浙教版《一元一次不等式》知识要点、典型例题、习题讲解

1 浙教版浙教版 一元一次不等式一元一次不等式 知识要点及典型例题 习题讲解知识要点及典型例题 习题讲解 一 知识点要求一 知识点要求 1 理解不等式的概念和基本性质 一元一次不等式的概念 不等式的解集 不等式的解 2 会解一元一次不等式 并能在数轴上表示不等式的解集 熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤 和根据 掌握一元一次不等式的应用题的解法 3 理解一元一次不等式组的概念 及不等式组的解不等式组的解的概念 组成不等式组的各个不等式的解的公共 部分 会解一元一次不等式组 并能在数轴上表示不等式组的解 进一步得出不等式组解的规律 同大取大 同小取小 比大得小 比小得大取中间 比大得大 比小得小 不等式组无实数解 掌握一元一次不等式组的应用题 二 重要的数学思想 二 重要的数学思想 1 通过将实际生活问题转化成不等式等数学模型 领会转化的数学思想 2 通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集 进一步领会 数形结合的思想 3 3 类比思想 把两个 或两类 不同的数学对象进行比较 如果发现它们在某些方面有相同或类 似之处 那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处 这种数学思想通常称为 类比类比 它体 现了 不同事物之间存在内部联系 的唯物辩证观点 是发现数学真理和解题方法的重要手段之一 在 数学中有着广泛的运用 在本章中 类比思想的突出运用有 1 1 不等式与等式的性质类比 不等式与等式的性质类比 2 2 不等式的解与方程的解的类比 不等式的解与方程的解的类比 3 3 不等式解法与方程的解法类比 不等式解法与方程的解法类比 注意 注意 解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同 但是要注意如果乘数或除数是负 数时 解不等式时要改变不等号的方向 典型例题典型例题 一 解不等式的通法与技巧一 解不等式的通法与技巧 解一元一次不等式的五个基本步骤和根据如下 步骤根据 1 2去括号单项式乘多项式法则 3 4合并同类项 得 ax b 或 ax b a 0 合并同类项法则 5 同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后 可结合一元一次不等式的特点 采取一些灵 活 简捷的方法与技巧 能使解题事半功倍 2 一 凑整法 一 凑整法 例例 1 1 解不等式 分析 分析 根据不等式性质 两边同乘以适当的数 将小数转化为整系数 解 解 两边同乘以 4 得 x 30 2 x x15 10 x 7x 14 即 x 2 三 裂项法三 裂项法 例例 3 3 解不等式 分析 分析 本题若采用去分母法 步骤较多 由除法意义 裂项相合并 过程简洁 解 解 原不等式变形 得 移项 合并 得 四 整体处理法四 整体处理法 例例 4 4 解不等式 解 解 视 3x 2 为一个整体 变形 得 移项合并 将 二 单纯解不等式组二 单纯解不等式组 3 1 2 1 65 7 5 10542 3 52 xx xx x 1 3 21 4 2 3 x x xx 3 4 2 3 4 1 2 2 xx x xx 1 65 7 5 10542 3 52 xx xx x 5 若的解集是 cx bx ax xcba的不等式组则关于 A B C a 则 a 的取值范围是 解 解 1 a2 a a2 a 0 即 a a 1 0 或 解得 a 1 或 a 0 三 带有附加条件的不等式 组 的解三 带有附加条件的不等式 组 的解 例例 1 1 求不等式 3x 4 3 7 的最大整数解 分析 分析 此题是带有附加条件的不等式 这时应先求不等式的解集 再在解集中 找出满足附加条件的解 解 解 3x 4 3 7 去分母 3x 4 6 14 移项 3x 14 4 6 合并同类项 3x 16 系数化为 1 x 5 x 5的最大整数解为 x 5 4 例例 2 2 x 取哪些非负整数时 代数式 3 的值不小于代数式的值 解 解 依题意得 3 去分母 24 2 x 1 3 x 2 去括号 24 2x 2 3x 6 合并同类项 5x 20 系数化为 1 x 4 符合条件的非负整数为 x 0 1 2 3 4 答 当 x 取 0 1 2 3 4 时 代数式 3 的值不小于代数式的值 很多人会一不小心就把 很多人会一不小心就把 0 0 弄丢了 弄丢了 注意 注意 要明确 大于 小于 不大于 不小于 不超过 至多 至少 非负数 正数 负数 负整数 这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么 求带有 附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解 