第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章 平面向量 数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及其线性运算 对应学生用书 P64 1 向量的有关概念 名称定义 向量既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小叫做向量的长度 或称模 零向量长度为零的向量叫做零向量 其方向是任意的 零向量记作 0 单位向量长度等于 1 个单位的向量 平行向量 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 则这两个向量叫做平行向量 平行向量又叫共线向量 规定 0 与任一向量平行 相等向量长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量 2 向量的线性运算 向量 运算 定义法则 或几何意义 运算律 加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a b a b 数乘 求实数 与向量 a 的积 的运算 1 a a 2 当 0 时 a 的方向与 a 的方向相同 当 0 时 a 的方向与 a 的方向相反 当 0 时 a 0 a a a a a a b a b 3 共线向量定理 向量 a a 0 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 使得 b a 1 作两个向量的差时 要注意向量的方向是指向被减向量的终点 2 在向量共线的重要条件中易忽视 a 0 否则 可能不存在 也可能有无数个 3 要注意向量共线与三点共线的区别与联系 试一试 1 若向量 a 与 b 不相等 则 a 与 b 一定 A 有不相等的模 B 不共线 C 不可能都是零向量 D 不可能都是单位向量 答案 C 2 若菱形 ABCD 的边长为 2 则 AB CB CD 解析 2 AB CB CD AB BC CD AD 答案 2 1 向量的中线公式 若 P 为线段 AB 的中点 O 为平面内一点 则 OP 1 2 OA OB 2 三点共线等价关系 A P B 三点共线 0 1 t t O 为平面内异于AP AB OP OA OB A P B 的任一点 t R x y O 为平面内异于 A P B 的任一点 OP OA OB x R y R x y 1 练一练 1 D 是 ABC 的边 AB 上的中点 则向量等于 CD A B BC 1 2BA BC 1 2BA C D BC 1 2BA BC 1 2BA 答案 A 2 已知 a 与 b 是两个不共线向量 且向量 a b 与 b 3a 共线 则 解析 由题意知 a b k b 3a 所以Error 解得Error 答案 1 3 对应学生用书 P65 考点一 向量的有关概念 1 给出下列命题 若 a b 则 a b 若 A B C D 是不共线的四点 则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充AB DC 要条件 若 a b b c 则 a c a b 的充要条件是 a b 且 a b 若 a b b c 则 a c 其中正确命题的序号是 A B C D 解析 选 A 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 正确 且 AB DC AB DC AB DC 又 A B C D 是不共线的四点 四边形 ABCD 为平行四边形 反之 若四边形 ABCD 为平行四边形 则 且 因此 AB DC AB DC AB DC 正确 a b a b 的长度相等且方向相同 又 b c b c 的长度相等且方向相同 a c 的长度相等且方向相同 故 a c 不正确 当 a b 且方向相反时 即使 a b 也不能得到 a b 故 a b 且 a b 不是 a b 的充要条件 而是必要不充分条件 不正确 考虑 b 0 这种特殊情况 综上所述 正确命题的序号是 故选 A 2 设 a0为单位向量 若 a 为平面内的某个向量 则 a a a0 若 a 与 a0平行 则 a a a0 若 a 与 a0平行且 a 1 则 a a0 上述命题中 假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 D 向量是既有大小又有方向的量 a 与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若 a 与 a0平行 则 a 与 a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向 时 a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是 3 类题通法 平面向量中常用的几个结论 1 相等向量具有传递性 非零向量的平行也具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 解题时不要把它与函数图像的 平移混为一谈 3 是与 a 同向的单位向量 是与 a 反向的单位向量 a a a a 考点二 向量的线性运算 典例 1 如图 在正六边形 ABCDEF 中 BA CD EF A 0 B BE C D AD CF 2 2013 江苏高考 设 D E 