教科书中的大约与估算

1 教科书中的教科书中的 大约大约 与估算与估算 首都师范大学初等教育学院 郜舒竹 王海娇 在小学数学估算内容的教学实践中 有这样的一种认识 题目中如果有 大约 二字 就不能精确计算 一定要估算 得到的结果不允许是准确值 这实际上是对估算的误解 原因一方面是对估算本身的认识不足 另一方面也 可能是对 大约 的用法不够明确 人民教育出版社和北京师范大学出版社出 版的 义务教育课程标准实验教科书一数学 以下分别简称为 人教版教科书 和 北师大版教科书 从一年级到六年级 12 册书中 大约 和 约 包 括 大概 分别出现了 270 余次 为了澄清认识 需要对 大约 在小学数学 教科书中的用法进行梳理 按照 现代汉语词典 的解释 大约 作为副词后接数量时 一般表示不 十分准确但比较接近的意思 比如 北京到南京的距离大约 1200 千米 这句话 中的 大约 1200 千米 所表达的意思是 1200 千米 不准确 但也差不多 大约 并不是一个具有严格意义的数学术语 因此在不同语境的使用中 其 含义是会出现差异的 一 一 无法准确无法准确 中的中的 大约大约 在数学课程内容的语言表达中 大约 的第一种用法是表达 无法准确 的数量或数量关系 比如圆周率是一个圆的周长与这个圆的直径的比值 由于 这个比值是无理数 所以无法用整数或有限的十进小数表达 因此只能说 圆 周率大约是 3 14 或者 近似于 3 14 类似的例子还有化分数为小数 如 果将化为十进小数 由于结果是一个无限循环小数 如果用有限小数表达就 3 1 不得不用上 约 或 近似于 这样的词汇 比如 约等于 0 33 为了准 3 1 确表达无限循环小数 数学家想出来的办法是加上 循环点 比如可以准确 3 1 地表达为 0 3 1 3 无法准确 的第二种情况是表达某类事物或动物的数量属性 比如在 2 人教版教科书 二年级下册第 90 页中有这样一句话 世界上最小的乌是蜂 乌 大约只有 2 克重 世界上最大的鸟是鸵鸟 大约有 100 千克重 这里所说 的 蜂鸟 和 鸵鸟 不是一只而是一类 当然不可能每一只蜂鸟的体重都是 2 克 也不可能每一只鸵鸟的体重都是 100 千克 因此这里所使用的 大约 反映的是一类动物体重的普遍规律 即 蜂鸟的体重都近似于 2 克 以及 鸵 鸟的体重都近似于 100 千克 这里的 2 克 或 100 千克 应当是鸟类学家 对大量蜂乌和鸵鸟的体重进行称量后所得到的平均值 因此这里的 大约 实 际上是统计中 平均 的意思 因此也可以说 蜂乌的体重平均为 2 克 以及 鸵鸟的体重平均为 100 千克 类似的例子还有 一条蚕大约吐丝 1500 米 小红养了 6 条蚕 大约吐丝多 少米 其中的 一条蚕大约吐丝 1500 米 实际上是蚕作为一类动物吐丝的普 遍规律 题目中 小红养的 6 条蚕 并不定每条都吐丝 1500 米 因此利用 1500 6 计算出来的准确结果 9000 米前仍然需要加上 大约 诸如此类的 问题表面看有 大约 但并不属于需要估算的问题 第三种 无法准确 的情况是对运动或变化的数量描述 在 北师大版教 科书 三年级上册第 52 页有这样的问题 小东每分钟走 65 米 从学校到家 走了 10 分钟 小东家到学校大约有多少米 题目中叙述的 小东每分钟走 65 米 并不意味着小东每分钟真的走 65 米 行走过程中时快时慢是很正常的事 情 所以这里的 每分钟走 65 米 也是一个统计意义的平均值 因此也可以表 述为 小东每分钟大约走 65 米 或者 小东每分钟平均走 65 米 题目的问 题 小东家到学校大约有多少米 中的 大约 并不是要求运用估算解决问 题 而是伴随着前面 大约走 65 米 而出现的 类似的例子还有 中国大约 有 13 亿人口 事实上人口数量每时每刻都在变化 只能用 大约 来表述 还有一种因不可知因素的干扰造成的 无法准确 的情况 也需要使用 大约 进行描述 在 人教版教科书 六年级下册中有这样一个问题 一 个圆柱形铁皮水桶 无盖 高 12 分米 底面直径是高的 做这个水桶大约要 4 3 用多少铁皮 利用铁皮制作一个水桶自然需要对铁皮进行剪裁或切割 过程中 