第3课时等差数列的前N项和教师版

1 第第 3 3 课时课时 等差数列的前等差数列的前项的和 项的和 1 1 n 教学目标教学目标 1 理解用等差数列的性质推导等差数列的前项和的方法 n 2 掌握等差数列的前项和的两个公式 并能运用公式初步解决有关问题 n 3 理解蕴含在推导过程的数学思想 掌握相关的数学方法 提高逻辑推理能力 教学重点 难点教学重点 难点公式的推导 理解和记忆 公式的灵活运用 教学过程一 问题情境教学过程一 问题情境 1 一堆钢管共 7 层 第一层钢管数为 4 第七层钢管数为 10 且下一层比上一层多一根 问一共有多少根钢管 二 学生活动二 学生活动引导学生思考 讨论可得出如下方法 数一数 分组求和 插入高斯的故事 倒序相加法 三 建构数学三 建构数学 1 等差数列的前和 n 1 问题 在等差数列中首项 公差 求 n a 1 ad 12n Saa n a 12n Saa 11 n aaad 1 1 and 1nnn Saa 1 nn aaad 1 n and 又 1 2 nn Sn aa 1 2 n n n aa S 1 1 n aand 1 1 2 n n n Snad 2 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad 说明 1 等差数列的前和等于首末两项和的一半的倍 nn 2 在等差数列前项和公式及通项公式中有 五个量 已知其中三个可以求出另外两个 n 1 a n and n S 四 数学运用四 数学运用 1 例题 例 1 在等差数列中 1 已知 2 求 已知 求 答案 1 2 n a 1 3a 50 101a 50 S 1 3a 1 2 d 10 S 50 2600S 10 105 2 S 例 2 1 在等差数列中 已知 求及 2 在等差数列中 求及 n a 1 2 d 315 22 nn aS 1 an n a 1 3 d 37n 629 n S 1 a n a 解 1 由题意 得 由 2 得 代入 1 得 舍去 1 1 3 15 2 1 22 13 1 2 22 a n an 1 1 2 2 an 2 730 0nn 10 3nn 1 3a 2 由题意 得 解得 1 1 1 37 37 1 3 37629 1 2 1 37 1 2 3 n a aa 1 11 23 n a a 例 3 求集合的元素个数 并求这些元素的和 7 100Mm mn nNm 且 解 由 得 故集合中的元素共有 14 个 将它们从小到大列出 得 7100n 2 14 7 n M714212898 这数列是等差数列 共有项 记为 其中 所以 答 集合共有 14 个元素 它们的和等于14 n a 1 7a 14 98a 14 14 798 735 2 S M 735 例 4 1 在等差数列中 若 求 答案 n a 691215 34aaaa 20 S 20 170S 2 在等差数列中 第 11 项到第 20 项的和为 910 求 第 21 项到第 30 项的和 n a 10 310S 解 2 设等差数列的首项为 公差为 由题意 得即 解得 1 ad 10 2010 310 910 S SS 1 1 10 9 10310 2 20 19 20310910 2 ad ad 1 4 6 a d 21 420 6124a 212230 10 9 10 12461510 2 aaa 从上例中我们发现 也成等差数列 你能得出更一般的结论吗 1020103020 SSSSS 2 结论 仍成等差数列 公差为 为确定的正整数 2 1 mmmkmkm SSSSSkN 2 m dm 五 回顾小结 五 回顾小结 1 等差数列的前项和的两个公式及推导方法 n 2 在等差数列前项和公式及通项公式中有 五个量 已知其中三个可以求出另外两个 n 1 a n and n S 3 等差数列前项和的性质 在等差数列中前项为 则仍成等差数列 公差为 n n an n S 2 1 mmmkmkm SSSSSkN 2 m d 为确定的正整数 m 2 2 2 2 第第 4 4 课时课时 等差数列的前等差数列的前项和的公式 项和的公式 2 2 n 教学目标教学目标 1 能熟练运用等差数列前项和的公式解决有关应用问题 2 掌握等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质 nn 教学重点 难点教学重点 难点等差数列前项和的公式的应用 n 教学过程一 问题情境教学过程一 问题情境 情境 1 等差数列中 则 2 等差数列中 则 n a 25 19aa 5 40S 10 29a n a 2712 21aaa 13 91S 3 已知等差数列前项和为 前项和为 前项的和为为 na2nb3n3 ba 4 某剧场有 20 排座位 后一排比前一排多 2 个座位 最后一排有 60 个座位 这个剧场共有 820 个座位 二 学生活动二 学生活动学生板演解答上面各题 三 数学运用三 数学运用 1 例题 例 1 已知等差数列的项数为奇数 且奇数的和为 偶数项的和为 求此数列的中间项及项数 n a4433 解 设项数为 奇数项和记为 奇 偶数项和记为偶 21k SS 由题意 奇 偶 S121 1321 1 44 2 k k aa aaak S 22 242 33 2 k k aa aaak 得 解得 项数为 7 项 又 奇 即中间项为 144 33 k k 3k S 1 1144 k a 1 11 k a 11 说明 说明 设数列设数列是等差数列 且公差为是等差数列 且公差为 若项数为偶数 设共有 若项数为偶数 设共有项 则项 则 奇奇偶偶 n ad2nS Snd 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为奇数 设共有 若项数为奇数 设共有项 则项 则 偶偶奇奇 21n S S n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 例 2 某种卷筒卫生纸绕在盘上 空盘时盘芯直径 40mm 满盘时直径 120mm 已知卫生纸的厚度为 0 1mm 问 满盘时卫生纸的总长度大约是多少 米 精确到 0 1m 解 卫生纸的厚度为 0 1mm 可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆 然后分别计算各圆的周长 再求总和 