分别是 ABC 的边 AB BC 上的点 AD AB BE BC 若 1 2 1 2为实数 则 1 2的值为 1 2 2 3 DE AB AC 解析 1 如图 在正六边形 ABCDEF 中 CD AF BF CE BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF 2 由题意 DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 BA AC 1 6AB 2 3 AC 所以 1 2 即 1 2 1 6 2 3 1 2 答案 1 D 2 1 2 若 2 条件变为 若 2 则 AD DB CD 1 3CA CB 解析 CD CA AD CD CB BD 2 CD CA CB AD BD 又 2 AD DB 2 CD CA CB 1 3AB CA CB 1 3 CB CA 2 3CA 4 3CB 即 CD 1 3CA 2 3CB 2 3 答案 2 3 类题通法 在向量线性运算时 要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法则 利用三角形中位线 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把未知向 量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 针对训练 若 A B C D 是平面内任意四点 给出下列式子 AB CD BC DA AC BD BC AD 其中正确的有 AC BD DC AB A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 选 C 式的等价式是 左边 右边 AB BC DA CD AB CB 不一定相等 式的等价式是DA DC 成立 式的等价式是 AC BC AD BD AC CB AD DB AB AC 成立 DC AB BD AD AD 考点三 共线向量定理的应用 典例 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b AB BC CD 求证 A B D 三点共线 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 解 1 证明 a b 2a 8b 3 a b AB BC CD 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5 BD BC CD AB 共线 AB BD 又 它们有公共点 B A B D 三点共线 2 ka b 与 a kb 共线 存在实数 使 ka b a kb 即 ka b a kb k a k 1 b a b 是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 类题通法 1 共线向量定理及其应用 1 可以利用共线向量定理证明向量共线 也可以由向量共线求参数的值 2 若 a b 不共线 则 a b 0 的充要条件是 0 这一结论结合待定系数法应 用非常广泛 2 证明三点共线的方法 若 则 A B C 三点共线 AB AC 针对训练 已知 a b 不共线 a b c d e 设 t R 如果OA OB OC OD OE 3a c 2b d e t a b 是否存在实数 t 使 C D E 三点在一条直线上 若存在 求出 实数 t 的值 若不存在 请说明理由 解 由题设知 d c 2b 3a e c t 3 a tb C D E 三点在一CD CE 条直线上的充要条件是存在实数 k 使得 k 即 t 3 a tb 3ka 2kb CE CD 整理得 t 3 3k a 2k t b 因为 a b 不共线 所以有Error 解之得 t 6 5 故存在实数 t 使 C D E 三点在一条直线上 6 5 对应学生用书 P66 课堂练通考点 1 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 a 0 为实数 则 必为零 为实数 若 a b 则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 C 错误 两向量共线要看其方向而不是起点或终点 正确 因为向量既有大小 又有方向 故它们不能比较大小 但它们的模均为实数 故可以比较大小 错误 当 a 0 时 不论 为何值 a 0 错误 当 0 时 a b 0 此时 a 与 b 可以是任意向量 故选 C 2 如图 已知 a b 3 用 a b 表示AB AC BD DC 则 AD AD A a b B a b 3 4 1 4 3 4 C a b D a b 1 4 1 4 3 4 1 4 解析 选 B a b 又 3 CB AB AC BD DC a b b a b a b CD 1 4CB 1 4 AD AC CD 1 4 1 4 3 4 3 2013 贵阳监测考试 已知向量 a b c 中任意两个都不共线 但 a b 与 c 共线 且 b c 与 a 共线 则向量 a b c A a B b C c D 0 解析 选 D 依题意 设 a b mc b c na 则有 a b b c mc na 即 a c mc na 又 a 与 c 不共线 于是有 m 1 n 1 a b c a b c 0 选 D 4 2013 江南十校 联考 如图 在 ABC 中 A 60 