 偶 18 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 则这个数列2 称为等比数列 这个常数称为等比数列的公比 19 在与中间插入一个数 使 成等比数列 则称为与的等比项abGaGbGab 若 则称为与的等比中 2 Gab Gab 项 注意 与的等比中项可能是abG 3 20 若等比数列的首项是 公比是 则 n a 1 aq 1 1 n n aa q 21 通项公式的变形 n m nm aa q n m n m a q a 22 若是等比数列 且 则 n amnpq mnp q mnpq aaaa 若是等比数列 且 则 n a2npq np q 2 npq aaa 23 等比数列的前项和的公式 n an 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq 24 等比数列的前项和的性质 若项数为 则 n 2n n S q S 偶 奇 成等比数列 n n mnm SSqS n S 2nn SS 32nn SS 0 n S 三 不等式 三 不等式 1 0abab 0abab 0abab 2 不等式的性质 abba ab bcac abacbc 0ab cacbc 0ab cacbc ab cdacbd 0 0abcdacbd 0 1 nn ababnn 0 1 nn abab nn 3 一元二次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是的不等式 2 4 二次函数的图象 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集间的关系 判别式 2 4bac 0 0 0 4 二次函数 2 yaxbxc 的图象 0a 一元二次方程 2 axbx 的根0c 0a 有两个相异实数根 1 2 2 b x a 12 xx 有两个相等实数根 12 2 b xx a 没有实数根 2 0axbxc 0a 12 x xxxx 或 2 b x x a R 一元二次 不等式的 解集 2 0axbxc 0a 12 x xxx 若二次项系数为负 先变为正 5 设 是两个正数 则称为正数 的算术平均数 称为正数 ab 2 ab ababa 的几何平均数 b 6 均值不等式定理 若 则 即 0a 0b 2abab 2 ab ab 7 常用的基本不等式 22 2 abab a bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 8 极值定理 设 都为正数 则有xy 若 和为定值 则当时 积取得最大值 xys xy xy 2 4 s 若 积为定值 则当时 和取得最小值 xyp xy xy 2p 知识点 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句 5 真命题 判断为真的语句 假命题 判断为假的语句 2 若 p 则q 形式的命题中的 p 称为命题的条件 q称为命题的结论 3 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 则这两 个命题称为互逆命题 其中一个命题称为原命题 另一个称为原命题的逆命题 若原命题为 若 p 则q 它的逆命题为 若q 则 p 4 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的 否定 则这两个命题称为互否命题 中一个命题称为原命题 另一个称为原命题的否命题 若原命题为 若 p 则q 则它的否命题为 若 p 则 q 5 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的 否定 则这两个命题称为互为逆否命题 其中一个命题称为原命题 另一个称为原命题的 逆否命题 若原命题为 若 p 则q 则它的否命题为 若 q 则 p 6 四种命题的真假性 四种命题的 真假性之间 的关系 1 两个命 题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 7 若 pq 则 p 是q的充分条件 q是 p 的必要条件 若 pq 则 p 是q的充要条件 充分必要条件 8 用联结词 且 把命题 p 和命题q联结起来 得到一个新命题 记作 pq 当 p q都是真命题时 pq 是真命题 当 p q两个命题中有一个命题是假命题时 pq 是假命题 用联结词 或 把命题 p 和命题q联结起来 得到一个新命题 记作 pq 当 p q两个命题中有一个命题是真命题时 pq 是真命题 当 p q两个命题都是 假命题时 pq 是假命题 对一个命题 p 全盘否定 得到一个新命题 记作 p 若 p 是真命题 则 p 必是假命题 若 p 是假命题 则 p 必是真命题 9 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常称为全称量词 用 表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题 对 中任意一个x 有 p x 成立 记作 x p x 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常称为存在量词 用 表示 含有存在量词的命题称为特称命题 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 6 特称命题 存在 中的一个x 使 p x 成立 记作 x p x 10 全称命题 p x p x 它的否定 p x p x 全称命题的否 定是特称命题 11 平面内与两个定点 1 F 2 F 的距离之和等于常数 大于 12 F F 的点的轨迹称为椭 圆 这两个定点称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 12 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围axa 且 byb bxb 且 aya 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 b 2 0 b 1 0 aA 2 0 aA 1 0b 2 0b 轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y 轴 原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 14 平面内与两个定点 1 