贵州省2017届高考数学适应性试卷(理科)解析版

贵州省贵州省 2017 届届高考数学适应性试卷 理科 高考数学适应性试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 1 设集合 M x x2 2x 0 N x x 1 则 M N A x x 1 B x 1 x 2 C x 0 x 1 D x x 1 2 已知 x y R i 是虚数单位 且 2x i 1 i y 则 y 的值为 A 1B 1C 2D 2 3 已知数列 an 满足 an an 1 若 a3 a4 2 则 a4 a5 A B 1C 4D 8 4 已知向量与不共线 且向量 m n 若 A B C 三 点共线 则实数 m n A mn 1B mn 1C m n 1D m n 1 5 执行如图所示的程序框图 如果输入的 a b 分别为 56 140 则输出的 a A 0B 7C 14D 28 6 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理 组暅原理 幂势既 同 则积不容异 势 即是高 幂 是面积 意思是 如果两等高的几何体在 同高处截得两几何体的截面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 类比祖 暅原理 如图所示 在平面直角坐标系中 图 1 是一个形状不规则的封闭图形 图 2 是一个上底长为 1 下底长为 2 的梯形 且当实数 t 取 0 3 上的任意值 时 直线 y t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长总相等 则图 1 的面积为 A 4B C 5D 7 如图 在正方体 ABC 的 A1B1C1D1中 点 P 是线段 A1C1上的动点 则三棱锥 P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为 A 1B C D 2 8 已知 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c b 2 B 45 若三角 形有两解 则 a 的取值范围是 A a 2B 0 a 2 C 2 a 2D 2 a 2 9 已知区域 x y x 0 y 由直线 x x 曲线 y cosx 与 x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为 A 若在区域 内随机取一点 P 则点 P 在区域 A 的概率为 A B C D 10 某地一年的气温 Q t 单位 与时间 t 月份 之间的关系如图所 示 已知该年的平均气温为 10 令 C t 表示时间段 0 t 的平均气温 下 列四个函数图象中 最能表示 C t 与 t 之间的函数关系的是 A B C D 11 已知点 A 是抛物线 x2 4y 的对称轴与准线的交点 点 F 为抛物线的焦点 P 在抛物线上且满足 PA m PF 当 m 取最大值时 PA 的值为 A 1B C D 2 12 已知函数 f x 函数 g x f 2 x b 其中 b R 若 函数 y f x g x 恰有 4 个零点 则 b 的取值范围是 A 7 8 B 8 C 7 0 D 8 二 填空题 本小题共二 填空题 本小题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 若函数 f x x a x 3 为偶函数 则 f 2 14 x a 4的展开式中含 x4项的系数为 9 则实数 a 的值为 15 设 A B 是球 O 的球面上两点 AOB C 是球面上的动点 若四面体 OABC 的体积 V 的最大值为 则此时球的表面积为 16 已知数列 an 满足 a1 40 且 nan 1 n 1 an 2n2 2n 则 an取最小值时 n 的值为 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 70 分 分 17 12 分 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 acosB 4 bsinA 3 1 求 tanB 及边长 a 的值 2 若 ABC 的面积 S 9 求 ABC 的周长 18 12 分 为检测空气质量 某市环保局随机抽取了甲 乙两地 2016 年 20 天 PM2 5 日平均浓度 单位 微克 立方米 监测数据 得到甲地 PM2 5 日平 均浓度频率分布直方图和乙地 PM2 5 日平均浓度的频数分布表 乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度频数分布表 PM2 5 日平 均浓度 微 克 立方米 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 频数 天 23465 1 根据乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方 图 并通过两个频率分布直方图比较两地 PM2 5 日平均浓度的平均值及分散程 度 不要求计算出具体值 给出结论即可 2 通过调查 