关于房价问题的数学模型建立与分析

1 一 问题的重述与分析一 问题的重述与分析 1 1 问题的重述问题的重述 房价问题事关国计民生 对国家经济发展和社会稳定有重大影响 一直是 各国政府大力关注的问题 我国自从取消福利分房制度以来 随着房价的不断 飙升 房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一 从国家领导人 地方政府 官员 到开发商 专家学者 普通百姓通过各种媒体表达各种观点 但对于房 价是否合理 未来房价的走势等关键问题 至今尚未形成统一的认识 请根据中国国情 对如下几个方面进行探讨 收集建筑成本 居民收入等与房价密切相关的数据 选取我国具有代表性的几 类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析 根据分析结果 进一步探讨使得房价合理的具体措施以及可能对经济发展产生的影响 并进行 定量分析 1 2 问题分析问题分析 通过对题目的研读探讨 我们有如下分析 1 针房价的合理性问题对中国房价的影响因素进行相关性分析 对不同类 型城市的不同有效的影响因素建立起合理恰当的房价形成的数学模型 得到合 理或接近合理的房价影响因素 基于人均年可支配收入 房产商可支付银行贷 款年限 建筑成本等对房价有显著影响的因素建立房价合理性模型 并结合近 几年具有代表性的城市的房价建立模型对未来走势进行预测 2 分析对比依据模型计算得到的相对合理的房价与实际房价来判断房价的 合理性 并且对相关的变量进行对比讨论 得出对针对目前时期影响中国房价 是否合理的主要因素 并试图通过调解这些因素 即采取相应的措施 按照建 立的模型来使房价趋于合理 结合相关经济学知识阐述对经济发展可能产生的 影响 房价的高低 增长快慢与否是否会影响我国经济的发展 二 模型建立及求解二 模型建立及求解 2 1 关于模型的基本假设关于模型的基本假设 由于计划生育政策 考虑对房屋的刚性需求户型都为两室一厅 面积为 90 平方米 1 其中低收入家庭的住房问题视为由国家和地方政府补贴的廉价租赁房和 经济适用房解决 不再纳入模型的讨论范畴 2 2 购房居民均为贷款买房 首付比例在可承担的合理的范围 取为 30 3 不考虑人民币汇率对普通居民购买力影响 4 取一年为基准 房地产产品具有一定的生产周期 记为五年 5 房价的计算只考虑生产成本和市场供求 6 成本的花费包括地价 地面地价 建安造价和各种税收且每一个周期 的 地价 建安造价和税费率都维持不变 7 楼面地价又称单位建筑面积地价 是平均到每单位建筑面积上的土地价 格 所对应的是地面地价 楼面地价 土地总价 总建筑面积 地面地价 容积 8 供需平衡指在合理的房价前提下 符合宏观经济因素的增长规律及保证 开发商在合理的盈利范围之内 10 忽略楼盘地理位置及周围交通 社区成熟程度的影响 利用修正系数 加以修订 在房价合理性模型中不考虑商家炒作对房地产价格的影响 2 2 模型中符号的说明模型中符号的说明 I 还款月利率 X 每月换贷款数 N 还款年限 贷款成数 c 指数 kj 第 j 年 指数 年供占输入比重理论比重 在还款时间段内实际年供占输入比重平均 首付工作年限比 即为达到首付储蓄时的实际工作年限比上理论应该 的工作时间 贷款还付能力权重 则 1 为首付能力权重 P 总房价 单位为万元 I 年人均可支配收入 S0 建成批售的商品住宅房面积 S1 商品房销售建筑面积 S2 商品房竣工面积 B 商品房均价 2 3 问题的细化与模型的建立问题的细化与模型的建立 房价合理性模型为 将居民贷款买房时承受能力量化为购房承受能力系数 3 标准合理是假定为 1 当系数大于 1 时即为超出合理能力 购房将使家庭负担 增加 小于 1 时相反 2 3 1 对影响房价的因素考虑及处理对影响房价的因素考虑及处理 因素指标代码与房价关系 商品住宅价 格 商品房均价 商品房销售额 商品房 销售建筑面积 P1 供需关系 供给 商品房竣工面积供需差 需求 商品房销售建筑面积 S D 城镇居民人均可支配收入 Y 个人购房贷款 L1 影响需求因 素 对房屋购买力预期的影响 B 房地产投资的贷款成本 L 商品房住宅的竣工价值 G 供给影响因 素 开发商合理利润修订系数 C 经济发展水平 国内生产总值 GDP 物价水平 居民消费价格指数 CPI 宏观经济因 