第一部分概率论部分

第一部分第一部分 概率论部分概率论部分 专题一专题一 事件与概率事件与概率 I I 考点分析考点分析 近几年试题的考点及分数分布近几年试题的考点及分数分布 最多分数分布最少分数分布平均分数分布 事件 2 11 5 古典概型2 2 23 加法公式 222 条件概率 2 3 全概公式 2 1 乘法公式 814 5 独立重复试验 222 合计 22 10010 10017 100 注 表示选择题及其分数 下同 II II 内容总结内容总结 一 概念一 概念 1 随机现象 不确定现象中的一种 2 随机试验 i 可以在相同的条件下重复进行 ii 每次试验的结果不止一个 并 事先知道试验的所有可能结果 iii 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 3 随机事件 随机试验的结果 4 基本事件或样本点 随机试验的一个不可分的结果 叫做一个基本事件或一个样本 点 5 样本空间 所有基本事件的全体称为样本空间 6 必然事件 不可能事件 在每次试验中一定发生的事件称为必然事件 记做 每 次试验都不可能发生的事件称为不可能事件 记做 二 事件的关系与运算二 事件的关系与运算 1 事件的关系 1 包含关系 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生 则事件 B 包含事件 A 记做 对任何事件 C 都有 2 相等关系 若且 则事件 A 与 B 相等 记做 3 互不相容关系 若事件 A 与 B 不能同时发生 称事件 A 与 B 互不相容或互斥 可 表示为 4 对立事件 称事件 A 不发生 为事件 A 的对立事件或逆事件 记做 满足 且 显然 5 二事件的相互独立性 若 则称事件 A B 相互独立 性质 1 四对事件其一相互独立 则其余三对也相 互独立 性质 2 若 A B 相互独立 且 2 事件的运算 1 事件的和 称事件 A B 至少有一个发生 为事件 A 与 B 的和事件 也称为 A 与 B 的并 性质 2 事件的积 称事件 A B 同时发生 为事件 A 与 B 的积事件 也称为 A 与 B 的 交 记做 性质 3 事件的差 称事件 A 发生而事件 B 不发生 为事件 A 与 B 的差事件 记做 A B 性质 4 事件运算的性质 i 交换律 ii 结合律 iii 分配律 iv 摩根律 对偶律 三 事件的概率三 事件的概率 1 事件的频率 相同条件下进行 n 次试验 事件 A 出现次 事件 A 的频率为 2 事件的概率 描述性 当 n 很大时 事件 A 频率的稳定值 p 事件 A 的概率 概率的性质 对任意事件 A 注 事件的概率的精确定义见课本 p11 定义 1 1 3 古典概型 1 特点 样本空间是有限的 基本事件发生是等可能的 2 计算公式 4 条件概率 事件 发生的条件下事件 A 发生的概率 5 全概公式和贝叶斯公式 1 全概公式 如果事件 满足 互不相容且 则对于 内的任意事件 B 都有 2 贝叶斯公式 条件同 A 则 6 n 重贝努利试验 1 特点 每次试验可在相同条件下重复进行 各次试验相互独立 每次试验只有两个结果 2 计算公式 n 重贝努利试验中事件 A 发生 k 次的概率为 7 加法公式 乘法公式 1 加法公式 公式 推论 1 若事件 A B 互不相容 则 推论 2 若 推论 3 若 A B 为对立事件 则 推论 4 若 两两互不相容 则 2 乘法公式 III III 典型例题典型例题 例例 1 1 设 A B 为任意两个事件 则有 A A B B A B A B B A C A B B A D A B B A 答疑编号 918010101 针对该题提问 答案 C 解析 利用文氏图可得答案 故选择 C 例例 2 2 设 A 与 B 互为对立事件 且 则下列各式中错误的是 A B C D 答疑编号 918010102 针对该题提问 答案 B 解析 本题考察对立事件 相互独立事件 互不相容事件概念 A 对立事件 B 相 互独立事件 C 互不相容事件 例例 3 3 设 A B 为两个随机事件 且 则 A B C D 1 答疑编号 918010103 针对该题提问 答案 D 解析 本题考察和事件 条件事件的概念及其概率 例例 4 4 设事件 A B 满足 P 0 2 P A 0 6 则 P AB A 0 12 B 0 4 C 0 6 D 0 8 