即这个不等式的解集 然后再从中筛 选出符合要求的解 四 不等式 组 中待定字母的取值范围四 不等式 组 中待定字母的取值范围 例例 1 1 当 k 取何值时 方程x 2k 3 x k 1 的解为负数 分析 分析 应先解关于 x 的字母系数方程 即找到 x 的表达式 再解带有附加条件的不等式 解 解 解关于 x 的方程 x 2k 3 x k 1 去分母 x 4k 6 x k 2 去括号 x 4k 6x 6k 2 移项 x 6x 6k 2 4k 合并同类项 5x 2 2k 系数化为 1 x 要使 x 为负数 即 x 0 2k 2 0 k 1 当 k0 m 4 当 m 则 p 的取值范围是 x 134 123 pyx pyx xy 例例 4 4 如果不等式组的解集是 x 7 则 n 的取值范围是 nx xx737 A n 7 B n 7 C n 7 D n 7 例例 5 5 如果关于 x 的不等式 2a b x a 5b 0 的解集为 xb 的解集 分析 由不等式 2a b x a 5b 0 的解集为 x 10 7 观察到不等号的方向已作了改变 故可知 2a b 0 的解集为 x 10 7 可知 2a b 0 且 510 27 ba ab 得 b 3 5 a 结合 2a b 0 b 3 5 a 可知 b 0 ab 的解集为 x 3 5 例例 6 6 已知关于 x 的不等式组的整数解共有 5 个 则 a 的取值范围是 1x23 0ax 解析 由原不等式组可得 因为它有解 所以解集是 此解集中的 5 个整数解依次 2x ax 2xa 为 1 0 故它的解集在数轴上表示出来如图 1 所示 于是可知 a 的取值范围为1 2 3 3a4 图 1 6 同类模仿 同类模仿 已知关于x的不等式组 0 521 xa x 只有四个整数解 则实数 a的取值范围是 32a 同类模仿 同类模仿 已知不等式 4x a 0 只有四个正整数 解 1 2 3 4 那么正数 a 的取值范围是什么 根据题意画出直观图示如下 因为不等式只有四个正整数解 1 2 3 4 设若 4 a 在 4 的左侧 则不等式的正整数解只能是 1 2 3 不包含 4 若 4 a 在 5 的右侧或与 5 重合 则不等式的正整数解应当是 1 2 3 4 5 与题设 不符 所以 4 a 可在 4 和 5 之间移动 能与 4 重合 但不能与 5 重合 因此有 4 4 a 5 故 16 a 20 五 不等式与不等式组的应用题 不等式与不等式组的应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤 审题 找出不等关系 设未知数 列出不等式 求出不等式的解集 找出符合题意的值 作答 例例 1 1 某校为落实市教育局提出的 全员育人 创办特色学校 的会议精神 决定举办 读 书节 活动 在这次读书活动中 小明受到老师的鼓舞 每天所看的书比原计划多 5 页 因而他在 2 天内读书超过 28 页 后来他真正体会到读书的乐趣 积极性大增 每天比原计 划多读了 10 页 但照此速度 4 天他所读的页数还没有达到 84 页 问小明原计划每天读多少 页书 分析 1 审题 设未知数 2 找不等关系 3 列不等式组 4 解不等式组 5 根据实际情况 写出答案 6 一定要答 例例 2 2 市新华书店听说了该校的读书节活动 决定给一年级的小朋友免费赠送若干套 十万个为什么 如果每班分 10 套 那么余 5 套 如果前面的班级每个班分 13 套 那么 最后一个班级虽然分有 十万个为什么 但不足 4 套 问 一年级有多少个班级 十万 个为什么 共有多少套 分析 不等关系为 关于用不等式 组 解决的应用题常见类型关于用不等式 组 解决的应用题常见类型 一 分配问题 通常把量少的那个设为未知数 那么量大的那个可以用该未知数表示 一 分配问题 通常把量少的那个设为未知数 那么量大的那个可以用该未知数表示 7 1 一群女生住若干间宿舍 每间住 4 人 剩下 19 人无房住 每间住 6 人 有一间宿舍住不 满 如果有 x 间宿舍 那么可以列出关于 x 的不等式组 一元一次不等式组 一元一次不等式组 可能有多少间宿舍 多少名学生 解 解 依题意得 或 1 4x 19 6 x 1 6 哪一种更容易理解 194 1 6 1946 xx xx 2 将不足 40 只鸡放入若干个笼中 若每个笼里放 4 只 则有一只鸡无笼可放 若每个笼里 放 5 只 则有一笼无鸡可放 且最后一笼不足 3 只 问有笼多少个 有鸡多少只 二 二 速度 时间问题 速度 时间问题 1 爆破施工时 导火索燃烧的速度是 0 8cm s 人跑开的速度是 5m s 为了使点火的战士在 施工时能跑到不小于 100m 的安全地区 导火索至少需要多长 一元一次不等式 一元一次不等式 解 很多人会解 很多人会 设导火索至少需要设导火索至少需要 x 米长米长 注意这种设法是错误的 应 注意这种设法是错误的 应 设导火索需要设导火索需要 x 米长米长 然后列出不等式 求出解 根据解 再决定取值是至少还是至多 