素 利率水平 5 年以上贷款利率 I 不定 宏观经济影响因素 通过对目前以及过去的房价走势来看 银行储蓄利率 人民币汇率等对房价影响不大 在经济相对稳定的大环境下 对居民购买力水 平影响有限 因而在对房价的影响因素中不与考虑 但如 GPD 物价水平 贷 款利率水平 居民收入对人民购买力以及房价走势影响巨大 因而给予重点考 虑 2 3 2 模型分析与系数推导模型分析与系数推导 一 对购房承受能力系数的推导 房价收入比指数的意义 房价收入比是指家庭购房总价与居民家庭年收入的比值 用于考察居民的 购房能力 尽管房价收入比是一个全球通用指标 但其合理范围却没有国际惯 例 世界银行对全球96个国家 地区 1998年的统计资料显示 各国 地区 房价 收入比的数值是高度离散的 这96个国家 地区 房价收入比最高的为30 最低 的为0 8 平均值为8 4 中位数为6 4 根据目前国情来看 大多数对商品 住房有刚性需求的家庭多以贷款方式买房 一般贷款年限在20年左右 所以在 4 目前中国国情下 我组认为取20为符合国情且大部分居民能接受的合适值 以P 表示总房价 I表示家庭年均可支配收入 以f0 7为例 表示此类家庭7个月的 可支配收入可以购买当时1m2的商品住宅房 大概15年的可支配收入可以买下 90m2的房子 视为承受能力的衡量单位 房价 p 一定时 I 与月均可支配收入 m 成反比 所以 I 越小 表示收入越 高 购房能力越强 I 越大 则表示收入越低 购房能力越弱 1 百姓购房承受能力系数的推导 由于我国目前收入差距较大 平均收入水平往往不能代表消费主体的收入 状况 据此国际通用的房价合理性评价标准房价月收入比 HI 作为一主要影 响因素 其中低收入家庭的住房问题视为由国家和地方政府补贴的廉价租赁房 和经济适用房解决 不再纳入模型的讨论范畴 购房后每月实际应还款数 12 12 1 1 1 n n ii xP i 每年为 12 12 1 12 1 1 n n ii xP i 还款占可支配收入理论比例 实际比例 x I x I 则每月还款数合理区间为 xI 取合适区间内最大合理月还款 x 此时对应合理负担时最小的可支配收入 12 min 12 1 12 1 1 n n ii IxP i 由于经济发展水平对收入影响大 关联性强 尤其是 GDP 增长与年人均可 支配收入增长成明显的正相关 因而考虑在一目前的经济发展趋势 预测第 k 年时可支配收入为 但于此同时因为物价上涨等因素会导致购买 0 1 j k j IIt 力下降 对居民实际购买力产生不可忽略的影响 因此考虑第 k 年实际购买力 为 通过对以上因素的探讨和对模型的修正 则第 k 年实际 0 1 1 1 j j k k It 还款负担系数 0 1 1 1 j j k k x It 从而得出在 n 年的还款过程中 购房者年平均还款负担系数为下式所示 5 312 312 0000 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 n n kkkk kkkk xxxx n ItItItIt 将上式带入整理化简 实际还款负担系数为 1220 1 0 12 1 1 1 1 1 j k n j n j Pii tnIi 进而得到百姓承受能力系数 1 合理的为 0 5 CSL 当CSL 1时 即为在此房价下贷款买房对于购买者造成的负担是合理的且能 接受的 当CSL1时 对购房者造成的负担超出合理负担 是过重的 当 2时 即为购 房者需要拿出所有收入购房才行 当 2时 购房者没有购房能力 另一方面 我们从维持房地产业可持续发展的角度出发 通过对房地产企 业的盈利与亏损预测分析 来预测房地产是否是良性发展 二 房地产业可持续发展比例的推导 目前房地产的定价没有形成一个稳定的价格估算体系 开发商一般采用成 本加利润的方法来确定商品房定价 出于盈利的目的 一些不合理的费用统统 计人了成本 比如说税费和非建筑面积的计算 而且 目前房地产资金流投机 现象严重 从而抬高了房价 为了简化模型得到合理房价 在房价的合理性中 不涉及房地产开发中各项成本的细节讨论 以简化模型中不确定因素 以下讨 论选定地区一定时期的房价水平 住宅房的开发和销售情况 即建房周期内建成商品住宅房的竣工价值为G 银行在房地产业的贷款总额为L 假设贷款L全部用于房地产投资 即L包含于G 