由内向外各圈的半径分别 为 因此各圈的周长分别为 各圈半径组成首项为 公差为的等差数列 20 05 20 15 59 95 40 1 40 3 119 9 20 050 1 设圈数为 则 各圈的周长组成一个首项为 公差为 项数为 40 的等差数列 n59 9520 05 1 0 1n 400n 40 1 0 2 答 满盘时卫生纸的总长度约是 100 米 说明 各圈的半径为该层纸的中心线至盘 400 400 1 400 40 10 232000 2 n Smm 32000 100 mmm 芯中心的距离 例 3 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款 它享受整存整取利率 利息免税 教育储蓄的对象是在校小学四年级 含四年级 以上的学生 假 设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为 1 欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元 每月大约存入多少元 2 1 2 零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元 此时 3 年后本息合计约为多少 精确到 1 元 说明 教育储蓄可选择 1 年 3 年 6 年这三种存期 起存金额 50 元 存款总额不超过 2 万元 解 1 设每月存入元 则有 A 12 1A 1 2 2 1A 1 36 2 1A 20000 3 由等差数列的求和公式 得 解得 元 3636 2 1A 36 35 2 1 2 20000 535A 2 由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元 3 年期教育储蓄每月至多可存入 元 这样 3 年后的本息和为 20000 555 36 元 555 12 1 555 1 2 2 1 555 1 36 2 1 555 3636 2 1 36 35 2 1 2 20756 答 欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元 每月大约存入 535 元 3 年期教育储蓄每月至多存入 555 元 此时 3 年后本息合计约 20756 元 五 回顾小结 五 回顾小结 1 等差数列前项和中奇数项和与偶数项和的性质 2 等差数列前项和公式在实际中的应用及解题规范 nn 第第 5 5 课时课时 等差数列的前等差数列的前项和 项和 3 3 n 教学目标教学目标 1 能熟练地应用等差数列前项和公式解决有关问题 2 能利用数列通项公式与前项和之间的关系解决有关问题 nn 教学重点 难点教学重点 难点 1 等差数列前项和公式的应用 2 数列通项公式与前项和之间的关系的应用 nn 教学过程教学过程 一 问题情境一 问题情境 1 情境 已知等差数列中 任何求 n a 2 1 2 n Sanana n a41 n an 二 学生活动二 学生活动 1 求出和 再用等差数列的通项公式求 2 利用与的关系 1 ad n a n a n S 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 3 把等差数列的条件去掉 求 n a 三 数学运用三 数学运用 1 例题 例 1 1 如果数列满足 求 n a 1 3a 1 11 5 nn aa nN n a 2 已知数列的前项和为 求 n an 2 2 n Snn n a 解 1 由题意 是公差为的等差数列 其首项为 1 n a 5 1 3 111514 5 1 33 n n n a 3 1514 n a n 2 当时 当时 所以 1n 11 3aS 2n 22 1 2 1 2 1 21 nnn aSSnnnnn 21 n an nN 例 2 等差数列与的前项和分别为和 且 求的值 n a n bn n S n S 72 3 n n Sn Sn 7 7 a b 解 所以 113 137 13 13 2 aa Sa 113 13 7 13 13 2 bb Sb 713 13 7 7 13293 13316 aS bS 说明 若等差数列与的前项和分别为和 则 n a n bn n S n S21 21 nn nn aS bS 例 3 在等差数列中 1 该数列第几项开始为负 2 前多少项和最大 3 求前项和 10 23a 25 22a n an 解 设等差数列中 公差为 由题意得 n ad 2510 1 1545 23 10 1 3 aad a 1 50 3 a d 1 设第项开始为负 所以从第项开始为负 n50 3 1 53 30 n ann 53 3 n 18 2 法一 设前项和为 则 所以 当时 前 17 项和最大 n n S 222 1 310331033103 50 3 2222626 n n n Snnnn 17n 法二 则 所以 1 0 0 n n a a 5330 5030 n n 5053 33 n 17n 3 533 017 533 353 17 n nn an nn 12312171819 n nn Saaaaaaaaaa 4 当时 当时 17n 2 3103 22 nSnn 17n 22 17 31033103 2884 2222 nSnnSnn 所以 2 22 17 3103 17 22 31033103 2884 17 2222 n nn n S nnSnnn 说明 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 可用二次函数最值的求法 n S n SnN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 四 回顾小结 四 回顾小结 1 与的关系 n a n S 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 2 若等差数列与的前项和分别为和 则 n a n bn n S n S 21 21 nn nn aS bS 3 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 n S 若已知 可用二次函数最值的求法 n SnN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n