该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级 满意度等级非常满意满意不满意 PM2 5 日平均浓度 微克 立 方米 不超过 20大于 20 不超 过 60 超过 60 记事件 C 甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意 度等级 假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立 根据所给数据 利用样本估计总体的统计思想 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求事件 C 的概率 19 12 分 如图 1 在等腰直角三角形 ABC 中 B 90 将 ABC 沿中位线 DE 翻折得到如图 2 所示的空间图形 使二面角 A DE C 的大小为 0 1 求证 平面 ABD 平面 ABC 2 若 求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值 20 12 分 已知椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 点 P 1 在椭圆 E 上 直线 l 过椭圆的右焦点 F 且与椭圆相交于 A B 两点 1 求 E 的方程 2 在 x 轴上是否存在定点 M 使得 为定值 若存在 求出定点 M 的 坐标 若不存在 说明理由 21 12 分 已知函数 f x xlnx ax 函数 f x 的图象在点 x 1 处的切线 与直线 x 2y 1 0 垂直 1 求 a 的值和 f x 的单调区间 2 求证 ex f x 选修选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 坐标系与参数方程选讲 22 10 分 曲线 C1的参数方程为 为参数 在以原点 O 为极 点 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin 1 求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程 2 过原点且倾斜角为 的射线 l 与曲线 C1 C2分别相交于 A B 两点 A B 异于原点 求 OA OB 的取值范围 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x x 1 x 5 g x 1 求 f x 的最小值 2 记 f x 的最小值为 m 已知实数 a b 满足 a2 b2 6 求证 g a g b m 2017 年贵州省高考数学适应性试卷 理科 年贵州省高考数学适应性试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 1 设集合 M x x2 2x 0 N x x 1 则 M N A x x 1 B x 1 x 2 C x 0 x 1 D x x 1 考点 交集及其运算 分析 解不等式求出集合 M 再根据交集的定义写出 M N 解答 解 集合集合 M x x2 2x 0 x 0 x 2 N x x 1 则 M N x 1 x 2 故选 B 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 已知 x y R i 是虚数单位 且 2x i 1 i y 则 y 的值为 A 1B 1C 2D 2 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 利用复数的运算法则 复数相等即可得出 解答 解 y 2x i 1 i 2x 1 1 2x i 解得 y 2 故选 D 点评 本题考查了复数的运算法则 复数相等 考查了计算能力 属于基础 题 3 已知数列 an 满足 an an 1 若 a3 a4 2 则 a4 a5 A B 1C 4D 8 考点 等比数列的通项公式 分析 根据已知条件可以求得公比 q 2 解答 解 数列 an 满足 an an 1 2 则该数列是以 2 为公比的等比数列 由 a3 a4 2 得到 4a1 8a1 2 解得 a1 则 a4 a5 8a1 16a1 24a1 24 4 故选 C 点评 本题考查了等比数列的通项公式 是基础的计算题 4 已知向量与不共线 且向量 m n 若 A B C 三 点共线 则实数 m n A mn 1B mn 1C m n 1D m n 1 考点 平行向量与共线向量 分析 由题意可得 再根据两个向量共线的性质可得 由此可得 结论 解答 解 由题意可得 故有 mn 1 故选 A 点评 本题主要考查两个向量共线的性质 两个向量坐标形式的运算 属于 中档题 5 执行如图所示的程序框图 如果输入的 a b 分别为 56 140 则输出的 a A 0B 7C 14D 28 考点 程序框图 分析 模拟执行程序框图 依次写出每次循环得到的 a b 的值 当 a 28 b 28 时 不满足条件 a b 退出循环 输出 a 的值 解答 解 模拟程序的运行 可得 a 56 b 140 满足条件 a b 不满足条件 a b b 140 56 84 满足条件 a b 不满足条件 a