新人教版八年级数学上知识点总结详细讲解(超经典)

新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 第十一章三角形 第 12 章全等三角形 第 13 章轴对称 第 14 章整式乘法和因式分解 第 15 章分式 1 第十一章第十一章 三角形三角形 1 三角形的概念 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 基本元素 三条边 三个顶点 三个内角 基本元素 三条边 三个顶点 三个内角 2 三角形的特性与表示 三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性 三角形有下面三个特性 1 三角形有三条线段 三角形有三条线段 2 三条线段不在同一直线上 三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形三角形是封闭图形 3 首尾顺次相接 首尾顺次相接 三角形用符号三角形用符号 表示 顶点是表示 顶点是 A B C 的三角形记作的三角形记作 ABC 读作 读作 三角形三角形 ABC 3 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段 1 角平分线 一个角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点间的线段 角平分线 一个角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点间的线段 2 中线 在三角形中 连接一个顶点和它对边的中点的线段 中线 在三角形中 连接一个顶点和它对边的中点的线段 3 高线 从三角形一个顶点向它的对边做垂线 顶点和垂足之间的线段 高线 从三角形一个顶点向它的对边做垂线 顶点和垂足之间的线段 4 三角形具有稳定性 四边形不具有稳定性 三角形具有稳定性 四边形不具有稳定性 5 三角形的分类 三角形的分类 三角形按边的关系分类如下 三角形按边的关系分类如下 不等边三角形不等边三角形 三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形等边三角形 三角形按角的关系分类如下 三角形按角的关系分类如下 直角三角形 有一个角为直角的三角形 直角三角形 有一个角为直角的三角形 三角形三角形 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 斜三角形斜三角形 钝角三角形 有一个角为钝角的三角形 钝角三角形 有一个角为钝角的三角形 把边和角联系在一起 我们又有一种特殊的三角形 等腰直角三角形 它是两条直角边把边和角联系在一起 我们又有一种特殊的三角形 等腰直角三角形 它是两条直角边 相等 相等 6 三角形的三边关系定理及推论 三角形的三边关系定理及推论 1 三角形三边关系定理 三角形的两边之和大于第三边 三角形三边关系定理 三角形的两边之和大于第三边 推论 三角形的两边之差小于第三边 推论 三角形的两边之差小于第三边 2 三角形三边关系定理及推论的作用 三角形三边关系定理及推论的作用 判断三条已知线段能否组成三角形判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时 可确定第三边的范围 当已知两边时 可确定第三边的范围 证明线段不等关系 证明线段不等关系 7 三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于 180 推论 推论 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 注 注 在同一个三角形中 等角对等边 等边对等角 大角对大边 大边对大角 在同一个三角形中 等角对等边 等边对等角 大角对大边 大边对大角 8 三角形的面积 三角形的面积 底底 高高 2 1 多边形知识要点梳理多边形知识要点梳理 定义 由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形 定义 由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形 凸多边形凸多边形 多边形多边形 分类分类 1 凹多边形凹多边形 正多边形 各边相等 各角也相等的多边形正多边形 各边相等 各角也相等的多边形 分类分类 2 非正多边形 非正多边形 1 n 边形的内角和等于边形的内角和等于 180 n 2 多多边边形形的的定定理理 2 任意凸形多边形的外角和等于任意凸形多边形的外角和等于 360 3 n 边形的对角线条数等于边形的对角线条数等于 1 2 n n 3 只用一种正多边形 只用一种正多边形 3 4 6 镶嵌拼成镶嵌拼成 360 度的角度的角 只用一种非正多边形 全等 只用一种非正多边形 全等 3 4 知识点一 多边形及有关概念知识点一 多边形及有关概念 1 多边形的定义 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形的定义 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 1 多边形的一些要素 多边形的一些要素 边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边 边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 内角 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角 一个内角 