数学必修二重点知识例题.doc

【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：.【例4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90.异面直线AB、CD成90角.【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. 证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，ABC D E F GM O OED1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， EF平面BB1D1D.【例3】如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ，为中点， 为中点，在中，、为、中点， ，又平面，平面， 平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， NH. 由M是AB的中点， NHAM， 即AMNH为平行四边形. . 由， .（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MONO. 由，, 得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.【例2】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 面BGD. 又易知EF/AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.知识要点：1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.1. 点到直线的距离公式为 【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x+4y12=0的斜率为， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.解：设所求直线的方程为，整理为. 平行于直线， ，解得.则所求直线方程为【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.解：设所求直线l的方程为, 整理得.由点到直线的距离公式可知，, 解得.代入所设，得到直线l的方程为.【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.【例1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 .解：将圆x2y22x0的方程化为标准式：（x1）2y21, 其圆心