全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法

第 1 页 共 8 页 DCB A 全等三角形问题中常见的辅助线全等三角形问题中常见的辅助线 倍长中线法倍长中线法 ABC 中 AD 是 BC 边中线 方式 1 直接倍长 图 1 延长 AD 到 E 使 DE AD 连接 BE 方式 2 间接倍长 1 图 2 作 CF AD 于 F 作 BE AD 的延长线于 E 连接 BE 2 图 3 延长 MD 到 N 使 DN MD 连接 CD 经典例题 例 1 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 提示 画出图形 倍长中线 AD 利用三角形两边之和大于第三边 例 2 已知在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 的延长线上 DE 交 BC 于 F 且 DF EF 求证 BD CE 提示 方法 1 过 D 作 DG AE 交 BC 于 G 证明 DGF CEF E D A BC F E D CB A N D CB A M 第 2 页 共 8 页 E D F C B A 方法 2 过 E 作 EG AB 交 BC 的延长线于 G 证明 EFG DFB 方法 3 过 D 作 DG BC 于 G 过 E 作 EH BC 的延长线于 H 证明 BDG ECH 例 3 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的大小 F E C A B D F E C A B D F E C A B D 第 3 页 共 8 页 变式 如图 AD 为的中线 DE 平分交 AB 于 E DF 平分交 AC 于 F 求证 ABC BDA ADC EFCFBE 提示 方法 1 在 DA 上截取 DG BD 连结 EG FG 证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE EG CF FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法 2 倍长 ED 至 H 连结 CH FH 证明 FH EF CH BE 利用三角形两边之和大于第三边 例 4 已知在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 上一点 且 BE AC 延长 BE 交 AC 于 F 求证 AF EF 第 4 页 共 8 页 提示 方法 1 倍长 AD 至 G 连接 BG 证明 BDG CDA 三角形 BEG 是等腰三角形 方法 2 倍长 ED 试一试 怎么证明 例 5 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE 提示 倍长 AE 至 M 连接 DM F E D A B C EDC B A F E D A B C 第 5 页 共 8 页 变式一 已知 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 C BAE 提示 倍长 AE 至 F 连结 DF 证明 ABE FDE SAS 进而证明 ADF ADC SAS 变式二 已知 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 2AE AC 提示 借鉴变式一的方法 例 6 已知 如图 在中 D E 在 BC 上 且 DE EC 过 D 作交 AE 于点ABC ACAB BADF F DF AC 求证 AE 平分 BAC 提示 方法 1 倍长 AE 至 G 连结 DG ED A BC ED A BC 第 6 页 共 8 页 方法 2 倍长 FE 至 H 连结 CH 练习练习 1 在四边形 ABCD 中 AB DC E 为 BC 边的中点 BAE EAF AF 与 DC 的延长线相交于点 F 试探究线段 AB 与 AF CF 之间的数量关系 并证明你的结论 提示 延长 AE DF 交于 G 证明 AB GC AF GF 所以 AB AF FC 2 已知 如图 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求证 CT BE 提示 过 T 作 TN AB 于 N 证明 BTN ECD F E A B C D D A B C M T E 第 7 页 共 8 页 3 在 ABC 中 AD 平分 BAC CM AD 于 M 若 AB AD 求证 2AM AC AB 4 ABC 中 AD 是边 BC 上的中线 DA AC 于点 A BAC 120 求证 AB 2B