答疑编号 918010104 针对该题提问 答案 B 解析 本题考察差事件的性质 所以 例例 5 5 设每次试验成功的概率为 p 则在 3 次独立重复试验中至少成功一 次的概率为 答疑编号 918010105 针对该题提问 A 1 1 p 3 B p 1 p 2 C D p p2 p3 答案 A 解析 本题考察求 至多 至少 类概率的方法 即选择用正面事件还是对立事 件能够简单地计算概率 本题选择用对立事件计算 例例 6 6 20 件产品中 有 2 件次品 不放回地从中连续取两次 每次取一件产品 则第二 次到正品的概率为 答疑编号 918010106 针对该题提问 答案 解析 第二次取正品 一次二正 一正二正 由加法原理得 P 第二次 取正品 P 一次二正 一正二正 故填写 例例 7 7 一批产品 由甲厂生产的占 其次品率为 5 由乙厂生产的占 其次品率为 10 从这批产品中随机取一件 恰好取到次品的概率为 答疑编号 918010107 针对该题提问 答案 解析 本题考察 全概率公式 设产品由甲 乙厂生产分别为事件 产品为 次品为事件 B 则由 全概率公式 有 例例 8 8 设 P A 0 4 P B 0 5 且 P 0 3 求 P AB 答疑编号 918010108 针对该题提问 答案 0 05 解析 本题主要考察事件及其概率的运算 综合了专题一的内容 方法 列方程求概 率 解 由条件概率 对立事件的概率 事件运算的对偶律及和事件的概率的公式 有 所以 专题二专题二 一维随机变量一维随机变量 I I 考点分析考点分析 近几年试题的考点分布和分数分布近几年试题的考点分布和分数分布 最低分数分布最高分数分布平均分数分布 分布律 22 分布函数 243 概率密度 3 0 1 分布 2 二项分布 2 2 6 泊松分布 1 均匀分布 1 指数分布 61 正态分布 22 期望 3 2 3 方差 2 2 2 3 随机变量函数 82 4 2 2 合计 18 10042 10024 100 注 各种分布的数字特征包含在该种分布中 II II 内容总结内容总结 一 随机变量的概念一 随机变量的概念 A 定义 设 E 是随机试验 样本空间为 如果对于每一个结果 样本点 都有 一个实数与之对应 定义在上的实数值函数 称为随机变量 B 特点 1 取值的随机性 即一次取何值事先未知 2 取值有统计规律 即取 何值或某范围内的值的概率是完全确定的 3 随机变量的作用 从研究事件到研究随机 变量 从研究常量到研究研究变量 从而过渡到研究函数 二 一维随机变量二 一维随机变量 1 1 分布函数分布函数 1 定义 设 X 是一个随机变量 x 为任意实数 称函数 为随机变量 X 的分布函数 2 性质 对任意 都有 是单调非减函数 右连续 2 2 一维离散型随机变量 一维离散型随机变量 1 定义 随机变量的可能取值是有限个或至多无限可列多个 2 概率分布 分布律 X 概率 分布列的性质 i ii 3 分布函数 4 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 概率 如果级数 绝对收敛 则称其为 X 的数学期望 记为 离散型随机变量的方差 定义式 计算式 离散型随机变量的标准差 5 常用离散型随机变量的分布 A 两点分布 分布列 X01 概率 1 pp 数学期望 方差 B 二项分布 分布列 数学期望 方差 C 泊松分布 分布列 数学期望 方差 3 3 连续型随机变量连续型随机变量 1 定义 随机变量 X 的分布函数为 存在非负可积函数 使对任意实数 x 有 则称 X 为连续性随机变量 为概率密度函数 密度函数 2 密度函数性质 设的连续点 则存在 且 3 连续型随机变量的数字特征 设连续型随机变量 X 的密度函数为 如果广义积分绝对收敛 则随 机变量 X 的数学期望为 连续型随机变量的方差 定义式 计算式 连续型随机变量的标准差 4 常用连续型随机变量的分布 A 均匀分布 密度函数 分布函数 数学期望 方差 B 指数分布 密度函数 分布函数 数学期望 方差 C 正态分布 A 正态分布 密度函数 分布函数 数学期望 方差 标准化代换 若 B 标准正态分布 密度函数 分布函数 数学期望 方差 标准正态分布的上 a 分位数 若满足 则为标准正态分布的上 a 分位数 4 数学期望及方差的性质 1 数学期望的性质 为常数 为常数 为常数 为常数 2 方差的性质 为常数 