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角 一个 n 边形有边形有 n 个内角 个内角 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 2 在定义中应注意 在定义中应注意 一些线段 多边形的边数是大于等于一些线段 多边形的边数是大于等于 3 的正整数 的正整数 首尾顺次相连 二者缺一不可首尾顺次相连 二者缺一不可 理解时要特别注意理解时要特别注意 在同一平面内在同一平面内 这个条件这个条件 其目的是为了排除几个点不共面其目的是为了排除几个点不共面 的情况的情况 即空间多边形即空间多边形 2 多边形的分类 多边形的分类 1 多边形可分为凸多边形和凹多边形 画出多边形的任何一条边所在的直线 如果整多边形可分为凸多边形和凹多边形 画出多边形的任何一条边所在的直线 如果整 个多边形都在这条直线的同一侧 则此多边形为凸多边形 反之为凹多边形 见图个多边形都在这条直线的同一侧 则此多边形为凸多边形 反之为凹多边形 见图 1 本章本章 所讲的多边形都是指凸多边形所讲的多边形都是指凸多边形 凸多边形凸多边形 凹多边形凹多边形 图图 1 2 多边形通常还以边数命名 多边形有多边形通常还以边数命名 多边形有 n 条边就叫做条边就叫做 n 边形 三角形 四边形都属于边形 三角形 四边形都属于 多边形 其中三角形是边数最少的多边形 多边形 其中三角形是边数最少的多边形 知识点二 正多边形知识点二 正多边形 各个角都相等 各个边都相等的多边形叫做正多边形 如正三角形 正方形 正五边形各个角都相等 各个边都相等的多边形叫做正多边形 如正三角形 正方形 正五边形 等 等 正三角形正三角形 正方形正方形 正五边形正五边形 正六边形正六边形 正十二边形正十二边形 要点诠释 要点诠释 各角相等 各边也相等是正多边形的必备条件 二者缺一不可各角相等 各边也相等是正多边形的必备条件 二者缺一不可 知识点三 多边形的对角线知识点三 多边形的对角线 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 如图如图 2 BD 为四边形为四边形 ABCD 的一条对角线 的一条对角线 要点诠释 要点诠释 1 从从 n 边形一个顶点可以引边形一个顶点可以引 n 3 条对角线 将多边形分成条对角线 将多边形分成 n 2 个三角形 个三角形 2 n 边形共有边形共有条对角线 条对角线 证明 过一个顶点有证明 过一个顶点有 n 3 条对角线条对角线 n 3 的正整数的正整数 又又 共有共有 n 个顶点 个顶点 共有共有 n n 3 条对角线 但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次 条对角线 但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次 凸凸 n 边形 共有边形 共有条对角线 条对角线 知识点四 多边形的内角和公式知识点四 多边形的内角和公式 1 公式 公式 n 边形的内角和为边形的内角和为 n 2 180 n 3 0 n 3 2 公式的证明 公式的证明 证法证法 1 在 在 n 边形内任取一点 并把这点与各个顶点连接起来 共构成边形内任取一点 并把这点与各个顶点连接起来 共构成 n 个三角形 这个三角形 这 n 个三角形的内角和为个三角形的内角和为 n 180 n 180 再减去一个周角 即得到 再减去一个周角 即得到 n 边形的内角和为边形的内角和为 n 2 180 0 证法证法 2 从 从 n 边形一个顶点作对角线 可以作边形一个顶点作对角线 可以作 n 3 条对角线 并且条对角线 并且 n 边形被分成边形被分成 n 2 个个 三角形 这三角形 这 n 2 个三角形内角和恰好是个三角形内角和恰好是 n 边形的内角和 等于边形的内角和 等于 n 2 180 0 证法证法 3 在 在 n 边形的一边上取一点与各个顶点相连 得边形的一边上取一点与各个顶点相连 得 n 1 个三角形 个三角形 n 边形内角和等边形内角和等 于这于这 n 1 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数 即即 n 1 180 180 180 180 n 2 180 0 要点诠释 要点诠释 1 注意 以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想 注意 以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想 2 内角和定理的应用 内角和定理的应用 已知多边形的边数 求其内角和 已知多边形的边数 求其内角和 已知多边形内角和 求其边数 已知多边形内角和 求其边数 知识点五 多边形的外角和公式知识点五 多边形的外角和公式 1 公式 多边形的外角和等于公式 多边形的外角和等于 360 2 多边形外角和公式的证明 多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角 所以多边形外角和公式的证明 多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角 所以 n 边形的内角和加外角和为边形的内角和加外角和为 n 180 n 180 外角和等于 外角和等于 n 180 n 180 n 2 180 360 0 360 注意 注意 n 边形的外角和恒等于边形的外角和恒等于 360 它与边数的多少无关 它与边数的多少无关 要点诠释 要点诠释 1 外角和公式的应用 外角和公式的应用 已知外角度数 求正多边形边数 如 已知外角度数 求正多边形边数 如 36 n 360 已知正多边形边数 