b b 84 56 28 满足条件 a b 满足条件 a b a 56 28 28 不满足条件 a b 退出循环 输出 a 的值为 28 故选 D 点评 本题主要考查了循环结构的程序框图 正确依次写出每次循环得到的 a b 的值是解题的关键 属于基本知识的考查 6 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理 组暅原理 幂势既 同 则积不容异 势 即是高 幂 是面积 意思是 如果两等高的几何体在 同高处截得两几何体的截面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 类比祖 暅原理 如图所示 在平面直角坐标系中 图 1 是一个形状不规则的封闭图形 图 2 是一个上底长为 1 下底长为 2 的梯形 且当实数 t 取 0 3 上的任意值 时 直线 y t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长总相等 则图 1 的面积为 A 4B C 5D 考点 进行简单的演绎推理 分析 根据题意 由祖暅原理 分析可得图 1 的面积等于图 2 梯形的面积 计算梯形的面积即可得出结论 解答 解 根据题意 由祖暅原理 分析可得图 1 的面积等于图 2 梯形的面 积 又由图 2 是一个上底长为 1 下底长为 2 的梯形 其面积 S 故选 B 点评 本题考查演绎推理的运用 关键是理解题目中祖暅原理的叙述 7 如图 在正方体 ABC 的 A1B1C1D1中 点 P 是线段 A1C1上的动点 则三棱锥 P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为 A 1B C D 2 考点 简单空间图形的三视图 分析 分析三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的形状 并求出面积 可得答 案 解答 解 设棱长为 1 则三棱锥 P BCD 的正视图是底面边长为 1 高为 1 的 三角形 面积为 三棱锥 P BCD 的俯视图取最大面积时 P 在 A1处 俯视图面积为 故三棱锥 P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为 1 故选 A 点评 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图 根据已知分析出三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的形状 是解答的关键 8 已知 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c b 2 B 45 若三角 形有两解 则 a 的取值范围是 A a 2B 0 a 2 C 2 a 2D 2 a 2 考点 正弦定理 分析 由题意判断出三角形有两解时 A 的范围 通过正弦定理及正弦函数的 性质推出 a 的范围即可 解答 解 由 AC b 2 要使三角形有两解 就是要使以 C 为圆心 半径为 2 的圆与 BA 有两个交点 当 A 90 时 圆与 AB 相切 当 A 45 时交于 B 点 也就是只有一解 45 A 135 且 A 90 即 sinA 1 由正弦定理以及 asinB bsinA 可得 a 2sinA 2sinA 2 2 a 的取值范围是 2 2 故选 C 点评 此题考查了正弦定理 正弦函数的图象与性质 以及特殊角的三角函 数值 熟练掌握正弦定理是解本题的关键 属于中档题 9 已知区域 x y x 0 y 由直线 x x 曲线 y cosx 与 x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为 A 若在区域 内随机取一点 P 则点 P 在区域 A 的概率为 A B C D 考点 几何概型 分析 首先明确几何概型测度为区域面积 利用定积分求出 A 的面积 然后 由概型公式求概率 解答 解 由已知得到事件对应区域面积为 4 由直线 x x 曲线 y cosx 与 x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为 A 面积为 2 2sinx 由急火攻心的公式得到所求概率为 故选 C 点评 本题考查了几何概型的概率求法 明确几何测度是关键 10 某地一年的气温 Q t 单位 与时间 t 月份 之间的关系如图所 示 已知该年的平均气温为 10 令 C t 表示时间段 0 t 的平均气温 下 列四个函数图象中 最能表示 C t 与 t 之间的函数关系的是 A B C D 考点 函数的图象 分析 根据图象的对称关系和条件可知 C 6 0 C 12 10 再根据气温 变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于 10 使用排除法得出答案 解答 解 气温图象在前 6 个月的图象关于点 3 0 对称 C 6 0 排除 D 注意到后几个月的气温单调下降 则从 0 到 12 月前的某些时刻 平均气温应大 于 10 可排除 C 该年的平均气温为 10 t 12 时 C 12 10 排除 B 故选 A 