为常数 为常数 为常数 3 方差的计算公式 5 随机变量函数的概率分布 1 随机变量的函数 设 X 为随机变量 为连续函数 则为随机变 量 X 的函数 显然 Y 也是随机变量 2 离散型随机变量函数的分布 设 X 为离散型随机变量 其分布律为 X 概率 则的分布律为 Y 概率 注 对相同者 须合并并把概率相加 3 连续型随机变量函数的概率分布 A 定理 设 X 为连续型随机变量 其概率密度为 设是严格单调的可导函 数 其值域为 则的概率密度为 B 直接变换法 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量函数的概率 密度 解法 设 Y 的分布函数为的反函数为 则 III III 典型例题典型例题 例例 1 1 设随机变量 X 的概率分布为 为其分布函数 则 答疑编号 918010201 针对该题提问 答案 解析 本题考核概率分布的性质及分布函数的概念 根据分布函数的定义 所以 解法一 解法二 例例 2 2 已知随机变量 X 的概率密度为 则 c 答疑编号 918010202 针对该题提问 答案 解析 本题考察一维随机变量概率密度的性质 本题 故填 例例 3 3 设函数在上等于 sinx 在此区间外等于零 若可以作为某连续型 随机变量的概率密度 则区间应为 答疑编号 918010203 针对该题提问 A B C D 答案 B 解析 本题考核连续型随机变量的概率密度 的性质 及 根据已知条件函数在上等于 sinx及 sinx在四个象限的正 负取值 淘汰 A D 选项 再根据 验算选项 C 淘汰 C 或根据此性质验算选项 B 直 接得到答案 例例 4 4 设随机变量 X 在区间 2 4 上服从均匀分布 则 A B C D 答疑编号 918010204 针对该题提问 答案 C 例例 5 5 设随机变量 已知标准正态分布数值 为使 则常数 a0 试求 U V 的相关系数 答疑编号 918010312 针对该题提问 解析 本题考察协方差及相关系数的概念及性质 解 根据相关系数的定义有 又由方差的性质有 再由协方差的性质有 由已知 b c d 为常数 Y 为随机变量 则应用协方差的计算公式有 所以 其中 计算同上 因此 因为 所以 拓展 本题 U 与 X V 与 Y 均为正线性相关或负线性相关 即表示为斜率同为正或同为 负的一次函数 得到 即两对随机变量之间的相互关系程度是相同的 例例 8 8 设二维随机变量 且 X 与 Y 相互独立 则 答疑编号 918010313 针对该题提问 答案 0 专题四专题四 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 I I 考点分析考点分析 近几年试题的考点分布和分数分布近几年试题的考点分布和分数分布 最低分数分布最高分数分布 平均分数分布 切比雪夫 不等式 20 5 大数定律 中心极限 定理 20 5 合计 0 1004 1001 100 II II 内容总结内容总结 一 切比雪夫不等式一 切比雪夫不等式 随机变量 则对任意给定的 总有 二 大数定律二 大数定律 1 贝努利大数定律 设 m 是 n 独立重复试验中事件 A 发生的次数 则对任 意给定的 总有 2 切比雪夫大数定律 随机变量序列 相互独立且具有有限的期 望 和方差 则对任意给定的 总有 三 中心极限定理三 中心极限定理 1 独立同分布序列中心极限定理 随机变量 相互独立 服 从相同的分布且具有期望 和方差 则对随机变量的分布函数及 任意 x 总有 2 两个结论 定理说明 当 n 充分大时 不论独立同分布随机变量服从什么分布 其和近似服 从正态分布 定理说明 当 n 充分大时 不论独立同分布随机变量服从什么分布 其平均值 3 棣莫佛 拉普拉斯中心极限定理 设随机变量是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 P 是事件 A 发生的 A 发生的 的概率 则对任意实数 x III III 典型例题典型例题 例例 1 1 设随机变量 X 的方差 DX 存在 且 A B C D 答疑编号 918010401 针对该题提问 答案 C 例例 2 2 设随机变量序列 独立同分布 且 i 1 2 则对任意实数 x 答疑编号 918010402 针对该题提问 答案 例例 3 3 设是n次独立重复试验中事件A出现的次数 P是事件A在每