求外角度数已知正多边形边数 求外角度数 如 如 360 6 0 6 2 多边形的边数与内角和 外角和的关系 多边形的边数与内角和 外角和的关系 n 边形的内角和等于边形的内角和等于 n 2 180 n 3 n 是正整数是正整数 可见多边形内角和与边数 可见多边形内角和与边数 n 有关 有关 每增加每增加 1 条边 内角和增加条边 内角和增加 180 多边形的外角和等于多边形的外角和等于 360 与边数的多少无关 与边数的多少无关 知识点六 镶嵌的概念和特征知识点六 镶嵌的概念和特征 1 定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 通常把这类问题叫做 定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 通常把这类问题叫做 用多边形覆盖平面用多边形覆盖平面 或平面镶嵌或平面镶嵌 这里的多边形可以形状相同 也可以形状不相同 这里的多边形可以形状相同 也可以形状不相同 2 实现镶嵌的条件 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 实现镶嵌的条件 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360 相邻的多边形有公 相邻的多边形有公 共边 共边 3 常见的一些正多边形的镶嵌问题 常见的一些正多边形的镶嵌问题 1 用正多边形实现镶嵌的条件 边长相等 顶点公用 用正多边形实现镶嵌的条件 边长相等 顶点公用 在一个顶点处各正多边形的内角之和为在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360 2 只用一种正多边形镶嵌地面只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形 怎样判断它能否拼成一个平面图形 且不留一点空隙 解对于给定的某种正多边形 怎样判断它能否拼成一个平面图形 且不留一点空隙 解 决问题的关键在于正多边形的内角特点 当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一决问题的关键在于正多边形的内角特点 当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一 起恰好组成一个周角起恰好组成一个周角 360 时 就能铺成一个平面图形 时 就能铺成一个平面图形 事实上 正事实上 正 n 边形的每一个内角为边形的每一个内角为 要求 要求 k 个正个正 n 边形各有一个内角拼边形各有一个内角拼 于一点 恰好覆盖地面 这样于一点 恰好覆盖地面 这样 360 由此导出 由此导出 k 2 而 而 k 是正整数 所以是正整数 所以 n 只能取只能取 3 4 6 因而 用相同的正多边形地砖铺地面 只 因而 用相同的正多边形地砖铺地面 只 有正三角形 正方形 正六边形的地砖可以用 有正三角形 正方形 正六边形的地砖可以用 注意 任意四边形的内角和都等于注意 任意四边形的内角和都等于 360 所以用一批形状 大小完全相同但不规则的 所以用一批形状 大小完全相同但不规则的 四边形地砖也可以铺成无空隙的地板 用任意相同的三角形也可以铺满地面 四边形地砖也可以铺成无空隙的地板 用任意相同的三角形也可以铺满地面 3 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地用两种或两种以上的正多边形镶嵌地 面面 用两种或两种以上边长相等的正多边形用两种或两种以上边长相等的正多边形 组合成平面图形 关键是相关正多边形组合成平面图形 关键是相关正多边形 交接交接 处各角之和能否拼成一个周角处各角之和能否拼成一个周角 的问题 例如 的问题 例如 用正三角形与正方形 正三角形与正六边形 用正三角形与正方形 正三角形与正六边形 正三角形与正十二边形 正四边形与正八边形正三角形与正十二边形 正四边形与正八边形 都可以作平面镶嵌 见下图 都可以作平面镶嵌 见下图 又如 用一个正三角形 两个正方形 又如 用一个正三角形 两个正方形 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面 因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角 360 规律方法指导规律方法指导 1 内角和与边数成正比 边数增加 内角和增加 边数减少 内角和减少 内角和与边数成正比 边数增加 内角和增加 边数减少 内角和减少 每增加一每增加一 条边 内角的和就增加条边 内角的和就增加 180 反过来也成立 反过来也成立 且多边形的内角和必须是 且多边形的内角和必须是 180 的整数倍的整数倍 2 多边形外角和恒等于 多边形外角和恒等于 360 与边数的多少无关 与边数的多少无关 3 多边形最多有三个内角为锐角 最少没有锐角 如矩形 多边形最多有三个内角为锐角 最少没有锐角 如矩形 多边形的外角中最多有三 多边形的外角中最多有三 个钝角 最少没有钝角个钝角 最少没有钝角 4 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时 常与方程思想相结合 运用方程 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时 常与方程思想相结合 运用方程 思想是解决本节问题的常用方法思想是解决本节问题的常用方法 5 在解决多边形的内角和问题时 通常转化为与三角形相关的角来解决 在解决多边形的内角和问题时 通常转化为与三角形相关的角来解决 三角形是一三角形是一 种基本图形 是研究复杂图形的基础 