点评 本题考查了函数图象的几何意义 函数图象的变化规律 属于中档 题 11 已知点 A 是抛物线 x2 4y 的对称轴与准线的交点 点 F 为抛物线的焦点 P 在抛物线上且满足 PA m PF 当 m 取最大值时 PA 的值为 A 1B C D 2 考点 抛物线的简单性质 分析 过 P 作准线的垂线 垂足为 N 则由抛物线的定义 结合 PA m PF 设 PA 的倾斜角为 则当 m 取得最大值时 sin 最小 此时直 线 PA 与抛物线相切 求出 P 的坐标 即可求得 PA 的值 解答 解 抛物线的标准方程为 x2 4y 则抛物线的焦点为 F 0 1 准线方程为 y 1 过 P 作准线的垂线 垂足为 N 则由抛物线的定义可得 PN PF PA m PF PA m PN 设 PA 的倾斜角为 则 sin 当 m 取得最大值时 sin 最小 此时直线 PA 与抛物线相切 设直线 PA 的方程为 y kx 1 代入 x2 4y 可得 x2 4 kx 1 即 x2 4kx 4 0 16k2 16 0 k 1 P 2 1 PA 2 故选 D 点评 本题考查抛物线的性质 考查抛物线的定义 考查学生分析解决问题 的能力 解答此题的关键是明确当 m 取得最大值时 sin 最小 此时直线 PA 与抛物线相切 属中档题 12 已知函数 f x 函数 g x f 2 x b 其中 b R 若 函数 y f x g x 恰有 4 个零点 则 b 的取值范围是 A 7 8 B 8 C 7 0 D 8 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 求出函数 y f x g x 的表达式 构造函数 h x f x f 2 x 作出函数 h x 的图象 利用数形结合进行求解即可 解答 解 函数 g x f 2 x b 由 f x g x 0 得 f x f 2 x 设 h x f x f 2 x 若 x 0 则 x 0 2 x 2 则 h x f x f 2 x 2 x x2 若 0 x 2 则 2 x 0 0 2 x 2 则 h x f x f 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 若 x 2 x 2 2 x 0 则 h x f x f 2 x x 2 2 2 2 x x2 5x 8 作出函数 h x 的图象如图 当 x 0 时 h x 2 x x2 x 2 当 x 2 时 h x x2 5x 8 x 2 由图象知要使函数 y f x g x 恰有 4 个零点 即 h x 恰有 4 个根 解得 b 7 8 故选 A 点评 本题主要考查函数零点个数的判断 根据条件求出函数的解析式 利 用数形结合是解决本题的关键 属于难题 二 填空题 本小题共二 填空题 本小题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 若函数 f x x a x 3 为偶函数 则 f 2 5 考点 函数奇偶性的性质 分析 根据偶函数 f x 的定义域为 R 则 x R 都有 f x f x 建立 等式 解之求出 a 即可求出 f 2 解答 解 因为函数 f x x a x 3 是偶函数 所以 x R 都有 f x f x 所以 x R 都有 x a x 3 x a x 3 即 x2 a 3 x 3a x2 a 3 x 3a 所以 a 3 所以 f 2 2 3 2 3 5 故答案为 5 点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质 同时考查了运算求解的能力 属 于基础题 14 x 1 x a 4的展开式中含 x4项的系数为 9 则实数 a 的值为 2 考点 二项式系数的性质 分析 利用 x 1 x a 4 x 1 x4 4x3a 进而得出 解答 解 x 1 x a 4 x 1 x4 4x3a 展开式中含 x4项的系数为 9 1 4a 9 解得 a 2 故答案为 2 点评 本题考查了二项式定理的展开式 考查了推理能力与计算能力 属于 基础题 15 设 A B 是球 O 的球面上两点 AOB C 是球面上的动点 若四面体 OABC 的体积 V 的最大值为 则此时球的表面积为 36 考点 球的体积和表面积 分析 当点 C 位于垂直于面 AOB 时 三棱锥 O ABC 的体积最大 利用三棱锥 O ABC 体积的最大值为 求出半径 即可求出球 O 的体积 解答 解 如图所示 当点 C 位于垂直于面 AOB 时 三棱锥 O ABC 的体积最 大 设球 O 的半径为 R 此时 VO ABC VC AOB R2 sin60 R 故 R 3 则球 O 的表面积为 4 R2 36 故答案为 36 点评 本题考查球的半径 考查体积的计算 确定点 C 位于垂直于面 AOB 时 三棱锥 O ABC 的体积最大是关键 属于中档题 16 已知数列 an 满足 a1 40 且 nan 1 n 1 an 2n2 2n 则 an取最小值时 n 的值为 10 或 11 考点 数列递推式 分析 nan 1 n 1 an 2n2 2n 化为 2 利用等差数列的通项公式 可得 an 再利用二次函数的单调性即可得出 解答 解 nan 1 n 1 an 2n2 2n 2 数列 