考前函数选择题压轴题

第 1 页 共 7 页 1 设 V 是全体平面向量构成的集合 若映射 f V R 满足 对任意向量 a x1 y1 V b x2 y2 V 以及任意 R 均有 f a 1 b f a 1 f b 则称映射 f 具有性质 P 现给出如下映射 f1 V R f1 m x y m x y V f2 V R f2 m x2 y m x y V f3 V R f3 m x y 1 m x y V 其中 具有性质 P 的映射的序号为 写出所有具有性质 P 的映射的序号 答案 解析 设 a x1 y1 V b x2 y2 V 则 a 1 b x1 y1 1 x2 y2 x1 1 x2 y1 1 y2 f1 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 x1 y1 1 x2 y2 f1 a 1 f1 b 映射 f1具有性质 P f2 a 1 b x1 1 x2 2 y1 1 y2 f2 a 1 f2 b x y1 1 x y2 2 12 2 f2 a 1 b f2 a 1 f2 b 映射 f2不具有性质 P f3 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 1 x1 y1 1 1 x2 y2 1 f3 a 1 f3 b 映射 f3具有性质 P 故具有性质 P 的映射的序号为 2 2011 湖南卷 给定 k N 设函数 f N N 满足 对于任意大于 k 的正整数 n f n n k 1 设 k 1 则其中一个函数 f 在 n 1 处的函数值为 2 设 k 4 且当 n 4 时 2 f n 3 则不同的函数 f 的个数为 2011 湖南卷 1 a a 为正整数 2 16 解析 1 由法则 f 是正整数到正整数的映 射 因为 k 1 所以从 2 开始都是一一对应的 而 1 可以和任何一个正整数对应 故 f 在 n 1 处的函数值为任意的 a a 为正整数 2 因为 2 f n 3 所以根据映射的概念可得到 1 2 3 4 只能是和 2 或者 3 对应 1 可以和 2 对应 也可以和 3 对应 有 2 种对应方法 同理 2 3 4 都有两种对应方法 由乘 法原理 得不同函数 f 的个数等于 16 3 2011 四川卷 函数 f x 的定义域为 A 若 x1 x2 A 且 f x1 f x2 时总有 x1 x2 则称 f x 为单函数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 f x x2 x R 是单函数 指数函数 f x 2x x R 是单函数 若 f x 为单函数 x1 x2 A 且 x1 x2 则 f x1 f x2 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 来源 Z xx k Com 2011 四川卷 解析 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理 解 对于 如 2 2 A f 2 f 2 则 错误 对于 当 2x1 2x2时 总有 x1 x2 故为单函数 对于 根据单函数的定义 函数即为一一映射确定的函数关系 所以当函数 自变量不相等时 则函数值不相等 即 正确 对于 函数 f x 在定义域上具有单调性 则函数为一一映射确定的函数关系 所以 正确 4 2011 北京卷 设 A 0 0 B 4 0 C t 4 4 D t 4 t R 记 N t 为平行四边形 ABCD 内 部 不含边界 的整点的个数 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则函数 N t 的值域为 A 9 10 11 B 9 10 12 第 2 页 共 7 页 C 9 11 12 D 10 11 12 5 2011 重庆卷 下列区间中 函数 f x 在其上为增函数的是 ln 2 x A 1 B 1 4 3 C D 1 2 0 3 2 6 2011 福建卷 对于函数 f x asinx bx c 其中 a b R c Z 选取 a b c 的一组 值计算 f 1 和 f 1 所得出的正确结果一定不可能是 A 4 和 6 B 3 和 1 C 2 和 4 D 1 和 2 2011 福建卷 D 解析 由已知 有 f 1 asin1 b c f 1 asin1 b c f 1 f 1 2c c Z f 1 f 1 为偶数 而 D 选项给出的两个数 一个是奇数 一个是偶数 两个数的和为奇数 故选 D 7 2011 天津卷 对实数 a 和 b 定义运算 a b Error Error 设函数 f x x2 2 x x2 x R 若函数 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 则实数 c 的取值范围是 A 2 1 3 2 第 3 页 共 7 页 B 2 1 3 4 C 1 1 4 1 4 D 1 3 4 1 4 2011 天津卷 B 解析 f x Error Error Error Error 则 f的图象如图 1 4 x 图 1 4 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 y f x 与 y c 的图象恰有两个公共点 由图象知 c 2 或 1 c0 的图象上的动点 该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的 中点的纵坐标为 t 则 t 的最大值是 2011 江苏卷 1 2 e 1 e 解析 设 P x0 y0 则直线 l y ex0 ex0 x x0 令 x 0 