同时注意转化思想在数学中的应用种基本图形 是研究复杂图形的基础 同时注意转化思想在数学中的应用 经典例题透析经典例题透析 类型一 多边形内角和及外角和定理应用类型一 多边形内角和及外角和定理应用 1 一个多边形的内角和等于它的外角和的 一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍 它是几边形 倍 它是几边形 总结升华 本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用总结升华 本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用 只要设出边数只要设出边数 n 根据条件列出关于 根据条件列出关于 n 的方程 求出的方程 求出 n 的值即可 这是一种常用的解题思路的值即可 这是一种常用的解题思路 举一反三 举一反三 变式变式 1 若一个多边形的内角和与外角和的总度数为若一个多边形的内角和与外角和的总度数为 1800 求这个多边形的边数 求这个多边形的边数 变式变式 2 一个多边形除了一个内角外 其余各内角和为一个多边形除了一个内角外 其余各内角和为 2750 求这个多边形的内角和是 求这个多边形的内角和是 多少 多少 答案答案 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为 n 这个内角为 这个内角为 x 变式变式 3 一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350 求这个多边形的边 求这个多边形的边 数 数 类型二 多边形对角线公式的运用类型二 多边形对角线公式的运用 变式变式 1 一个多边形共有一个多边形共有 20 条对角线 则多边形的边数是 条对角线 则多边形的边数是 A 6 B 7 C 8 D 9 变式变式 2 一个十二边形有几条对角线 一个十二边形有几条对角线 总结升华 对于一个总结升华 对于一个 n 边形的对角线的条数 我们可以总结出规律边形的对角线的条数 我们可以总结出规律条 牢记条 牢记 这个公式 以后只要用相应的这个公式 以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数 要记住这个公式只有在理的值代入即可求出对角线的条数 要记住这个公式只有在理 解的基础之上才能记得牢 解的基础之上才能记得牢 类型三 可转化为多边形内角和问题类型三 可转化为多边形内角和问题 变式变式 1 如图所示 如图所示 1 2 3 4 5 6 变式变式 2 如图所示 求如图所示 求 A B C D E F 的度数 的度数 类型四 实际应用题类型四 实际应用题 4 如图 一辆小汽车从 如图 一辆小汽车从 P 市出发 先到市出发 先到 B 市 再到市 再到 C 市 再到市 再到 A 市 最后返回市 最后返回 P 市 这辆小汽车共转了多少度角 市 这辆小汽车共转了多少度角 思路点拨 根据多边形的外角和定理解决思路点拨 根据多边形的外角和定理解决 举一反三 举一反三 变式变式 1 如图所示 小亮从如图所示 小亮从 A 点出发前进点出发前进 10m 向右转 向右转 15 再前进 再前进 10m 又向右 又向右 转转 15 这样一直走下去 当他第一次回到出发点时 一共走了 这样一直走下去 当他第一次回到出发点时 一共走了 m 变式变式 2 小华从点小华从点 A 出发向前走出发向前走 10 米 向右转米 向右转 36 然后继续向前走 然后继续向前走 10 米 再向米 再向 右转右转 36 他以同样的方法继续走下去 他能回到点 他以同样的方法继续走下去 他能回到点 A 吗 若能 当他走回点吗 若能 当他走回点 A 时共走了时共走了 多少米 若不能 写出理由 多少米 若不能 写出理由 变式变式 3 如图所示是某厂生产的一块模板 已知该模板的边如图所示是某厂生产的一块模板 已知该模板的边 AB CF CD AE 按按 规定规定 AB CD 的延长线相交成的延长线相交成 80 角 因交点不在模板上 不便测量角 因交点不在模板上 不便测量 这时师傅告诉徒弟这时师傅告诉徒弟 只需测一个角 便知道只需测一个角 便知道 AB CD 的延长线的夹角是否合乎规定 你知道需测哪一个角吗 的延长线的夹角是否合乎规定 你知道需测哪一个角吗 说明理由说明理由 思路点拨 本题中将思路点拨 本题中将 AB CD 延长后会得到一个五边形 延长后会得到一个五边形 根据五边形内角和为根据五边形内角和为 540 又由 又由 AB CF CD AE 可知 可知 BAE AEF EFC 360 从 从 540 中减去中减去 80 再减去再减去 360 剩下 剩下 C 的度数为的度数为 100 所以只需测 所以只需测 C 的度数即的度数即 可 同理还可直接测可 同理还可直接测 A 的度数的度数 总结升华 本题实际上是多边形内角和的逆运算 关键在于正确添加辅助线总结升华 本题实际上是多边形内角和的逆运算 关键在于正确添加辅助线 类型五 镶嵌问题类型五 镶嵌问题 5 分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图 分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图 1 正方形和正八边形 正方形和正八边形 2 正三角形和正十二边形 正三角形和正十二边形 3 正三角形 正方形和正六边形 正三角形 正方形和正六边形 思路点拨 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角 那么这些多边形就能思路点拨 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角 