还是大于等 以 然后列出不等式 求出解 根据解 再决定取值是至少还是至多 还是大于等 以 下类推 下类推 2 王凯家到学校 2 1 千米 现在需要在 18 分钟内分钟内走完这段路 已知王凯步行速度为 90 米 分 跑步速度为 210 米 分 问王凯至少需要跑几分钟 一元一次不等式 一元一次不等式 3 抗洪抢险 向险段运送物资 共有 120 公里原路程 需要 1 小时送到 前半小时已经走 了 50 公里后 后半小时速度多大才能保证及时送到及时送到 一元一次不等式 一元一次不等式 三 三 工程问题 工程问题 1 用每分钟抽 1 1 吨水的 A 型抽水机来抽池水 半小时可以抽完 如果改用 B 型抽水机 估计 20 分钟到 22 分可以抽完 B 型抽水机比 A 型抽水机每分钟约多抽多少吨水 2 某工人计划在 15 天里加工 408 个零件 最初三天中每天加工 24 个 问以后每天至少要 加工多少个零件 才能在规定的时间内超额完成任务 3 一本英语书 98 页 张力读了 7 天 一周 还没读完 而李永不到一周就读完了 李永平均每 天比张力多读 2 页 张力每天读多少页 四 四 价格问题 价格问题 1 商场购进某种商品 m 件 每件在进价的基础上 加价 30 元售出全部商品的 65 然后 再降价 10 这样每件仍可获利 18 元 又售出全部商品的 25 1 试求该商品的进价和第一次的售价 2 为了确保这批商品总的利润率不低于 25 剩余商品的售价应不低于多少元 解 该商品的进价解 该商品的进价 x x 30 1 10 x 18 x 90 第一次的售价是 90 30 120 元 剩余商品的售价为 y 元 120 65 m 120 1 10 25 m y 1 65 25 m 90m 1 25 8 y 75 剩余商品的售价应不低于 75 元 2 某工程队要招聘甲 乙两种工种的工人 150 人 甲 乙两种工种的工人月工资分别为 600 元和 1000 元 现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍 问甲 乙两种工种各 招聘多少人时 可使得每月所付的工资最少 五 五 其他问题 其他问题 1 有一个两位数 其十位上的数比个位上的数小 2 已知这个两位数大于 20 且小于 40 求 这个两位数 2 某公司需刻录一批光盘 总数不超过 100 张 若请专业公司刻录 每张需 10 元 包括 空白光盘费 若公司自刻 除设备租用费 200 元以外 每张还需成本 5 元 空白光盘费 问刻录这批光盘 是请专业公司刻录费用省 还是自刻费用省 解 解 1 假设 请专业公司刻录费用省 10 x 200 5x x 40 2 假设 公司自己刻录费用省 200 5x 10 x x 40 当刻录张数小于 40 张时 请专业公司刻费用省 当刻录张数大于 40 张时 公司自刻费用省 当刻录张数等于 40 张时 两者费用一样多 3 考试共有 25 道选择题 做对一题得 4 分 做错一题减 2 分 不做得 0 分 若小明想确保 考试成绩在 60 分以上 那么 他至少做对多少道题 解 设答对解 设答对 x 题题 4x 2 25 x 60 x 18 3 x 应该取整数 所以应该是 19 题 4 某市出租车收费标准如下 3 公里以内 含 3 公里 收费 10 元 超过 3 公里的部分每公 里收费 2 元 超过起步里程 10 公里以上的部分加收 50 即每公里 3 元 不足一公里以一 公里计算 1 小明第一次乘坐出租车行驶 4 1 公里公里应付车费多少元 相当于相当于 5 公里的费用公里的费用 14 元 2 若小明乘坐出租车行驶 14 9 公里 问应付费多少元 相当于 相当于 15 公里的费用 公里的费用 39 元元 3 小明家距离学校 13 1 千米 周末小明身边带了 31 元钱 则小明从学校坐出租车到家 的钱够吗 如果够 还剩多少钱 若不够他至少要先走多少公里路 不够 还要走不够 还要走 1 1 千千 米米 4 若小明某次乘出租车花去 39 元 那么他所乘的路程有多远 解 解 3 若路程恰好为 若路程恰好为 10 公里 所需费用为 10 10 3 7 24 元 设 31 元钱最多行 x 千米 依题意得 24 3 x 10 31 x 12 由于不足一公里以一公里计算 因 1 3 此 31 元最多行 12 千米 故钱不够 至少还要走 1 1 千米 4 39 3 24 3 x 10 39 解得 14 x 15 六 六 方案选择与设计 方案选择与设计 1 某厂有甲 乙两种原料配制成某种饮料 已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如 下表 原料 维生素 C 及价格 甲种原料乙种原料 维生素 C 单位 千克 600100 9 原料价格 元 千克 84 现配制这种饮料 10 千克 要求至少含有 4200 单位的维生素 C 并要求购买甲 乙两种原料的费用不 超过 72 元 1 设需用x千克甲种原料 写出 x 