数值计算作业

第一次作业 二分法 第一次作业 二分法 一 题目一 题目 已知 y x 3 4 x 2 10 在 1 2 上有一零点 求解该点 要求精 度达到 e 0 001 二 引言二 引言 目的 通过二分法计算此题 学会运用二分法计算一些题 应用 所编程序求出 f x 0 的根的近似值 意义 意义 采用根隔离的方法 逐步缩小根的范围 搜索根的位置 程序结构简单 算法可靠 根始终收敛 方法提出 介值定理 基本思想 逐步缩小根存在的区间 搜索根所在的位置 三 算法三 算法 1 将区间 a b 分半 取中点 x0 a b 2 求 f x0 2 b x0 e 输出 x0 停机 否则 下一步 3 判断根所在小区间 若 f a f x0 0 含根区间 a b a a b 2 若 f a f x0 0 含根区间 a b a b 2 b 新区间长度 b1 a1 b a 2 4 转向步骤 1 对新区间重复上述步骤 bn an b a 2 n 得近似解 xn an bn 2 5 流程图 四 程序设计四 程序设计 program main real a 1 real b 2 real x real e 0 001 real yo real y integer k 0 do while b a e k k 1 yo a 3 4 a 2 10 x a b 2 y x 3 4 x 2 10 write k a b x y if y yo 0 then a x else b x end if end do end 五 结果及讨论分析五 结果及讨论分析 1 运行结果 2 讨论分析 1 误差 e xn bn an 2 b a 2 n 1 2 1 2 11 0 0004882812 2 算法的优点 程序结构简单 方法可靠 根始终收敛 3 算法的缺点 逼近真实根的速度慢 只能求方程的一 个实根 不能求复根和偶数重根 7 7 迭代法 补充 迭代法 补充 1 1 限制精度的迭代限制精度的迭代 program ex012 implicit none real x0 x real parameter a 0 0000005 integer k integer parameter n 20 read x0 do k 0 n write k x0 x x0 1 1 0 3 0 if abs x x0 a then exit else if k n then x0 x end if end do stop end 2 2 限制循环次数迭代限制循环次数迭代 program dj007 implicit none real x0 integer k real x1 integer parameter N 9 real external f k 0 x0 1 5 do while k N write k x0 x0 f x0 k k 1 end do end function f x real x f f x 1 real 1 real 3 return End 第二次作业 求解线性方程组 第二次作业 求解线性方程组 1 1 题目题目 分别利用雅可比迭代法和高斯 塞德尔迭代法求解以下线性方程组 使得误差不超过 0 00001 2 2 引言引言 目的 掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤 熟悉计算 机 fortran 语言 意义 雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种 求解方便实用 2 45 3 8210 2 7210 321 321 321 xxx xxx xxx 基本思想 解线性方程组的迭代法 其基本思想是将联立方程组的 求解 归结为重复计算一组彼此独立的线性表达式 这就使问题得 到了简化 三 算法三 算法 1 算算法法建建立立 1 雅可比迭代法 k n i xab a x n ij j k jjii ii k i 21021 1 1 1 其中 T n x x xx 00 2 0 1 0 为初始向量 2 高斯 塞德尔迭代法 k n i xaxab a x i j n ij k jij k jiji ii k i 21021 1 1 11 11 其中 T n x x xx 00 2 0 1 0 为初始向量 2 2 流程图流程图 雅可比迭代法 开始 Max xi yi k n 迭代失 败 结束 输出 yi 4 4 结构程序设计结构程序设计 雅可比迭代 program main implicit none real c 0 0005 integer parameter n 3 integer parameter m 3 输入数 据 k 1 yi bi aijxj aii i 1 2 n k k 1 xi yi i 1 2 n real x n 0 0 0 real y n 0 0 0 real a n m 10 1 1 1 10 1 2 2 5 real b n 7 2 8 3 4 2 integer i j k integer g 30 do k 1 g write k x 1 x 2 x 3 do i 1 3 do j 1 3 if i j 0 then y i a i j x j y i end if end do y i b i y i a i i end do if max abs y 1 x 1 abs y 2 x 2 abs y 3 x 3 c then exit else do i 1 3 x i y i y i 0 end do end