解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

解析几何中求参数取值范围的 5 种常用方法 解析几何中求参数取值范围的 5 种常用方法及经典例题详细解析 一 利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围 如椭圆 x2a2 y2b2 1 上的点 P x y 满足 a x a b y b 因而可利用这些范围来构造不等式求解 另外 也常出现题中 有多个变量 变量之间有一定的关系 往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起 适当的不等式 再来求解 这是解决变量取值范围常见的策略和方法 例 1 已知椭圆 x2a2 y2b2 1 a b 0 A B 是椭圆上的两点 线段 AB 的垂直平 分线与 x 轴相交于点 P x0 0 求证 a2 b2a x0 a2 b2a 分析 先求线段 AB 的垂直平分线方程 求出 x0 与 A B 横坐标的关系 再利用椭圆 上的点 A B 满足的范围求解 解 设 A B 坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 代入椭圆方程 作差得 y2 y1x2 x1 b2a2 x2 x1 y2 y1 又 线段 AB 的垂直平分线方程为 y y1 y22 x2 x1 y2 y1 x x1 x22 令 y 0 得 x0 x1 x22 a2 b2a2 又 A B 是椭圆 x2a2 y2b2 1 上的点 a x1 a a x2 a x1 x2 以及 a x1 x22 a a2 b2a x0 a2 b2a 例 2 如图 已知 OFQ 的面积为 S 且 OF FQ 1 若 12 S 2 求向量 OF 与 FQ 的夹角 的取值范围 分析 须通过题中条件建立夹角 与变量 S 的关系 利用 S 的范围解题 解 依题意有 tan 2S 12 S 2 1 tan 4 又 0 4 例 3 对于抛物线 y2 4x 上任一点 Q 点 P a 0 都满足 PQ a 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 2 C 0 a 2 D 0 2 分析 直接设 Q 点坐标 利用题中不等式 PQ a 求解 解 设 Q y024 y0 由 PQ a 得 y02 y024 a 2 a2 即 y02 y02 16 8a 0 y02 0 y02 16 8a 0 即 a 2 y028 恒成立 又 y02 0 而 2 y028 最小值为 2 a 2 选 B 二 利用判别式构造不等式 在解析几何中 直线与曲线之间的位置关系 可以转化为一元二次方程的解的问题 因此可利用判别式来构造不等式求解 例 4 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 L 与抛物线有公共点 则直线 L 的斜率取值范围是 A 12 12 B 2 2 C 1 1 D 4 4 分析 由于直线 l 与抛物线有公共点 等价于一元二次方程有解 则判别式 0 解 依题意知 Q 坐标为 2 0 则直线 L 的方程为 y k x 2 由 得 k2x2 4k2 8 x 4k2 0 直线 L 与抛物线有公共点 0 即 k2 1 解得 1 k 1 故选 C 例 5 直线 L y kx 1 与双曲线 C 2x2 y2 1 的右支交于不同的两点 A B 求实数 k 的取值范围 分析 利用直线方程和双曲线方程得到 x 的一元二次方程 由于直线与右支交于不同两 点 则 0 同时 还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于 k 的不等式 解 由 得 k2 2 x2 2kx 2 0 直线与双曲线的右支交于不同两点 则 解得 2 2 三 利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式 曲线把坐标平面分成三个区域 若点 P x0 y0 与曲线方程 f x y 0 关系 若 P 在曲线上 则 f x0 y0 0 若 P 在曲线内 则 f x0 y0 0 可见 平面内曲线与点均满足一定的关系 故可用这些关系来构造不等式 解题 例 6 已知椭圆 2x2 y2 a2 a 0 与连结两点 A 1 2 B 2 3 的线段没有公 共点 求实数 a 的取值范围 分析 结合点 A B 及椭圆位置 可得当 AB 两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合 条件 解 依题意可知 当 A B 同时在椭圆内或椭圆外时满足条件 当 A B 同时在椭圆内 则 解得 a 17 当 A B 同时在椭圆外 则 解得 0 6 综上所述 解得 017 例 7 若抛物线 y2 4mx m 0 的焦点在圆 x 2m 2 y 1 2 4 的内部 求实数 m 的取值范围 分析 由于焦点 m 0 在圆内部 则把 m 0 代入可得 解 抛物线的焦点 F m 0 在圆的内部 m 2m 2 0 1 2 4 即 m2 3 又 m 0 3 0 或 0 3四 利用三角函数的有界性构造不等式 曲线的参数方程与三角函数有关 因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程 后利用三角函数的有界性构造不等式求解 例 8 若椭圆 x2 4 y a 2 4 与抛物线 x2 2y 有公共点 求实数 a 的取值范围 分析 利用椭圆的参数方程及抛物线方程 得到实数 a 与参数 的关系 再利用三角 函数的有界性确定 a 的取值情况 解 设椭圆的参数方程为 为参数 代入 x2 2y 得 4cos2 2 a sin a 2cos2 sin 2 sin 14 2 178 又 1 sin 1 1 a 178 例 9 已知圆 C x2 y 1 2 1 上的点 P m n 使得不等式 m n c 0 恒成立 求实数 c 的取值范围 分析 把圆方程变为参数方程 利用三角函数的有界性 确定 m n 的取值情况 再确 定 c 的取值范围 解 点 P 在圆上 m cos n 1 sin 为参数 m n cos 1 sin 2 sin 4 1 m n 最小值为 1 2 m n 最大值为 2 1 又 要使得不等式 c m n 恒成立 c 2 1 五 利用离心率构造不等式 我们知道 椭圆离心率 e 0 1 抛物线离心率 e 1 双曲线离心率 e 1 因而可 利用这些特点来构造相关不等式求解 例 10 已知双曲线 x2 3y2 3 的右焦点为 F 右准线为 L 直线 y kx 3 通过以 F 为焦 点 L 为相应准线的椭圆中心 求实数 k 的取值范围 分析 由于椭圆中心不在原点 故先设椭圆中心 再找出椭圆中各量的关系 再利用椭 圆离心率 0 1 建立相关不等式关系求解 解 依题意得 F 的坐标为 2 0 L x 32 设椭圆中心为 m 0 则 m 2 c 和