那么这些多边形就能 作平面镶嵌 作平面镶嵌 解析 正三角形 正方形 正六边形 正八边形 正十二边形的每一个内角分别是解析 正三角形 正方形 正六边形 正八边形 正十二边形的每一个内角分别是 60 90 120 135 150 1 因为因为 90 2 135 360 所以一个顶点处有 所以一个顶点处有 1 个正方形 个正方形 2 个正八边形 如图个正八边形 如图 1 所示 所示 2 因为因为 60 2 150 360 所以一个顶点处有 所以一个顶点处有 1 个正三角形 个正三角形 2 个正十二边形 如图个正十二边形 如图 2 所示 所示 3 因为因为 60 2 90 120 360 所以一个顶点处有 所以一个顶点处有 1 个正三角形 个正三角形 1 个正六边形和个正六边形和 2 个正方个正方 形 如图形 如图 3 所示 所示 总结升华 用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形 实质上是相关正多边形总结升华 用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形 实质上是相关正多边形 交接处各角之和能否拼成一个周角交接处各角之和能否拼成一个周角 的问题 举一反三 的问题 举一反三 变式变式 1 分别用形状 大小完全相同的分别用形状 大小完全相同的 三角形木板 三角形木板 四边形木板 四边形木板 正五边形木正五边形木 板 板 正六边形木板作平面镶嵌 其中不能镶嵌成地板的是正六边形木板作平面镶嵌 其中不能镶嵌成地板的是 A B C D 解析 用同一种多边形木板铺地面 只有正三角形 四边形 正六边形的木板可以用 解析 用同一种多边形木板铺地面 只有正三角形 四边形 正六边形的木板可以用 不能用正五边形木板 故不能用正五边形木板 故 变式变式 2 用三块正多边形的木板铺地 拼在一起并相交于一点的各边完全吻合 其中用三块正多边形的木板铺地 拼在一起并相交于一点的各边完全吻合 其中 两块木板的边数都是两块木板的边数都是 8 则第三块木板的边数应是 则第三块木板的边数应是 A 4 B 5 C 6 D 8 答案答案 A 提示 先算出正八边形一个内角的度数 再乘以 提示 先算出正八边形一个内角的度数 再乘以 2 然后用 然后用 360 减去减去 刚才得到的积 便得到第三块木板一个内角的度数 进而得到第三块木板的边数 刚才得到的积 便得到第三块木板一个内角的度数 进而得到第三块木板的边数 练习练习 1 1 多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 600 600 求这个多边形的边数 求这个多边形的边数 2 2 n n 边形的内角和与外角和互比为边形的内角和与外角和互比为 1313 2 2 求 求 n n 3 3 五边形 五边形 ABCDEABCDE 的各内角都相等 且的各内角都相等 且 AEAE DEDE AD CBAD CB 吗 吗 4 4 将五边形砍去一个角 得到的是怎样的图形 将五边形砍去一个角 得到的是怎样的图形 5 5 四边形 四边形 ABCDABCD 中 中 A B 210 A B 210 C C 4 D4 D 求 求 C C 或或 D D 的度数 的度数 6 6 在四边形 在四边形 ABCDABCD 中 中 ABAB ACAC ADAD DAC DAC 2 BAC2 BAC 求证 求证 DBC DBC 2 BDC2 BDC 第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 一 全等三角形一 全等三角形 1 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 一个三角形经过平移 翻折 旋转可以得到它的全等形 一个三角形经过平移 翻折 旋转可以得到它的全等形 2 全等三角形有哪些性质 全等三角形有哪些性质 1 全等三角形的对应边相等 对应角相等 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的周长相等 面积相等 全等三角形的周长相等 面积相等 3 全等三角形的对应边上的对应中线 角平分线 高线分别相等 全等三角形的对应边上的对应中线 角平分线 高线分别相等 4 全等三角形的表示和性质 全等三角形的表示和性质 全等用符号全等用符号 表示 读作表示 读作 全等于全等于 如 如 ABC DEF 读作 读作 三角形三角形 ABC 全等全等 于三角形于三角形 DEF 注 记两个全等三角形时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 注 记两个全等三角形时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3 全等三角形的判定 全等三角形的判定 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 可简写成边边边 三边对应相等的两个三角形全等 可简写成 SSS 边角边边角边 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 可简写成两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 可简写成 SAS 角边角角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成 ASA 角角边角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可简写成两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可简写成 