A 的平分线交 BC 于 D 若 AB 4 且 R 则 AD 的长为 AD 1 4AC AB A 2 B 3 33 C 4 D 5 33 解析 选 B 因为 B D C 三点共线 所以有 1 解得 1 4 如图 过点 D 分别作 AC AB 的平行线交 AB AC 于点 M N 则 3 4 经计算得 AN AM 3 AD 3 AN 1 4AC AM 3 4AB 3 5 在 ABCD 中 a b 3 M 为 BC 的中点 则AB AD AN NC 用 a b 表示 MN 解析 由 3得 4 3 3 a b AN NC AN AC a b AM 1 2 所以 a b a b MN 3 4 a 1 2b 1 4 1 4 答案 a b 1 4 1 4 6 设点 M 是线段 BC 的中点 点 A 在直线 BC 外 2 16 BC AB AC AB 则 AC AM 解析 由 可知 则 AM 为 Rt ABC 斜边 BCAB AC AB AC AB AC 上的中线 因此 2 AM 1 2BC 答案 2 课下提升考能 第 组 全员必做题 1 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a b B 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 b a D 若存在实数 使得 b a 则 a b a b 解析 选 C 对于 A 可得 cos a b 1 因此 a b 不成立 对于 B 满足 a b 时 a b a b 不成立 对于 C 可得 cos a b 1 因此成立 而 D 显然不一定成 立 2 设 D E F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 且 2 2DC BD CE 2 则 与 EA AF FB AD BE CF BC A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 解析 选 A 由题意得 AD AB BD AB 1 3BC BE BA AE BA 1 3AC CF CB BF CB 1 3BA 因此 AD BE CF CB 1 3 BC AC AB CB 2 3BC 1 3BC 故 与反向平行 AD BE CF BC 3 2014 哈尔滨四校联考 在 ABC 中 N 是 AC 边上一点 且 P 是 BNAN 1 2NC 上的一点 若 m 则实数 m 的值为 AP AB 2 9AC A B 1 9 1 3 C 1 D 3 解析 选 B 如图 因为 所以AN 1 2NC m m 因为 B P N 三点共线 所以AN 1 3AC AP AB 2 9AC AB 2 3AN m 1 所以 m 2 3 1 3 4 2014 山师大附中模拟 已知平面内一点 P 及 ABC 若 PA PB PC AB 则点 P 与 ABC 的位置关系是 A 点 P 在线段 AB 上 B 点 P 在线段 BC 上 C 点 P 在线段 AC 上 D 点 P 在 ABC 外部 解析 选 C 由 得 即 PA PB PC AB PA PC AB PB AP PC 2 所以点 P 在线段 AC 上 选 C AP PA AP 5 2014 大连高三双基测试 设 O 在 ABC 的内部 且有 2 3 0 则OA OB OC ABC 的面积和 AOC 的面积之比为 A 3 B 5 3 C 2 D 3 2 解析 选 A 设 AC BC 的中点分别为 M N 则已知条件可化为 2 OA OC 0 即 2 0 所以 2 说明 M O N 共线 即 OOB OC OM ON OM ON 为中位线 MN 上的靠近 N 的三等分点 S AOC S ANC S ABC S ABC 所以 2 3 2 3 1 2 1 3 3 S ABC S AOC 6 2013 淮阴模拟 已知 ABC 和点 M 满足 0 若存在实数 m 使MA MB MC 得 m成立 则 m AB AC AM 解析 由题目条件可知 M 为 ABC 的重心 连接 AM 并延长交 BC 于 D 则 AM 因为 AD 为中线 则 2 3 所以 m 3 2 3AD AB AC AD AM 答案 3 7 2013 大庆模拟 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点 且向量 OA OB 满足等式 则四边形 ABCD 的形状为 OC OD OA OC OB OD 解析 OA OC OB OD OA OB OD OC BA 綊 CD 四边形 ABCD 为平行四边形 BA CD 答案 平行四边形 8 已知 D E F 分别为 ABC 的边 BC CA AB 的中点 且 a b 给BC CA 出下列命题 a b a b a b 0 AD 1 2 BE 1 2 CF 1 2 1 2 AD BE CF 其中正确命题的个数为 解析 a b a b 故 错 BC CA AD 1 2CB AC 1 2 a b 故 错 BE BC 1 2CA 1 2 a b CF 1 2 CB CA 1 2 a b 故 正确 1 2 1 2 b a a b b a 0 AD BE CF 1 2 1 2 1 2 1 2 正确命题为 答案 3 9 设两个非零向量 e1和 e2不共线 1 如果 e1 e2 3e1 2e2 8e1 2e2 AB BC CD 求证 A C D 三点共线 2 如果 e1 e2 2e1 3e2 2e1 ke2 且 A C D 三点共线 