F 2 F 的距离之差的绝对值等于常数 小于 12 F F 的点的轨 迹称为双曲线 这两个定点称为双曲线的焦点 两焦点的距离称为双曲线的焦距 15 双曲线的几何性质 7 焦点的位置焦点在x轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围xa 或x a yR ya 或 ya x R 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 aA 2 0 aA 轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y 轴对称 关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 16 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 18 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点 F称为抛物线的焦点 定直线l称为抛物线的准线 19 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 两点的线段A 称为抛物线 的 通径 即 2pA 20 焦半径公式 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 8 0 2 p Fy 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 0 2 p Fy 21 抛物线的几何性质 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴 x轴 y 轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 23 空间向量的加法和减法 1 求两个向量和的运算称为向量的加法 它遵循平 行四边形法则 即 在空间以同一点 为起点的两个 已知向量a b 为邻边作平行四边形 C A 则以 起点的对角线C 就是a 与b 的和 这种求向量和 9 的方法 称为向量加法的平行四边形法则 2 求两个向量差的运算称为向量的减法 它遵循三角 形法则 即 在空间任取一点 作 a A b 则 ab A 24 实数 与空间向量a 的乘积 a 是一个向量 称为向量的数乘运算 当 0 时 a 与a 方向相同 当 0 时 a 与a 方向相反 当 0 时 a 为零向量 记 为0 a 的长度是a 的长度的 倍 25 设 为实数 a b 是空间任意两个向量 则数乘运算满足分配律及结合律 分配律 abab 结合律 aa 26 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量称为共线向量或 平行向量 并规定零向量与任何向量都共线 27 向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a 0b b ab 的充要条件是 存在实数 使a b 28 平行于同一个平面的向量称为共面向量 29 向量共面定理 空间一点 位于平面 CA 内的充要条件是存在有序实数对x y 使 xy CA A A 或对空间任一定点 有 xy C A A A 或若四点 A C共面 则 1xyz C xyz A 30 已知两个非零向量a 和b 在空间任取一点 作 a A b 则 A 称为向量a b 的夹角 记作 a b 两个向量夹角的取值范围是 0 a b 31 对于两个非零向量a 和b 若 2 a b 则向量a b 互相垂直 记作a b 32 已知两个非零向量a 和b 则 cos a ba b 称为a b 的数量积 记作a b 即 cos a ba ba b 零向量与任何向量 的数量积为0 10 33 a b 等于a 的长度 a 与b 在a 的方向上的投影 cos ba b 的乘积 34 若a b 为非零向量 e 为单位向量 则有 1cos e aa eaa e 2 0aba b 3 a b ab a b a b ab 与同向 与反向 2 a aa aa a 4 cos a b a b a b 5 a ba b 35 向量数乘积的运算律 1 a bb a 2 aba bab 3 abca cb c 36 若i j k 是空间三个两两垂直的向量 则对空间任一向量 p 存在有序实数组 x y z 使得 pxiyjzk 称xi yj zk 为向量 p 在i j k 上的分量 37 空间向量基本定理 若三个向量a b c 不共面 则对空间任一向量 p 存在实 数组 x y z 使得 pxaybzc 38 若三个向量a b c 不共面 则所有空间向量组成的集合是 p pxaybzc x y zR 这个集合可看作是由向量a b c 生成的 a b c 称为空间的一个基底 a b c 称为基向量 空间任意三个不共面的向量都 可以构成空间的一个基底 39 设 1 e 2 e 3 e 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量 称它们为单位正交基底 以 1 e 2 e 3 e 的公共起点 为原点 分别以 1 e 2 e 3 e 的方向为x轴 y 轴 z轴 的正方向建立空间直角坐标系 xyz 则对于空间任意一个向量 p 一定可以把它平移 使它的起点与原点 重合 得到向量 p 存在有序实数组 x y z 使得 123 pxeyeze 把x y z称作向 11 量 p 在单位正交基底 1 e 2 e 3 e 下的坐标 记作 px y z 此时 向量 p 的坐标是 点 在空间直角坐标系 xyz 中的坐标 x y z 40 设 111 ax y z 222 bxyz 则 1 121212 abxxyyzz 2 121212 abxxyyzz 3 111 axyz 4 12121 2 a bx xy yz z 5 若a b 为非零向量 则 12121 2 00aba bx xy yz z 6 若 0b 则 121212 ababxxyyzz 7 222 111 aa axyz 8 12121 2 222222 111222 cos x xy yz za b a b a bxyzxyz 9 111 x y zA 222 xyz 则 222 212121 dxxyyzz A A 41 在空间中 取一定点 作为基点 那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来 表示 向量 称为点 的位置向量 42 空间中任