AAS 斜边斜边 直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 HL 4 证明两个三角形全等的基本思路 找条件证全等 证明两个三角形全等的基本思路 找条件证全等 二 角的平分线 二 角的平分线 1 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 三 学习全等三角形应注意以下几个问题 三 学习全等三角形应注意以下几个问题 1 要正确区分 要正确区分 对应边对应边 与与 对边对边 对应角对应角 与与 对角对角 的不同含义 的不同含义 2 表示两个三角形全等时 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 表示两个三角形全等时 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 3 有三个角对应相等有三个角对应相等 或或 有两边及其中一边的对角对应相等有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全的两个三角形不一定全 等 等 4 时刻注意图形中的隐含条件 如 时刻注意图形中的隐含条件 如 公共角公共角 公共边公共边 对顶角对顶角 四 全等变换四 全等变换 只改变图形的位置 二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 只改变图形的位置 二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换包括一下三种 全等变换包括一下三种 1 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 2 对称变换 将图形沿某直线翻折 对称变换 将图形沿某直线翻折 180 这种变换叫做对称变换 这种变换叫做对称变换 3 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 第十三章第十三章 轴对称轴对称 一 轴对称图形一 轴对称图形 1 把一个图形沿着一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形就叫把一个图形沿着一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形就叫 做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时我们也说这个图形关于这条直线 成轴 对做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时我们也说这个图形关于这条直线 成轴 对 称 称 2 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能与另一个图形完全重合 那么就说这两个图把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能与另一个图形完全重合 那么就说这两个图 关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做对称点叫做对称点 3 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形和轴对称的区别与联系 3 3 轴轴对对称称图图形形和和轴轴对对称称的的区区别别与与联联系系 轴轴对对称称图图形形 轴轴对对称称 区区别别 联联系系 图图形形 1 1 轴轴对对称称图图形形是是指指 具具 有有特特殊殊形形状状的的图图形形 只只对对 图图形形而而言言 2 2 对对称称轴轴 只只有有一一条条 1 1 轴轴对对称称是是指指 图图形形 的的位位置置关关系系 必必须须涉涉及及 图图形形 2 2 只只有有 对对称称轴轴 如如果果把把轴轴对对称称图图形形沿沿对对称称轴轴 分分成成两两部部分分 那那么么这这两两个个图图形形 就就关关于于这这条条直直线线成成轴轴对对称称 如如果果把把两两个个成成轴轴对对称称的的图图形形 拼拼在在一一起起看看成成一一个个整整体体 那那 么么它它就就是是一一个个轴轴对对称称图图形形 BC A C B A A B C 一一个个 一一个个 不不一一定定 两两个个 两两个个 一一条条 知识回顾 4 轴对称的性质轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 关于某直线对称的两个图形是全等形 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线 线 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 二 线段的垂直平分线二 线段的垂直平分线 1 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3 与一条线段两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上 三 用坐标表示轴对称小结 三 用坐标表示轴对称小结 1 在平面直角坐标系中 关于在平面直角坐标系中 关于 x 轴对称的点横坐标相等轴对称的点横坐标相等 纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数 关于关于 y 轴对称轴对称 的点横坐标互为相反数的点横坐标互为相反数 纵坐标相等纵坐标相等 点 点 x y 关于 关于 x 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为 