是等差数列 首项为 40 公差为 2 40 2 n 1 化为 an 2n2 42n 2 则 an取最小值时 n 的值为 10 或 11 故答案为 10 或 11 点评 本题考查了等差数列的通项公式 二次函数的单调性 考查了推理能 力与计算能力 属于中档题 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 70 分 分 17 12 分 2017 贵州模拟 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 acosB 4 bsinA 3 1 求 tanB 及边长 a 的值 2 若 ABC 的面积 S 9 求 ABC 的周长 考点 三角形中的几何计算 分析 1 由 acosB 4 bsinA 3 两式相除 结合正弦定理可求 tanB 又 acosB 4 可得 cosB 0 从而可求 cosB 即可解得 a 的值 2 由 1 知 sinB 利用三角形面积公式可求 c 由余弦定理可求 b 从 而解得三角形周长的值 解答 解 在 ABC 中 由 acosB 4 bsinA 3 两式相除 有 所以 tanB 又 acosB 4 故 cosB 0 则 cosB 所以 a 5 6 分 2 由 1 知 sinB 由 S acsinB 得到 c 6 由 b2 a2 c2 2accosB 得 b 故 l 5 6 11 即 ABC 的周长为 11 12 分 点评 本题主要考查了正弦定理 余弦定理 同角三角函数基本关系式 三 角形面积公式在解三角形中的应用 考查了计算能力和转化思想 属于中档 题 18 12 分 2017 贵州模拟 为检测空气质量 某市环保局随机抽取了甲 乙两地 2016 年 20 天 PM2 5 日平均浓度 单位 微克 立方米 监测数据 得到 甲地 PM2 5 日平均浓度频率分布直方图和乙地 PM2 5 日平均浓度的频数分布 表 乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度频数分布表 PM2 5 日平 均浓度 微 克 立方米 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 频数 天 23465 1 根据乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方 图 并通过两个频率分布直方图比较两地 PM2 5 日平均浓度的平均值及分散程 度 不要求计算出具体值 给出结论即可 2 通过调查 该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级 满意度等级非常满意满意不满意 PM2 5 日平均浓度 微克 立不超过 20大于 20 不超超过 60 方米 过 60 记事件 C 甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意 度等级 假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立 根据所给数据 利用样本估计总体的统计思想 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求事件 C 的概率 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 频率分布直方图 分析 1 根据乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度的频率分布表能作出相应的频 率分组直方图 由频率分布直方图能求出结果 2 记 A1表示事件 甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意 A2表示事件 甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意 B1表示事件 乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意 B2表示事件 乙地市民对空气 质量的满意度等级为满意 则 A1与 B1独立 A2与 B2独立 B1与 B2互斥 C B1A1 B2A2 由此能求出事件 C 的概率 解答 解 1 根据乙地 20 天 PM2 5 日平均浓度的频率分布表作出相应的 频率分组直方图 如下图 由频率分布直方图得 甲地 PM2 5 日平均浓度的平均值低于乙地 PM2 5 日平均浓度的平均值 而且甲地的数据比较集中 乙地的数据比较分散 2 记 A1表示事件 甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意 A2表示事件 甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意 B1表示事件 乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意 B2表示事件 乙地市民对空气质量的满意度等级为满意 则 A1与 B1独立 A2与 B2独立 B1与 B2互斥 C B1A1 B2A2 P C P B1A1 