求 kAB BC CD 的值 解 1 证明 e1 e2 3e1 2e2 AB BC 8e1 2e2 CD 4e1 e2AC AB BC 8e1 2e2 1 2 1 2CD 与共线 AC CD 又 与有公共点 C A C D 三点共线 AC CD 2 e1 e2 2e1 3e2 3e1 2e2 AC AB BC A C D 三点共线 与共线 从而存在实数 使得 即AC CD AC CD 3e1 2e2 2e1 ke2 得Error 解得 k 3 2 4 3 10 如图所示 在 ABC 中 D F 分别是 BC AC 的中点 a b AE 2 3AD AB AC 1 用 a b 表示向量 AD AE AF BE BF 2 求证 B E F 三点共线 解 1 延长 AD 到 G 使 AD 1 2AG 连接 BG CG 得到 ABGC 所以 a b AG a b AD 1 2AG 1 2 a b AE 2 3AD 1 3 b AF 1 2AC 1 2 a b a b 2a BE AE AB 1 3 1 3 b a b 2a BF AF AB 1 2 1 2 2 证明 由 1 可知 又因为BE 2 3BF 有公共点 B BE BF 所以 B E F 三点共线 第 组 重点选做题 1 A B O 是平面内不共线的三个定点 且 a b 点 P 关于点 A 的对OA OB 称点为 Q 点 Q 关于点 B 的对称点为 R 则等于 PR A a b B 2 b a C 2 a b D b a 解析 选 B PR OR OP OR OQ OP OQ 2 2 2 b a OB OA 2 如图 在 ABC 中 设 a b AP 的中点为 Q BQ 的中点为 R CR 的AB AC 中点恰为 P 则等于 AP 解析 如图 连接 BP 则 b AP AC CP PR a AP AB BP RP RB 得 2 a b AP RB 又 RB 1 2QB 1 2 AB AQ 1 2 a 1 2 将 代入 得 2 a b AP 1 2 a 1 2 解得 a b AP 2 7 4 7 答案 a b 2 7 4 7 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 对应学生用书 P66 1 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 存 在唯一一对实数 1 2 使 a 1e1 2e2 其中 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的坐标运算 1 向量加法 减法 数乘向量及向量的模 设 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 a x2 1 y2 1 2 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 3 平面向量平行的坐标表示 设 a x1 y1 b x2 y2 其中 b 0 a b x1y2 x2y1 0 1 若 a b 为非零向量 当 a b 时 a b 的夹角为 0 或 180 求解时容易忽视其中 一种情形而导致出错 2 要区分点的坐标与向量坐标的不同 尽管在形式上它们完全一样 但意义完全不同 向量坐标中既有方向也有大小的信息 3 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b 的充要条件不能表示成 因为 x2 y2有 x1 x2 y1 y2 可能等于 0 应表示为 x1y2 x2y1 0 试一试 1 若向量 2 3 4 7 则 BA CA BC A 2 4 B 2 4 C 6 10 D 6 10 答案 A 2 2013 石家庄模拟 已知向量 a 1 2 b x 1 u a 2b v 2a b 且 u v 则实数 x 的值是 解析 u 1 2x 4 v 2 x 3 u v 8 4x 3 6x x 1 2 答案 1 2 用基向量表示所求向量时 注意方程思想的运用 练一练 设 e1 e2是平面内一组基向量 且 a e1 2e2 b e1 e2 则向量 e1 e2可以表示 为另一组基向量 a b 的线性组合 即 e1 e2 a b 解析 由题意 设 e1 e2 ma nb 因为 a e1 2e2 b e1 e2 所以 e1 e2 m e1 2e2 n e1 e2 m n e1 2m n e2 由平面向量基本定理 得Error 所以Error 答案 2 3 1 3 对应学生用书 P67 考点一 平面向量的坐标运算 1 2014 昆明一中摸底 已知点 M 5 6 和向量 a 1 2 若 3a 则点 NMN 的坐标为 A 2 0 B 3 6 C 6 2 D 2 0 解析 选 A 3a 3 1 2 3 6 设 N x y 则MN x 5 y 6 3 6 所以Error 即Error 选 A MN 2 2013 北京高考 向量 a b c 在正方形网格中的位置如图所示 若 c a b R 则 解析 设 i j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量 则 a i j b 6i 2j c i 3j 所以 i 3j i j 6i 2j 根据平面向量基本 定理得 2 所以 4 1 2 答案 4 3 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 a b c AB BC CA 1 