点 点 x y 关于 关于 y 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为 2 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等 四 四 等腰三角形 等腰三角形 知识点回顾知识点回顾 1 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 三线合一 2 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 等角对等边 五 五 等边三角形 知识点回顾 等边三角形 知识点回顾 1 等边三角形的性质 等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等 并且每一个角都等于等边三角形的三个角都相等 并且每一个角都等于 600 2 等边三角形的判定 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形 的等腰三角形是等边三角形 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 那么它所对的直角边等于斜边的一半 1 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的性质定理及推论 等腰三角形的性质定理及推论 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 推论推论 1 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高重合 底边上的中线 底边上的高重合 推论推论 2 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 60 2 等腰三角形的其他性质 等腰三角形的其他性质 等腰直角三角形的两个底角相等且等于等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角 不能为钝角 或直角 等腰三角形的底角只能为锐角 不能为钝角 或直角 但顶角可为钝角 或直角 但顶角可为钝角 或直角 等腰三角形的三边关系 设腰长为等腰三角形的三边关系 设腰长为 a 底边长为 底边长为 b 则 则 a 2 b 等腰三角形的三角关系 设顶角为顶角为等腰三角形的三角关系 设顶角为顶角为 A 底角为 底角为 B C 则则 A 180 2 B B C 2 180A 2 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论 等腰三角形的判定定理及推论 定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等 边 边 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等 推论推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论推论 2 有一个角是 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 的等腰三角形是等边三角形 推论推论 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一 那么它所对的直角边等于斜边的一 半 半 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质等腰三角形性质等腰三角形判定等腰三角形判定 中中 线线 1 等腰三角形底边上的中线垂直底 等腰三角形底边上的中线垂直底 边 平分顶角 边 平分顶角 2 等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的中线相等 并且它们的交点与底边两端点距并且它们的交点与底边两端点距 离相等 离相等 1 两边上中线相等的三角形是等 两边上中线相等的三角形是等 腰三角形 腰三角形 2 如果一个三角形的一边中线垂 如果一个三角形的一边中线垂 直这条边 平分这个边的对角 直这条边 平分这个边的对角 那么这个三角形是等腰三角形那么这个三角形是等腰三角形 角角 平平 分分 线线 1 等腰三角形顶角平分线垂直平分 等腰三角形顶角平分线垂直平分 底边 底边 2 等腰三角形两底角平分线相等 等腰三角形两底角平分线相等 并且它们的交点到底边两端点的并且它们的交点到底边两端点的 距离相等 距离相等 1 如果三角形的顶角平分线垂直 如果三角形的顶角平分线垂直 于这个角的对边 平分对边 于这个角的对边 平分对边 那么这个三角形是等腰三角形 那么这个三角形是等腰三角形 2 三角形中两个角的平分线相等 三角形中两个角的平分线相等 那么这个三角形是等腰三角形 那么这个三角形是等腰三角形 高高 线线 1 等腰三角形底边上的高平分顶角 等腰三角形底边上的高平分顶角 平分底边 平分底边 2 等腰三角形两腰上的高相等 并 等腰三角形两腰上的高相等 并 且它们的交点和底边两端点距离且它们的交点和底边两端点距离 相等 相等 1 如果一个三角形一边上的高平 如果一个三角形一边上的高平 分这条边 平分这条边的对角 分这条边 平分这条边的对角 那么这个三角形是等腰三角形 那么这个三角形是等腰三角形 2 有两条高相等的三角形是等腰 有两条高相等的三角形是等腰 三角形 三角形 角角等边对等角等边对等角等角对等边等角对等边 边边底的一半底的一半 腰长腰长 周长的一半周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形两边相等的三角形是等腰三角形 