if end do stop end 高斯 赛德尔迭代 program main implicit none real c 0 0005 integer parameter n 3 integer parameter m 3 real x n 0 0 0 real y n 0 0 0 real a n m 10 1 1 1 10 1 2 2 5 real b n 7 2 8 3 4 2 integer i j k integer g 30 do k 1 g write k x 1 x 2 x 3 do i 1 3 do j 1 3 if i j 0 then y i a i j x j y i end if end do y i b i y i a i i x i y i y i 0 end do if max abs y 1 x 1 abs y 2 x 2 abs y 3 x 3 m then d a i k l i end if if d 0 then write end if if l k then t a l j a l j a k j a k j t t b l b l b k b k t end if end do do j k 1 n a k j a k j a k k end do b k b k a k k do i k 1 n do j k 1 n a i j a i j a k j a i k end do b i b i b k a i k end do end do do i n 1 1 do j i 1 n b i b i a i j b j end do end do write b 1 b 2 b 3 end 五 结果及讨论五 结果及讨论 1 实验结果 2 讨论分析 1 误差 运用选主元素法 减小了舍入误差对解的影响 2 收敛性 具有较高的收敛性 收敛速度较快 六 算法评价六 算法评价 优点 方法精确 较约旦消去法进一步节省了计算量 缺点 程序复杂 对高阶矩阵易受到计算机容量的限制 适用于中 小型方程组 第四次作业 差分法 第四次作业 差分法 1 1 题目题目 求解初值问题 二 引言二 引言 目的 通过将初值问题的区间离散化 再将微分方程离散化 将微通过将初值问题的区间离散化 再将微分方程离散化 将微 分方程化为代数方程进而求解出微分方程的解 分方程化为代数方程进而求解出微分方程的解 意义 通过对算法的初步学习 我们已经初步掌握了计算机的编程通过对算法的初步学习 我们已经初步掌握了计算机的编程 方法 又通过对常微分方程的差分法的学习 我们可以对比差分方方法 又通过对常微分方程的差分法的学习 我们可以对比差分方 10 1 0 2 x y y x yy 法中不同的程序运行 判断不同程序的精确度以及复杂度 从中选法中不同的程序运行 判断不同程序的精确度以及复杂度 从中选 择最优的计算方法 择最优的计算方法 基本思想 求解区域离散化求解区域离散化 微分方程离散化微分方程离散化 代数方程代数方程 近似解 近似解 三 算法三 算法 1 1 将求解区域离散化 即将求解区间将求解区域离散化 即将求解区间 N N 等分 得到步长等分 得到步长 h h 2 2 构造递推公式 化微分方程为差分方程构造递推公式 化微分方程为差分方程 3 3 分析三性 分析三性 1 1 相容性 相差不能太大 相容性 相差不能太大 2 稳定性 稳定性 与与接近接近 n y xn y 3 收敛性 舍入误差影响差分格式解的精确性 收敛性 舍入误差影响差分格式解的精确性 其中实现离散化的基本途径是用差商替代导数 其中实现离散化的基本途径是用差商替代导数 在点在点列出方程列出方程并用差商替代并用差商替代 n x xnyxnfxny 其中的导数项其中的导数项得到结果得到结果 y 2 1 n n nnn y x yhyy 如果题目中已知初值 则可以由此而得出 四 结构程序设计四 结构程序设计 向前欧拉 program chafen implicit none real h y x integer n k n 10 h 0 1 y 1 do k 0 n 1 x h k y y h y 2 h k y write x 0 1 y end do end 五 结果及讨论分析五 结果及讨论分析 1 1 输出结果 输出结果 2 2 误差分析误差分析 六六 算法评价算法评价 优点 程序简单 方法可靠 缺点 算出结果误差较大 8 8 其他方法 补充 其他方法 补充 后退欧拉后退欧拉 program ex03 implicit none real a h x y y0 e y1 integer n k k 10 h 0 1 y0 1 e 0 00001 a 0 do n 0 k 1 x a n h y1 y0 h y0 2 x y0 x x h y y0 h y1 2 x y1 if abs y y1 e then y1 y y y0 h y1 2 x y1 end if y0 y write x y end do end 两步欧拉两步欧拉 program 2bol implicit none real a b y0 y1 h y x integer n k 10 a 0 0000 b 1 0000 y0 1 0000 h b a k y1 y0 h y0 2 0 a y0 write a y0 write a h y1 do n 1 k 1 x a n h y y0 2 0 h y1 2 0 x y1 y0 y1 y1 y write x h y end do End 梯形欧拉梯形