会出现边角料 这样的边角料的数量是很难准确计算出来的 因此题目中 大 约要用多少铁皮 中的 大约 应当是针对此而使用的 并不是要求计算过程 3 要用估算 另外 这道题目的计算中还会用到无理数 如果最后结果取了 的近似值 那么这里的 大约 就有了 近似 的含义 类似的例子还有 北师大版教科书 六年级上册第 69 页中有一个计算体积的问题 如果把装 满 25 千克大米的袋子看成长方体 量一量它的长大约是多少米 宽大约是多少 米 高大约是多少米 算出它的体积大约是多少米 题目中的 大约 并不是 要求运用估算解决问题 而是针对测量可能产生的误差而言的 二 二 可以准确可以准确 与与 大约大约 估算中的大部分情况都是 可以准确 表达或计算的 但鉴于计算者的主 观意愿以及为了使得计算简单 快捷 有意把准确的数据或运算改变了 虽然 作为结果的数据是不准确的 但是可以满足计算者的主观意愿 这种主观意愿 往往表现为一个任务的目标 比如 需要购买 4 件单价为 4 3 元的商品 购买者首先面临的问题目标是 带多少钱合适 其主观意愿应当包括两个方面 第一是所带钱数应当 够 其次是 合适 也就是不要带得太多 因此自然就会把 4 3 改变为 5 进 行计算 得到 带 20 元钱就可以了 的结论 这种情况下 不会把 4 3 缩 小为 4 进行计算 因为这样计算的结果不能满足 够 的主观意愿 通常也 不会把 4 3 放大为 10 因为这样又违背了 不要太多 的主观意愿 其 中把 4 3 改变为 5 的计算过程就是估算的过程 在购买者购买商品的过程中 通常还会有想知道 应当找回多少钱 的主 观意愿 因此此时的问题目标就是 应当找回多少钱 针对这一问题目标就需 要计算 20 4 3 4 的准确值 而不能够使用估算了 如果离开了购买者的主观意愿 把这个情境下的问题目标叙述为 大约需 要多少钱 那么通常的方法是将 4 3 改变为最接近的整数 4 得到 大约 16 元 的结论 由此可见 在利用估算解决的问题中 大约 并不意味着 最接 近 是否能够估算 以及 如何估算 是与问题的情境以及计算者的主观意 愿直接相关的 简单地说 估算的过程是为了满足人的主观需要而出现的 这 是估算区别于其他运算的主要特征 不妨称之为估算目标的主观性特征 通常的计算 简算和近似计算往往对计算结果是有客观要求的 同时人的 主观意愿都是追求准确 特别是 近似计算 通常是在 无法准确 的情况下 不得已而为之的计算 比如在计算圆的周长或面积的时候 由于无理数 无法 4 用有限十进小数表示 不得已采用四舍五入取近似值 虽然结果是不准确的 但人的主观意愿还是追求尽量准确 因此近似计算与估算是有本质上的差异的 不能将二者混为一谈 鉴于估算目标的主观性特征 在数学课程与教学中应当特别注意问题情境 与问题目标的设计 如果设计不好就会给学生造成不知所措的感觉 比如这样 的问题 小明有 20 支水彩笔 妈妈又给他买了 12 支 小明现在大约有多少 支水彩笔 其中的 大约 就令人费解 命题者的意图可能是希望学生将 12 变为 10 然后通过 20 10 计算出 大约 30 支 的结论 这就会让 学生难以理解 准确计算出有 32 支并不困难 为什么要少算 2 支呢 类似的问 题还有 估计全家每天的住宿费是 120 元 如果住宿 2 周 估计住宿费约多 少元 此类问题的特点是把问题目标定位于 大 约有多少 而没有说明知 道了 大 约有多少 之后要干什么 因此估算的过程实际上是没有目标 自 然估算方法的选择也就缺少了依据 数学教科书和教学中还经常出现 够不够 或 能不能 的问题目标 比如 人教版教科书 二年级上册第 31 页的问题 见图 1 题目中列举了三种商品价格分别为 热水瓶 28 元 烧水壶 43 元和水杯 24 元 问题目标是 100 元够不够 此类问题的教学通常都是 先估算 后判 断 也就是先估算出三种商品的总价格 大约是多少 然后通过比较与 100 的大小关系 进而得到 够 或 不够 的结论 应当说这样的问题比前面仅 5 仅把问题目标定位于 大约有多少 进了一步 是把估算作为达成另外一个目 标的手段 通过估算得到一个与人的主观意愿有关的判断 