B2A2 P B1 P A1 P B2 P A2 由题意 P A1 P A2 P B1 P B2 P C 点评 本题考查频率分布直方图的应用 考查概率的求法 是基础题 解题 时要认真审题 注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合 理运用 19 12 分 2017 贵州模拟 如图 1 在等腰直角三角形 ABC 中 B 90 将 ABC 沿中位线 DE 翻折得到如图 2 所示的空间图形 使二面角 A DE C 的大 小为 0 1 求证 平面 ABD 平面 ABC 2 若 求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值 考点 直线与平面所成的角 平面与平面垂直的判定 分析 1 证明 DE 平面 ADB DE BC 可证 BC 平面 ABD 即可证明 平面 ABD 平面 ABC 2 取 DB 中点 O AO DB 由 1 得平面 ABD 平面 EDBC AO 面 EDBC 所以以 O 为原点 建立如图坐标系 则 A 0 0 B 1 0 0 C 1 4 0 E 1 2 0 利用平面 ABC 的法向量 求解 解答 1 证明 由题意 DE BC DE AD DE BD AD BD D DE 平面 ADB BC 平面 ABD 面 ABC 平面 ABD 平面 ABC 2 由已知可得二面角 A DE C 的平面角就是 ADB 设等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 4 则在 ADB 中 AD DB AB 2 取 DB 中点 O AO DB 由 1 得平面 ABD 平面 EDBC AO 面 EDBC 所以以 O 为原点 建立如图坐标系 则 A 0 0 B 1 0 0 C 1 4 0 E 1 2 0 设平面 ABC 的法向量为 由 取 直线 AE 与平面 ABC 所成角的 sin cos 即直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值为 点评 本题考查线面垂直 考查向量法求二面角 考查学生分析解决问题的 能力 属于中档题 20 12 分 2017 贵州模拟 已知椭圆 E 1 a b 0 的离心 率为 点 P 1 在椭圆 E 上 直线 l 过椭圆的右焦点 F 且与椭圆相交 于 A B 两点 1 求 E 的方程 2 在 x 轴上是否存在定点 M 使得 为定值 若存在 求出定点 M 的 坐标 若不存在 说明理由 考点 直线与椭圆的位置关系 分析 1 由题意的离心率公式求得 a c b2 a2 c2 c2 将直线方程代入 椭圆方程 即可求得 a 和 b 求得椭圆方程 2 在 x 轴上假设存在定点 M m 0 使得 为定值 若直线的斜率存 在 设 AB 的斜率为 k F 1 0 由 y k x 1 代入椭圆方程 运用韦达定理 和向量数量积的坐标表示 结合恒成立思想 即可得到定点和定值 检验直线 AB 的斜率不存在时 也成立 解答 解 1 由椭圆的焦点在 x 轴上 椭圆的离心率 e 则 a c 由 b2 a2 c2 c2 将 P 1 代入椭圆方程 解得 c 1 a b 1 椭圆的标准方程 2 在 x 轴上假设存在定点 M m 0 使得 为定值 若直线的斜率存在 设 AB 的斜率为 k F 1 0 由 整理得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 x1 x2 x1x2 y1y2 k2 x1 1 x2 1 k2 x1x2 1 x1 x2 k2 1 则 x1 m x2 m y1y2 x1x2 m2 m x1 x2 y1y2 m2 m 欲使得 为定值 则 2m2 4m 1 2 m2 2 解得 m 此时 2 当 AB 斜率不存在时 令 x 1 代入椭圆方程 可得 y 由 M 0 可得 符合题意 故在 x 轴上存在定点 M 0 使得 点评 本题考查椭圆方程的求法 注意运用离心率公式 考查存在性问题的 解法 注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程 运用韦达定 理和向量的数量积的坐标表示 考查化简整理的运算能力 属于中档题 21 12 分 2017 贵州模拟 已知函数 f x xlnx ax 函数 f x 的图象 在点 x 1 处的切线与直线 x 2y 1 0 垂直 1 求 a 的值和 f x 的单调区间 2 求证 ex f x 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切线方程 分析 1 由 f 1 1 a 2 解得 a 1 利用导数求解单调区间 2 要证 ex f x 即证 ex lnx 2 x 0 时 易得 ex x 1 即只需证明 x lnx 1 即可 解答 解 1 f x lnx 1 a f 1 1 a 2 解得 a 1 故 f x xlnx x f x lnx 2 令 f x 0 解得 x e 2 令 f x 0 解得 0 x e 2 故 f x 在 0 e 2 递减 在 e 2 递增 2 要证 ex f x 即证 ex lnx 2 0 即证 ex lnx 2 x 0 时 易得 ex x