席静——圆的标准方程教学设计

圆的标准方程 教学设计 济源四中 席静 一 教材分析一 教材分析 圆的标准方程 是人教版高中数学必修 2 第四章第一节的内容 属于解析几何学的基础知识 是研究二次曲线的开始 本节是在前一章学习 直线与方程 的基础上 继续用代数方法来研究几 何问题 为后续圆锥曲线的学习打下了基础 因此它在整个解析几何中起着承前启后的作用 二 学情分析二 学情分析 1 心理特征分析 高一学生心理正逐步走向成熟 已有独立思考的意识 勇于思索 对自己感兴趣的问题特别关注 喜欢进行合作学习 2 学习能力分析 具备一定的观察思考能力 探索创新能力及分析解决问题的能力 有较强的求知欲 3 已有的知识经验 学生对圆的概念及基本性质有了初步的认识 对数形结合的思想有了初步的体验 4 学习障碍分析 对解析几何的解题方法不太熟练 对曲线方程不够了解 探究问题能力 合作交流意识有待加强 三 教学目标三 教学目标 1 知识与技能目标 在平面直角坐标系中 探索并掌握圆的标准方程 会根据已知条件求圆的标准方程 会判断 点与圆的位置关系 2 过程与方法目标 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力 加深对数形结合思想和待定系数法的理解 培养学生自主探究的能力 3 情感态度目标 培养学生主动探究知识 合作交流的意识 在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣 培 养学生勤于思考 勤于动手的良好品质 四 教学重 难点及解决策略 四 教学重 难点及解决策略 1 重点 圆的标准方程的推导及应用 2 难点 1 由已知条件求圆的标准方程 2 判断点与圆的位置关系 3 解决策略 教师启发诱导 任务驱动 跟踪指导 学生自主探究 合作交流 小组展示 师生共 同解决问题 从而达到突破重 难点的目的 五 教学过程五 教学过程 整个教学过程是由若干个问题组成的问题链来驱动的 总共分为五个环节 一一 复习提问 导入新课 小组讨论 展示 教师补充 复习提问 导入新课 课堂小结 拓展延伸 深入探究 获得新知 应用举例 巩固提高 反馈训练 形成能力 M x y x C a b O 圆的图片欣赏 问题问题 1 观察圆的形成过程 回答 具有什么性质的点的轨迹称为圆 构成圆的两个要素是什么 观察圆的形成过程 回答 具有什么性质的点的轨迹称为圆 构成圆的两个要素是什么 教师 在课件上演示圆的形成过程 学生 观察 思考 回答上述问题 平面内与定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 圆心确定了圆的位置 半径确定了圆的大小 设计意图 我以图片吸引学生 以问题导入新课 意图在于通过对已学知识的回顾 为本节课的学 习做好铺垫 同时也激发了学生学习新知识的兴趣和欲望 把学生的思维吸引到研究圆的方程来 二 深入探究 获得新知y 问题问题 2 怎样推导圆心 怎样推导圆心 C a b 半径为半径为 r 的圆的方程呢 的圆的方程呢 1 设点 设圆上任一点 M 坐标为 x y 2 写点集 根据定义 圆就是集合 P M MC r 3 列方程 由两点间的距离公式得 22 xaybr 4 化简方程 将上式两边平方得 222 xaybr 1 5 引导学生自己证明 方程 1 就是圆心是 C a b 半径是 r 的圆的标准方程 设计意图 新课标指出 数学教学是师生互动与共同参与的过程 这里 在我的启发引导下 让学 生通过观察 探究 交流 亲身经历数学知识的形成过程 有助于学生形成扎实的数学基础和良好 的思维品质 问题问题 3 当圆心在原点时 圆的方程是什么 圆的方程形式有什么特点 当圆心在原点时 圆的方程是什么 圆的方程形式有什么特点 学生讨论交流 教师适时点拨 1 当圆心在原点即 C 0 0 时 方程为 r y x 2 2 2 2 圆的方程形式特点 是二元二次方程 左边是 x y 与实数差的平方和 方程的右边是某个实数的平方 也就是一 定为正数 含 a b r 三个参数 必须有三个独立的条件才可以确定一个圆 问题问题 4 通过求圆的方程 你能归纳出求曲线方程的一般步骤吗 通过求圆的方程 你能归纳出求曲线方程的一般步骤吗 求曲线方程的一般步骤为 建系 设点 列式 代入 化简 证明 设计意图 问题 4 的设计是想让学生加深对圆的标准方程的理解 问题 5 的解决为后面推导圆锥曲 线的方程打下了基础 三 应用举例 巩固提高 本环节我分为直接应用和灵活应用两个层次 直接应用 1 写出下列各圆的标准方程 1 圆心在原点 半径为 3 2 经过点 P 5 1 圆心在点 C 8 3 2 写出下列圆的圆心坐标和半径 1 2 22 222 y x a nymx 2 22 设计意图 我设计的两个小题 都比较基础 学生很容易完成 这样不但增加他们学习的兴趣和信 心 还能加深其对圆的标准方程的理解和应用 为后面的例题学习做了准备 灵活应用 例例 1 写出圆心为写出圆心为 A 2 3 半径长等于 半径长等于 