由于无法直接获得L的相关数据 我们假设房地产开发商前期投入自筹资金60 的条件下 剩余40 的资金均来自于银行贷款 即L 0 4G 此建房周期开始时 的五年期贷款利率为y 由此得到投资商贷款成本计算公式为 根据我国的具体国情 一个建房周期取为5年 为 5 1 1 1 T GLy 了提高银行资产的安全性 规定建房周期结束后开发商的还款年限为T年 则开 发商的总成本近似为 基于对实际的考虑 认为开发商 5 1 1 T CGLy 在竣工一年后即可获利来支付贷款 所以取T 1 1 商品住宅房具有刚性需求 根据理性预期假设 消费者还会根据对未来 经济形势和住宅价格水平的预期做出决策 基于理性预期 消费者主要根据上 一个售房周期的房价和销售情况来判断当时的房价是否合理 从而决定购房与 否 6 基于以上分析 建立刚性需求面积模型 即 其中 1 0 2 S SS S S0为当前建房年份的建成商品房竣工面积 S1商品房销售建筑面积 S2 为上一建房年份商品房竣工面积 为刚性需求面积 P为本周期批售时的平均单位房价 为上一周期 S P 成交的平均单位房价 则表示在刚性需求的基础上 由于相邻两 S 1 P P e 个售房周期的价格比对实际购房量的影响 据此定义预期成交面积为 当 时 S P S 1 P P e 0 S S 1 P P e 当 时 S P S 1 P P e 0 S 0 S 相应的 预期收益为Y s p p 据此定义房地产业可持续发展比为 S s p p G 2 5 1 1 T L 其意义如下 当S O时 表示投资方亏损 完全无力按期还贷 表明房地产业的不可持续 发展 O S 1表示 投资方基本可以完成期望收益 并能够完全付清银行的放款本息和 且S越大 开发商的经济利润也越大 鉴于目前国内住房空置率较高 所以我们暂不考虑情形二 即假设新建商 品房能够满足购买需求 2 3 3 模型的建立模型的建立 我们认为 合理的房价应该是使和百姓购房的承受能力都尽能高的价格水 平 从而我们的目标是max wl S w2 其中S和 作为P的函数分别由CSLCSL 1 式和 2 式给出 wl w2 O 作为S 的权重 可以酌情调整 首先限定CSL 百姓承受能力系数 O 5 查阅国外标准 系数定为0 3 但是考虑到中国国情 房价短期内不会有大的降幅 所以将系数定为0 5 这样 对于中等收入家庭 可以在2x10 0 5 5年以内付起90m2房子的首付 住进新房 然后限定s p p 0 表示到规定年限地产商的销售收益至 5 1 1 T L 7 少要足以偿还从银行贷款的本息和 确保银行资产的安全 同时 由直观的批售量的限制有s p 0 5 1 1 T L s p 1 表明房价明显超出居民合理承担还款能录 的范围 在此情况下购房会加重居民生活负担甚至影响居民的生活质量水平 通过模型计算出的上图结果可以看到合理房价 p 为 1 2 万元 即为此房价为符 合居民合理还款负担 购房不会额外增加居民的经济负担 不会影响居民的正 常生活水平 情况 2 在情况 1 的基础上改变变量 sita 即为 CPI 将其由原来的 4 提高到 8 运行如下 17 可以看到 CPI 增加物价指数上涨后 合理房价下降为 1 17 万元 即为在 收入不变的情况下 随着还款时间的推移 物价上涨导致居民购买力下降 对 房价的合理接受价格因而下降 表明 CPI 对居民购房能力会产生一定影响 即 为在收入不变的情况下 物价上涨导致购房能力下降 物价下跌会提升购房能 力 情况 3 在情况 2 的基础上进一步提高 CPI 提高到 12 运行结果如下 可以看到此时随着还款时间的推移居民能接受的合理房价进一步下降为 1 41 万元 趋势与情况 2 保持一致 进一步证明情况 2 的分析 情况 4 在情况 1 的基础上改变变量 t 即为 GDP 增长率 将其由原来的 8 提高到 12 运行结果如下 可以看到 在 CPI 不变的情况下 GDP 增速上涨后 合理房价也会跟随上 涨为 1 4 万元 因为 GPD 进一步影响居民收入 随着还款时间的推移 GDP 增 速进而带动居民收入增加 因而是居民的购房能力提高 则居民能接受的合理 房价增加 情况 在情况 1 的基础上改变变量 t 即为 GDP 增长率 将其由原来的 8 降低到 运行结果如下 18 可以看到 在 CPI 不变的情况下 GDP 增速下降后 合理房价也会随着下 降为 1 1 