南航戴华矩阵论第五章Hermite矩阵与正定矩阵ppt课件.ppt

第5章Hermite矩阵与正定矩阵 5 1Hermite矩阵与Hermite二次型 5 4Hermite矩阵的特征值 5 3矩阵不等式 5 2Hermite正定 非负定 矩阵 5 1Hermite矩阵与Hermite二次型 5 1 1Hermite矩阵 5 1 2矩阵的惯性 5 1 3Hermite二次型 5 1 1Hermite矩阵 Hermite矩阵具有如下简单性质 1 如果A是Hermite矩阵 则对正整数k Ak也是Hermite矩阵 2 如果A是可逆Hermite矩阵 则A 1是Hermite矩阵 3 如果A B是Hermite矩阵 则对实数k p kA pB是Hermite矩阵 若A B是Hermite矩阵 则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是AB BA 5 A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵S SHAS是Hermite矩阵 定理5 1 1 定理5 1 2设A为n阶Hermite矩阵 则 1 A的所有特征值全是实数 2 A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的 定理5 1 3设 则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U使得 定理5 1 4设 则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得 5 1 2矩阵的惯性 定理5 1 5设A是n阶Hermite矩阵 则A相合于矩阵 其中r rank A s是A的正特征值 重特征值按重数计算 的个数 5 1 3 中矩阵称为n阶Hermite矩阵A的相合标准形 定理5 1 6 Sylvester惯性定律 设A B是n阶Hermite矩阵 则A与B相合的充分必要条件是 5 1 3Hermite二次型 则A为Hermite矩阵 称矩阵A为Hermite二次型的矩阵 并且称A的秩为Hermite二次型的秩 记 利用Hermite二次型的矩阵 Hermite二次型可表示为 设P是n阶可逆矩阵 作线性变换x Py 则 Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 称形如 5 1 12 的二次型为Hermite二次型的标准形 定理5 1 7对Hermite二次型f x xHAx 存在酉线性变换x Uy 其中U是酉矩阵 使得Hermite二次型f x 变成标准形 定理5 1 8对Hermite二次型f x xHAx 存在可逆线性变换x Py使得Hermite二次型f x 化为 其中r rank A s A Hermite二次型可分为五种情况 定义5 1 1设f x xHAx为Hermite二次型 定理5 1 9对Hermite二次型f x xHAx 有 5 2Hermite正定 非负定 矩阵 定义5 2 1 正定 非负定 矩阵具有如下基本性质 定理5 2 1设A是n阶Hermite矩阵 则下列命题等价 1 A是正定矩阵 2 对任意n阶可逆矩阵P PHAP都是Hermite正定矩阵 3 A的n个特征值均为正数 4 存在n阶可逆矩阵P使得PHAP I 5 存在n阶可逆矩阵Q使得A QHQ 6 存在n阶可逆Hermite矩阵S使得A S2 推论5 2 1 定理5 2 2设A是n阶Hermite矩阵 则下列命题等价 1 A是非负定矩阵 2 对任意n阶可逆矩阵P PHAP是Hermite非负定矩阵 3 A的n个特征值均为非负数 推论5 2 2 定理5 2 3n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数 即 定理5 2 4n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零 定理5 2 5n阶Hermite矩阵A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负 定理5 2 6n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶非奇异下三角矩阵L使得 定义5 2 2 则称 为广义特征值问题的特征值 非零向量x称为对应于特征值的特征向量 定理5 2 7设A B均为n阶Hermite矩阵 且B 0 则存在非奇异矩阵P使得 5 3矩阵不等式 定义5 3 1设A B都是n阶Hermite矩阵 若A B 0 则称A大于或等于B 或称B小于或等于A 记作A B 或B A 若A B 0 则称A大于B 或称B小于A 记作A B或 B A 设A B都是n阶Hermite矩阵 由定义5 3 1得 注意 1 任意两个实数总可以比较大小 但任意两个n阶Hermite矩阵未必能 比较大小 即并非A B或B A两者之中必有一成立 2 对任意两个实数a和b 如果a b 而a b 则有a b 但对两个n n 2 阶Hermite矩阵A与B 从A B和A B 不能推出A B 矩阵的 是Hermite矩阵集合中的一种偏序关系 定理5 3 1设A A1 B B1 C均为n阶Hermite矩阵 则 定理5 3 2设A B均为n阶Hermite矩阵 且A 0 B 0 则 定理5 3 3设A是n阶Hermite矩阵 则其中和分别表示A的最大和最小特征值 推论5 3 1设A是Hermite非负定矩阵 则A tr A I 定理5 3 4设A B均为n阶Hermite矩阵 则 定理5 3 5设A B均为n阶Hermite矩阵 且AB BA 则 定理5 3 6 5 4Hermite矩阵的特征值 定