应满足的不等式组 2 按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内 3 试写出最省钱的配制方案 解 解 1 需用 x 千克甲种原料 则需乙种原料 10 x 千克 依题意得 600 x100 10 x4200 8x4 10 x72 2 解得 6 4 x 8 3 因为甲种原料每千克 8 元 乙种原料每千克 4 元 所以甲种原料尽量少时 最省钱 由 2 可得 甲需 6 4 千克 则乙需 3 6 千克 2 某校办厂生产了一批新产品 现有两种销售方案 方案一 在这学期开学时售出该批产品 可获利 30000 元 然后将该批产品的投入资金 生产该批产品支出的总费用 生产该批产品支出的总费用 和已获利 30000 元进行再投资 到 这学期结束时再投资又可获利 4 8 方案二 在这学期结结束时售出该批产品可获利 35940 元 但要付 投入资金的 0 2 作保管费 问 1 当该批产品投入资金是多少元时 方案一和方案二的获利是一样的 2 按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多 解 解 1 当该批产品投入资金是 x 元 依题意得 3000 8 x 30000 35940 0 2 解得 x 90000 答 2 设当该批产品投入资金为 x 元 1 若方案一比方案二获利多时 则 3000 8 x 30000 35940 0 2 解得 x 90000 2 若方案一与方案二获利一样多时 则 3000 8 x 30000 35940 0 2 解得 x 90000 3 若方案二比方案一获利多时 则 3000 8 x 30000 35940 0 2 解得 x 90000 当该批产品投入资金不足 90000 元时 选择方案二比方案一获利多 当该批产品投入资金超过 90000 元时 选择方案一比方案二获利多 当该批产品投入资金刚好 90000 元时 选择方案一 方案二均可 3 某园林的门票每张 10 元 一次使用 考虑到人们的不同需要 也为了吸引更多的游客 该园林除保 留原来的售票方法外 还推出了一种 购买年票 的方法 年票分为 A B C 三种 A 年票每张 120 元 持票进入不用再买门票 B 类每张 60 元 持票进入园林需要再买门票 每张 2 元 C 类年票每张 40 元 持票进入园林时 购买每张 3 元的门票 如果你只选择一种购买门票的方式 并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上 试通过 计算 找出可使进入该园林的次数最多的购票方式 求一年中进入该园林至少多少次时 购买 A 类年票才比较合算 解 解 1 根据题意 需分类讨论 因为 80 120 所以不可能选择 A 类年票 若只选择购买 B 类年票 则能够进入该园林 次 8060 10 2 若只选择购买 C 类年票 则能够进入该园林 13 次 8040 3 若不购买年票 则能够进入该园林 次 80 8 10 所以 计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上 可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买 C 类年票 10 2 设一年中进入该园林至少超过 x 次时 购买 A 类年票比较合算 根据题意 得 602x120 403x120 10 x120 解得原不等式组的解集为 x 30 答 一年中进入该园林至少超过 30 次时 购买 A 类年票比较合算 4 在各方努力下 读书节 活动轰轰烈烈地开展着 为了让学生们进一步养成读书的好习惯 该校决 心打造 书香校园 计划用不超过 1900 本科技类书籍和不超过 1620 本人文类书籍组建中 小型两类图 书角共 30 个 已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本 人文类书籍 50 本 组建一个小型图书角需 科技类书籍 30 本 人文类书籍 60 本 1 符合题意的组建方案有几种 请你帮学校设计出来 2 若组建一个中型图书角的费用是 860 元 组建一个小型图书角的费用是 500 元 试说明 1 中哪种方案费用最低 最低费用是多少元 分析 一个中型图书 角需 x 个中型图 书角需 一个小型图书角需 30 x 个小型图书角需共需书籍 科技类 本 人文类 本 解 解 1 设组建中型图书角 x 个 则组建小型图书角为 30 x 个 由题意 得 80 x30 30 x1900 50 x60 30 x1620 解这个不等式组 得 18 x 20 由于 x 只能取整数 x 的取值是 18 19 20 当 x 18 时 30 x 12 当 x 19 时 30 x 11 当 x 20 时 30 x 10 故有三种组建方案 方案一 组建中型图书角 18 个 小型图书角 12 个 方案二 组建中型图书角 19 个 小型图书角 11 个 方案三 组