则 y x0ex0 ex0 与 l 垂直的直线 l 的方程为 y ex0 x x0 1 ex0 令x 0 得 y ex0 所以 t x0 ex0 x0ex0 2ex0 x0 ex0 2 令 y 则 y 令 y 0 得 x 1 xex 2ex x ex 2 ex x 1 x 1 ex 2 当 x 0 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 故当 x 1 时该函数的最大值为 1 2 e 1 e 9 2011 湖北卷 里氏震级 M 的计算公式为 M lgA lgA0 其中 A 是测震仪记录的地震曲 线的最大振幅 A0是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪记录的最大振幅 是 1000 此时标准地震的振幅为 0 001 则此次地震的震级为 级 9 级地震的最大 振幅是 5 级地震最大振幅的 倍 2011 湖北卷 6 10000 解析 由 M lgA lgA0知 M lg1000 lg0 001 6 所以此次地震的级数为 6 级 设 9 级地震的最大振幅为 A1 5 级地震的最大振幅为 A2 则 lg lgA1 lgA2 9 5 4 所以 104 10000 所以 9 级地震 A1 A2 lgA1 lgA0 lgA2 lgA0 A1 A2 的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10000 倍 第 4 页 共 7 页 10 2011 安徽卷 函数 f x axm 1 x n在区间 0 1 上的图像如图 1 2 所示 则 m n 的值可能是 图 1 2 A m 1 n 1 B m 1 n 2 C m 2 n 1 D m 3 n 1 课标理数 10 B8 2011 安徽卷 B 解析 由图可知 a 0 当 m 1 n 1 时 f x ax 1 x 的图像关于直线 x 对称 所以 A 不可能 1 2 当 m 1 n 2 时 f x ax 1 x 2 a x3 2x2 x f x a 3x2 4x 1 a 3x 1 x 1 所以 f x 的极大值点应为 x 0 5 由图可知 B 可能 1 3 当 m 2 n 1 时 f x ax2 1 x a x2 x3 f x a 2x 3x2 ax 3x 2 所以 f x 的极大值点为 x 0 5 所以 C 不可能 2 3 当 m 3 n 1 时 f x ax3 1 x a x3 x4 f x a 3x2 4x3 ax2 4x 3 所以 f x 的极大值点为 x 0 5 所以 D 不可能 故选 B 3 4 11 2011 北京卷 已知函数 f x Error Error 若关于 x 的方程 f x k 有两个不同的实根 则实数 k 的取值范围是 2011 北京卷 0 1 解析 函数 f x 的图象如图 1 5 所示 图 1 5 由上图可知 0 k0 时 f 1 a 3 4 2 2a a 1 3a f 1 a a 0 不成立 当 a 0 时 f 1 a 3 2 1 a 2a 2 2a a f 1 a a 3 4 14 已知函数 f x ex x 对于曲线 y f x 上横坐标成等差数列的三个点 A B C 给出以下 判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 2011 福建卷 B 解析 解法一 1 设 A B C 三点的横坐标分别为 x1 x2 x3 x1 x20 f x 在 上是增函数 f x1 f x2 f x3 且 f x1 x3 2 f x1 f x3 2 x1 x2 f x1 f x2 x3 x2 f x3 f x2 BA BC x1 x2 x3 x2 f x1 f x2 f x3 f x2 0 BA BC ABC 为钝角 判断 正确 错 2 若 ABC 为等腰三角形 则只需 AB BC 即 x1 x2 2 f x1 f x2 2 x3 x2 2 f x3 f x2 2 x1 x2 x3成等差数列 即 2x2 x1 x3 且 f x1 f x2 f x3 只需 f x2 f x1 f x3 f x2 即 2f x2 f x1 f x3 即 f 这与 f 相矛盾 x1 x3 2 f x1 f x3 2 x1 x3 2 f x1 f x3 2 ABC 不可能是等腰三角形 判断 错误 正确 故选 B 解法二 1 设 A B C 三点的横坐标为 x1 x2 x3 x1 x20 f x 在 上是增函数 画出 f x 的图象 大致 f x1 f x2 f x3 且 f x1 x3 2 f x1 f x3 2 如图 1 2 设直线 AB BC 的倾斜角分别为 和 由 0 kAB kBC 得 故 ABC 为钝角 判断 正确 错误 2 由 x1 x2 x3成等差数列 得 x2 x1 x3 x2 若 ABC 为等腰三角形 只需 AB BC 则 f x2 f x1 f x3 f x2 由 0 kAB2 所以 G x f x 2 0 恒成立 所以 G x f x 2x 4 是 R 上的 增函数 又由于 G 1 f 1 2 1 4 0 所以 G x f x 2x 4 0 即 f x 2x 4 的解集为 1 故选 B 17 2011 四川卷 函数 f x 的定义域为 A 若 x1 x2 A 且 f x1 f x2 时总有 x1 x2 则 称 f x 为单函数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 f x x2 x R 是单函数 若 f x 为单函数 x1 x2 A 且 x1 x2 则 f x1 f x2 若 f A B 为单函数 则对于任意 b B 它至多有一个原象 函数 f x