4 三角形中的中位线 三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 1 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 2 要会区别三角形中线与中位线 要会区别三角形中线与中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理的作用 三角形中位线定理的作用 位置关系 可以证明两条直线平行 位置关系 可以证明两条直线平行 数量关系 可以证明线段的倍分关系 数量关系 可以证明线段的倍分关系 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 结论结论 1 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 结论结论 2 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论结论 3 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论结论 4 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论结论 5 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 第十四章第十四章 整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解 一 回顾知识点一 回顾知识点 1 主要知识回顾 主要知识回顾 幂的运算性质 幂的运算性质 am an am n m n 为正整数 为正整数 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 am n amn m n 为正整数 为正整数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 幂的乘方 底数不变 指数相乘 ab n an bn n 为正整数 为正整数 积的乘方等于各因式乘方的积 积的乘方等于各因式乘方的积 am an am n a 0 m n 都是正整数 且都是正整数 且 m n 同底数幂相除 底数不变 指数相减 同底数幂相除 底数不变 指数相减 零指数幂的概念 零指数幂的概念 a0 1 a 0 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念 负指数幂的概念 a p p a 1 a 0 p 是正整数 是正整数 任何一个不等于零的数的 任何一个不等于零的数的 p p 是正整数 指数幂 等于这个数的是正整数 指数幂 等于这个数的 p 指数幂的倒数 指数幂的倒数 也可表示为 也可表示为 pp n m m n m 0 n 0 p 为正整数 为正整数 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则 单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘 用单项式和多项式的每一项分别相乘 再把所得的积相单项式与多项式相乘 用单项式和多项式的每一项分别相乘 再把所得的积相 加 加 多项式与多项式的乘法法则 多项式与多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘 再把所得的积相加 再把所得的积相加 单项式的除法法则 单项式的除法法则 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 再把所得的商相加 2 乘法公式 乘法公式 平方差公式 平方差公式 a b a b a2 b2 文字语言叙述 两个数的和与这两个数的差相乘 等于这两个数的平方差 文字语言叙述 两个数的和与这两个数的差相乘 等于这两个数的平方差 完全平方公式 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 文字语言叙述 两个数的和 或差 的平方等于这两个数的平方和加上 或减去 这两文字语言叙述 两个数的和 或差 的平方等于这两个数的平方和加上 或减去 这两 个数的积的个数的积的 2 倍 倍 3 因式分解 因式分解 因式分解的定义 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 掌握其定义应注意以下几点 掌握其定义应注意以下几点 1 分解对象是多项式 分解结果必须是积的形式 且积的因式必须是整式 这三个 分解对象是多项式 分解结果必须是积的形式 且积的因式必须是整式 这三个 要素缺一不可 要素缺一不可 2 因式分解必须是恒等变形 因式分解必须是恒等变形 3 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形 因式分解是把和差化为积的形式 而整式乘法是把积因式分解与整式乘法是互逆变形 因式分解是把和差化为积的形式 而整式乘法是把积 化为和差的形式 化为和差的形式 二 熟练掌握因式分解的常用方法 二 熟练掌握因式分解的常用方法 1 提公因式法 提公因式法 1 掌握提公因式法的概念 掌握提公因式法的概念 2 提公因式法的关键是找出公因式 公因式的构成一般情况下有三部分 提公因式法的关键是找出公因式 公因式的构成一般情况下有三部分 系数一系数一 各项系数的最大公约数 各项系数的最大公约数 字母字母 各项含有的相同字母 各项含有的相同字母 指数指数 相同字母的最低次数 相同字母的最低次数 3 提公因式法的步骤 提公因式法的步骤 找出公因式 找出公因