中考数学压轴题第二讲-难题破解策略讲义

1 x y l2 l1 K D E FAB C O 第二讲 未雨绸缪 应挑战 中考数学难题破解策略 我们都知道 在学习数学的过程中 所积累的知识 经验经过加工 会得出具有长久 保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型 数学模型 利用数学模型去解决新问题 是破解中考数学难题的一个非常重要的策略 而这一策略的重要体现往往是 熟悉化原则 和 简单化原则 将综合题化陌生为熟悉或者分解为若干个基本问题 因而要想掌握 好这一解题策略 就得多多积累 基本问题 当我们具有了一定的 基本问题 的积累量 以后 遇到一个新问题时 通过审题辨认 联想起与此类似的基本数学模型 从而提取出 相应的方法来加以解决 例 1 如图 已知直线 分别经过点和点 并且当两直线同时相 1 l 2 l 1 0A 3 0B 交于轴正半轴的点时 恰好有 经过点 的抛物线的对称轴与直线yC 12 ll ABC 交于点 1 lK 1 求点的坐标 并求出抛物线的函数解析式 C 2 抛物线的对称轴被直线 抛物线 直线和轴一次截得三条线段 问这三条 1 l 2 lx 线段有何数量关系 请说明理由 3 当直线绕点旋转时 与抛物线的另一个交点为 请找出使为等 2 lCMMCK 腰三角形的点 简述理由 并写出点的坐标 MM 2 x y M K D M E F A B C O 首先 函数背景的问题由于已知条件 恰好有 促使我们想到几何中最常见的 12 ll 基本图形 双垂直 图形 在中 于 其中RtABC 90ACB COAB O 于是 则点 进而 由待1OA 3OB 2 3OCOA OB 3OC 0 3C 定系数法可直接求出直线 以及抛物线的解析式分别为 1 l 2 l33yx 3 3 3 yx 2 32 3 3 33 yxx 其次 考虑到点 分别是抛物线的对称轴分别与 抛物线 KDEF1x 1 l 轴的交点 根据上面求得的解析式可依次得出这四点的坐标 2 lx 1 2 3K 把所得坐标转化为线段长 所以三条线段 4 3 1 3 D 2 3 1 3 E 1 0F 由函数解析式联立求交点坐标 由线段端点的坐标得出线段长 2 3 3 KDDEEF 是同学们比较熟悉的解题步骤 最后 常规的等腰三角形的存在性问题 典型的分类讨论 三种情况 这都是我们 平常学习中的基本功 已知两点 确定第三点的位置 使得称为等腰CKMMCK 三角形 分别以 为圆心 长为半径画弧 再作的垂直平分线 各自与抛物CKCKCK 线的交点即为所求点 而利用抛物线的对称性不难求得点的坐标 MM 2 3M 4 3 1 3 M 例 2 在中 点在线段上 ABC 90A DBC 3 图 2 图 1 E F E F A B B CD C D A 图 3 H G E F H B C D A 垂足为 与相交于点 1 2 EDBC BEDE EDEABF 1 当时 如图 1 ABAC 求的值 EBF BE FD 2 当时 如图 2 求的值 用含的式子表示 ABkAC BE FD k 已知条件中的 这样的倍角 半角关系 通常在图形中转化为等角 1 2 EDBC 关系 要么作出的二倍角等于 要么作出的半角等于 而另一EDB C C EDB 个条件 显然要求作出的二倍角等于 这样就能形成最基本的等BEDE EDB C 腰三角形的 三线合一 至于与的比值 经验判断三角形相似 有了前面等腰三BEFD 角形 三线合一 的基本图形 考虑到已知条件中的直角 自然又产生了相似三角形A 的基本图形 从而问题得解 我们先来分析一般情况 当时 如图 3 延长至点 使得 ABkAC BEGEGBE 连结 交于 易证是等腰三角形 那么 所DGABHDBG 2BDGEDBC 以 由得 分析至此 这道题的高明与巧妙之处就显露出 DGAC90A BHDG 来了 原来点是三条高的交点 再连结并延长交于 则FDBG GFBCH 4 联想到相似三角形的 斜 蝶形 等基本图形 GHBC AGBH DFH 所以 于是得到 ABC HBF BGBHAB k FDFHAC 2 BEk FD 由特殊与一般的关系 第 1 问中当时 即 所以此时的 A