5 的圆的方程 并判断点的圆的方程 并判断点 P 5 7 Q 3 1 与圆的与圆的 位置关系 位置关系 教师引导学生思考 结合圆的定义 得点与圆 222 xaybr 关系的判断方法 设计意图 例 1 是坐标法思想的体现 共有两问 第一问是给出圆心坐标和半径让学生快速写出圆 的标准方程 是由几何到代数 第二问是判断点与圆的位置关系 是由代数到几何 具体方法如下 方法一 设点到圆心的距离为 d 圆的半径为 r 则 若 d r 点在圆外 若 d r 点在圆内 若 d r 点在圆内 方法二 圆的标准方程的左边表示圆上的点到圆心距离的平方 右边表示半径的平方 通过比较 的大小关系也能判断点与圆的位置关系 即点的坐标代入方程 比较左右两边的大小 r 22与 d 例例 2 ABC 的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为 A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆方程 求它的外接圆方程 教师引出待定系数法 总结就是三步 设 列 求 这种方法易于思考 易于列式 难于计算 这就需要同学们有扎实的计算能力 也需要同学们平时多多练习 问题问题 6 结合图形思考 本例题还有其他的解法吗 结合图形思考 本例题还有其他的解法吗 学生讨论交流 小组展示 解法二 由圆的定义可知 要求圆的方程需求出圆的圆心和半径 求出三条线段 AB BC AC 中 其中两条的中垂线 联立方程组的圆心 M 坐标 圆心到圆上的点的距离即为半径 引导学生总结 出圆的标准方程的第二种求法 几何法 设计意图 让学生总结出圆的标准方程的两种求法 待定系数法和几何法 要求学生在解题过程中能择 优应用 进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想 例例 3 己知圆心为 己知圆心为 C 的圆经过点的圆经过点 A 1 1 和和 B 2 2 且圆心在直线且圆心在直线 l x y 1 0 上上 求圆心为求圆心为 C 的圆的标的圆的标 准方程准方程 解法一 待定系数法 设出方程 根据题中条件列出三个式子 求出系数 a b r 解法二 几何法 利用圆的性质做等价转化 即弦的中垂线经过圆心 联立方程求出圆心和半径 解法三 圆心在直线 l x y 1 0 上 设圆心 C 坐标 一个未知数表示 利用圆的定义圆心到圆上任意 一点的距离即为半径 再根据半径相等列式 求出未知数 设计意图 我预设了 3 种方法 它既是对圆的标准方程求法的进一步巩固 强化和提高 又一次为 学生的发散思维创设了空间 最后安排学生讨论交流 使学习气氛达到高潮 四 反馈训练 形成方法 当堂检测 求满足下列条件的圆的方程 1 已知点 A 2 3 B 4 9 以线段 AB 为直径的圆 2 圆心为 0 3 过 3 1 3 圆心为坐标原点 且与直线 4x 2y 1 0 相切 4 圆过点 0 1 和 0 3 半径等于 1 学生独立完成 暴露出问题 教师及时纠正 设计意图 我设计四个小题作为巩固性训练 使学生掌握不同条件下的求圆的方程的求法 要求学 生限时 独立完成 让学生体验学习数学的乐趣 成功的喜悦 从而增强学好数学的信心 五 小结反思 拓展延伸 一 课堂小结 学生 思考交流 小组展示 教师 及时补充 要体现三个方面 1 知识 圆的标准方程形式和方程的结构特点 2 方法 求圆的方程的两种方法 1 待定系数法 2 几何法 推导圆的标准方程的方法 判断点与圆的位置关系的方法 3 思想 数形结合思想 设计意图 在这个环节里 先由同学们组内交流 小组展示 使学生在互相交流中获得更多的学习 经验 最后由老师作全面总结 这样 学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固 二 布置作业 作业 1 课本第 120 页 1 3 4 作业 2 思考题 将圆的标准方程展开 我们将会得到什么的方程 是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的 方程 设计意图 在此 我设计两个作业作为本节课的巩固和延伸 完成作业一 达到巩固本节知识的 效果 完成作业二 为下节课学习圆的一般方程做好预习工作 从而起到温故知新的作用 六 板书设计分析六 板书设计分析 为了使整个版面思路清晰 层次分明 能抓住学生的注意力 我设计板书如下 圆的标准方程 一 复习提问 二 圆的标准方程 222 xaybr 1 推导 2 特征 3 圆心在原点时 方程为 ryx 2 2 2 三 应用举例 1 直接应用 2 灵活应用 例 1 例 2 例 3 提炼升华 1 点与圆的位置关系 2 求圆的标准方程的方法 待 定系数法 几何法 3 数形结合思想 四 反馈练习 五 课堂小结 六 布置作业 七 教学评价分析 七 教学评价分析 1 为了激发学生的主体意识 本节课我采用了 问题探究 教学法 即把教学内容设计为若干 问题 从而引导学生进行探究的课堂教学模式 2