万元 因为在 CPI 不变的情况下随着还款时间的推移 与不变的 CPI 相比 居民的购买能力随之下降 则居民能接受的合理房价降低 通过对上述情况的分析可以清晰的看出 CPI GDP 以及收入情况如何影响合 理房价以及居民购买能力 为后文有针对性的提出对策提供了分析基础 五 房价与中国经济的相互影响五 房价与中国经济的相互影响 从上面的探讨可以看出 加强对经济宏观调控可以有效的影响房价 使房 价逐步趋于合理 在目前的分析下 房价已经处于过高的水平 短时间内通过 调控使房价合理并不现实 也会对经济发展的稳定性造成冲击 后果无法估计 因而调控政策应该缓和而长久 使房价随着国家发展和时间推移逐步趋于合理 先针对本文模型及得到的结果对出相应的政策 1 保持经济平稳快速发展 通过上述变量对房价的影响可以看到 GDP 上 下波动 4 即会对居民购买力以产生明显影响 并且通过上述模型定量讨论容易 看出经济稳定快速发展也能减轻已经贷款买房者的还款负担 因而保持经济宏 观面上保持稳定快速增长对解决房价过高问题有积极影响 2 从上面可以看出 CPI 波动 2 即会对居民还款能力以及购买力产生明显 影响 因而维护市场经济 严厉打击哄抬物价 投机倒把等行为 出台相关措 施 控制降低 CPI 指数 也是解决房价问题的有效手段 3 在影响因素的定量讨论中 因为居民贷款利率相对稳定因而没有进行讨 论 但贷款利率的改变对购房者能承受的合理房价影响显而易见 国家可以通 过对第一套住房贷款进行优惠 对非第一套住房贷款利率上调 不仅能减轻对 住房有刚性需求的居民购房压力还能有效抑制 炒房 等 4 反过来 对房价的有效调控 使人民安居乐业 生活富足 社会稳定 进而给国家的经济发展创造良好的经济政治环境 进一步促进国家发展 19 六 对应政策六 对应政策 从上面的探讨可以看出 加强对经济宏观调控可以有效的影响房价 使房 价逐步趋于合理 在目前的分析下 房价已经处于过高的水平 短时间内通过 调控使房价合理并不现实 也会对经济发展的稳定性造成冲击 后果无法估计 因而调控政策应该缓和而长久 使房价随着国家发展和时间推移逐步趋于合理 先针对本文模型及得到的结果对出相应的政策 1 保持经济平稳快速发展 通过上述变量对房价的影响可以看到 GDP 上 下波动 4 即会对居民购买力以产生明显影响 并且通过上述模型定量讨论容易 看出经济稳定快速发展也能减轻已经贷款买房者的还款负担 因而保持经济宏 观面上保持稳定快速增长对解决房价过高问题有积极影响 2 从上面可以看出 CPI 波动 2 即会对居民还款能力以及购买力产生明显 影响 因而维护市场经济 严厉打击哄抬物价 投机倒把等行为 出台相关措 施 控制降低 CPI 指数 也是解决房价问题的有效手段 3 在影响因素的定量讨论中 因为居民贷款利率相对稳定因而没有进行讨 论 但贷款利率的改变对购房者能承受的合理房价影响显而易见 国家可以通 过对第一套住房贷款进行优惠 对非第一套住房贷款利率上调 不仅能减轻对 住房有刚性需求的居民购房压力还能有效抑制 炒房 等 4 分阶段提出不同程度的商品房限制价格 逐步使限制价格回归到模型中 w1 w2 0 5 时给出的合理参考价格水平 5 银行部门可以结合本模型中金融稳定系数的取值在贷款前进行风险评估 慎 重制定贷款额度 6 国家应根据地区差异性和当地居民的具体收入状况和供求关系引导房地产业 合理投资 避免出现投资过热 供求失衡的情况 防止因此导致金融不稳定 7 加大对房产商 炒房 屯地 捂盘 等行为的监管和惩处力度 坚 决贯彻 一家一房 的政策 限制私人炒房和住房闲置现象 8 地方政府应充分利用土地收入和税收对贫困家庭进行补贴 增加廉价租赁房 和经济适用房等非营利性住房的建筑面积 并保证基本满足当地的低收入家庭 甚至中低收入家庭的住房需要 七 模型的评析七 模型的评析 7 1 优点 此模型特点突出 不仅从居民购买力承受力上考虑 并对房地产发展及房价对经济稳定性 的性进行了建模定量探讨 用金融稳定性系数来衡量不同房价时开发商的盈利情况 以及 20 对房地产市场健康可持续发展的影响 并且利用多目标规划对综合以上两方面因素进行求 解 兼顾市场平稳发展与房价合理性两个因素 提出合理的房价 7 2 改进 此模型虽然对市场上最为典型的对住房有刚性需求的贷款买房的购房者进行了定量的探讨 分析 但由于影响房价因素很多也很复杂有些难以量化 