需要注意的是此类问题的思考顺序并不是 先估算 后判断 针对图 1 问 题 教科书给出的一种解法是 买热水瓶后大约剩 70 元 买烧水壶后大约还 剩 30 元 买水杯够了 其中 买热水瓶后大约剩 70 元 是将热水瓶单价 28 元 放大为 30 元 计算的 之后 买烧水壶后大约还剩 30 元 是将烧水壶 单价 43 元 缩小为 40 元 计算的 因此此时所说的 大约还剩 30 元 不 是真的 30 元 其准确值是一个比 30 元小的数量 从 30 元够买水杯 并不 能推理出比 30 元小的钱数也够的结论 如果上述过程中把烧水壶的单价放大为 45 元 其中第二步就变为 买烧水壶后大约还剩 25 元 由于两次都是将 单价放大 因此剩下钱数的准确值一定比 25 元大 那么从 25 元够买水杯 就可以知道剩下的钱数一定 够买水杯 了 综上说明 大约 后面的近似数与所表达的准确数的大小关系也是与问题 目标紧密相关的 大约有多少 估算方法的选择需要结合问题目标进行思考 估算与判断不是 先因后果 的关系 而应当是 互为因果 的关系 三 没有三 没有 大约大约 的的 大约大约 有时问题表述中可能并不含有 大约 但问题的思考过程或多或少都会与 大约 的含义相联系 比如这样一句话 小明 2012 年的年龄是 8 岁 即使 明确是按周岁计算 这个说法也是不准确的 假定小明是 2004 年 1 月 1 日出生 的 那么到了 2012 年 1 月 1 日 小明从出生开始计算就整整经历了 8 年 此时 可以认为是 8 岁 如果到了 2012 年 11 月 30 日 那么小明的年龄更准确的说法 就应当是 月龄 即小明的月龄为 12 8 11 107 个月 可以换算为 8 岁零 11 个月 或者是 8岁 比月龄更精确的说法当然还可以有周龄 日龄以 12 11 及时龄等 因此更加严格的说法应当是 小明 2012 年周岁的年龄大约是 8 岁 只不过人们更习惯没有大约的说法 这个例子说明所谓的 准确 是相对的 而且是与量纲 也就是计量单位 有关系的 比如如果用 千米 作为计量单位 那么可以说 北京到南京的距 离是 1157 千米 如果把计量单位改为 米 那么这个距离就肯定不是 1157000 米 因此在需要使用估算解决的问题的表述中 不一定非要含有 6 大约 之类的词语 关键要看问题的目标与情境的思考是否可以估算 也就 是要让估算自然出现 而不是用 大约 等词汇 强迫 进行估算 下面以一 个 设计班会 的情境为例进行说明 班干部要组织一次 40 分钟的主题班会 班主任老师希望全班 43 名学生要 有超过一半都能够发言 那么就需要给每个发言的限定时间 如何规定这个限 定时间合适呢 针对这问题 首先要思考 超过 43 的一半至少应当是 22 因 此确定第一个结论是 至少要有 22 名学生发言 第二要思考除了学生发言需 要占用时间之外 还有主持人的开场白以及老师的总结发言等等 假定这样的 时间确定为 10 分钟 这个数据其实就不可能是完全准确的 虽然没有使用 大约 但已经有了大约的含义 接下来的思考就是剩余的 30 分钟如何平均 分配给 22 名学生 当然就可以把其中的 22 看作 20 计算出 30 20 1 5 这样就可以得到每名发言同学的时间应当限定为 不超过 1 分 半 有了这样估算的过程 就为给发言的学生提出要求确定了依据 同时也使 得班会主持人在主持会议期间心中有数了 再看一个 几点起床 的例子 几乎每一个走读的小学生在家中都会设定 一个早晨起床的时间 思考和讨论的问题是 你是怎样确定自己起床时间的 针对此需要思考的问题至少包括三个方面 1 几点以前要到学校 2 上学路上需要多少时间 3 起床后洗漱 早餐等需要多少时间 这些问题的表述中都可以加上 大约 比如 上学路上大约需要多少时间 但是否使用 大约 并不是最重要的 重要的是针对 怎样确定起床时间 这一问题目标 估算过程是自然而然地融入到问题的思考中了 而且这样的问 题 无论是答案还是过程都是因人而异的 这种 开放性 应当成为估算问题 的一个特征 也是估算问题设计的一个原则 综上所述 在数学教科书中所使用的 大约 可以区分为两种情况 一种 是因为无