比如炒房者 投机者等对于房价 的影响在我们的模型中没有给予讨论 因而结果是比较理想化的经济环境下得出的合理房 价及趋势 因而不可避免的产生一些误差 虽然在带入数据实际的结果能反映问题 但如 果能在模型中考虑跟多的因素 相信一定会更接近实际情况 由于时间关系没能探讨的比 较全面 在对于住房市场的情况里 我们仅假设典型购房者对在市场中的经济活动 没有 考虑譬如低收入家庭对住房的需求及承受能力以及对房价的影响 贫富差距导致的不同人 群收入水平的等 仅以典型的平均来代替 因而模型对于整个市场的白表性有一定缺陷 由于时间的关系没能将上述不足弥补 相信在比赛结束后充裕的时间不断的对模型进行修 正和优化 一定更加接近真实情况反映问题并且做出对未来趋势更加准确的预测 八 附录八 附录 8 1 参考文献参考文献 肖华勇 编 数学建模简明教程 西安 西北工业大学 2008 田铮 肖华勇 编 随机数学基础 西安 西北工业大学 2005 陈石清 城市化水平与房地产价格的实证分析 长沙 中南科技大学 2008 贾生华 关于商品住宅价格影响因素的理论研究与数量分析 北京 中国人民大学 2006 胡章明 基于神经网络房地产价格指数的预测研究 续 天津 南开大学 2005 欧岩浩 基于 ARMA 模型的房地产价格指数预测 长春 东北财经大学 2003 王菊芳 从房屋销售价格指数与 CPI 的关系看房地产市场的发展 石家庄 河北科技大学 8 2 程序程序 LINGO 程序 model 亚博的房价模型 sets qiuhe 1 20 sita gdpt k nian endsets data n 240 i 0 00495 m 90 房子面积 p 2 3 zongjia 180 21 bita 0 7 bili 0 5 合理比例 sita 04 gdpt 0 08 GDP增长 i0 2 76 年可支配收入 w1 7 lg 0 4 p 0 93 s1 800 为销售面积 s2 1000 竣工面积 p 34 为已知房价 s0 792 s0为预期批售 y 0612 房地产五年期贷款利率 t 1 G 703 s 553 enddata w2 1 w1 bita1 exp 1 p p s s1 s2 s0 b s exp bita1 s p smin b s0 G1 l 1 y 5 t l lg G ss1 p s p G ss2 G1 1 s ss1 ss2 jiawei s jieguo w1 yabo w2 jiawei zongjia p m op fi bili fi为实际还款占收入的比例 dingzhinian bita zongjia i 1 i n 1 i n 1 12 dingzhi bita zongjia i 1 i n 1 i n 1 12 20 i0 qiuhe sum qiuhe I 1 sita 1 pdpt k fi dingzhi qiuhe huankuan dingzhinian 2 for qiuhe I k I I for qiuhe I nian I i0 1 sita 1 pdpt k I yabo op for qiuhe I k I I 22 for qiuhe I i0 1 sita 1 pdpt k huankuan min jieguo matlab 程序 clf x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 1857 1948 2017 2092 2197 2608 2937 3119 3645 3576 4459 p polyfit x y 5 x1 1 1 20 y1 polyval p x1 plot x y r x1 y1 b clf x 1 2 3 4 5 6 7 8 23 9 10 y 4787 4557 4467 4455 87 4747 1 5853 7375 10661 11648 13224 p polyfit x y 3 x1 1 1 13 y1 polyval p x1 plot x y r x1 y1 b 8 3 数据数据 房价 年份 全国平均北京南京广州宝鸡 1999 年 18574787 2000 年 19484557 2001 年 2017 2002 年 2092446727803995 2003 年 219744552