求 3a b 3c 2 求满足 a mb nc 的实数 m n 解 由已知得 a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n Error 解得Error 类题通法 1 向量的坐标运算实现了向量运算代数化 将数与形结合起来 从而可使几何问题转 化为数量运算 2 两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同 此时注意方程 组 思想的应用 考点二 平面向量基本定理及其应用 典例 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 且 AD BC E F 分别为线段 AD 与 BC 的中点 设 1 3 a b 试用 a b 为基底表示向量 BA BC EF DF CD 解析 b a b b a EF EA AB BF 1 6 1 2 1 3 b b a DF DE EF 1 6 1 3b a 1 6 b a b CD CF FD 1 2 1 6b a 2 3 类题通法 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 1 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式 再通过向量的运 算来解决 2 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用平 面几何的一些性质定理 针对训练 2014 济南调研 如图 在 ABC 中 P 是 BN 上的一AN 1 3NC 点 若 m 则实数 m 的值为 AP AB 2 11AC 解析 因为 k k kAP AB BP AB BN AB AN AB AB 1 4 1 k AB k 4AC 且 m AP AB 2 11AC 所以 1 k m k 4 2 11 解得 k m 8 11 3 11 答案 3 11 考点三 平面向量平行的坐标表示 典例 平面内给定三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 求满足 a mb nc 的实数 m n 2 若 a kc 2b a 求实数 k 解 1 由题意得 3 2 m 1 2 n 4 1 所以Error 得Error 2 a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 由题意得 2 3 4k 5 2 k 0 k 16 13 在本例条件下 若 d 满足 d c a b 且 d c 求 d 5 解 设 d x y d c x 4 y 1 a b 2 4 由题意得Error 得Error 或Error d 3 1 或 5 3 类题通法 1 向量平行的两种表示形式 设 a x1 y1 b x2 y2 a b a b b 0 a b x1y2 x2y1 0 至于使用 哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般情况涉及坐标的应用 2 两向量平行的充要条件的作用 判断两向量是否平行 共线 可解决三点共线的问题 另外 利用两向量共线的充要 条件可以列出方程 组 求出未知数的值 针对训练 已知 A 1 1 B 3 1 C a b 1 若 A B C 三点共线 求 a b 的关系式 2 若 2 求点 C 的坐标 AC AB 解 1 由已知得 2 2 a 1 b 1 AB AC A B C 三点共线 AB AC 2 b 1 2 a 1 0 即 a b 2 2 2 AC AB a 1 b 1 2 2 2 Error 解得Error 点 C 的坐标为 5 3 对应学生用书 P68 课堂练通考点 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 E 为 DC 边的中点 且 a b 则AB AD BE A b a B b a 1 2 1 2 C a b D a b 1 2 1 2 解析 选 A a b a b a BE BA AD DE 1 2 1 2 2 已知向量 a 2 3 b 1 2 若 ma nb a 2b 则 等于 m n A 2 B 2 C D 1 2 1 2 解析 选 C 由题意得 ma nb 2m n 3m 2n a 2b 4 1 由于 ma nb a 2b 可得 2m n 4 3m 2n 0 可得 故选 C m n 1 2 3 2013 大连沙河口模拟 非零不共线向量 且 2 x y 若OA OB OP OA OB R 则点 Q x y 的轨迹方程是 PA AB A x y 2 0 B 2x y 1 0 C x 2y 2 0 D 2x y 2 0 解析 选 A 得 即 1 PA AB OA OP OB OA OP OA 又 2 x y Error 消去 得 x y 2 故选 A OB OP OA OB 4 已知点 A 2 1 B 0 2 C 2 1 O 0 0 给出下面的结论 直线 OC 与直线 BA 平行 AB BC CA OA OC OB AC 2 OB OA 其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 C 由题意得 kOC kBA OC BA 正确 1 2 1 2 2 1 0 2 1 2 错误 AB BC AC 0 2 正确 OA OC OB 2 4 0 4 0 正确 OB OA AC 5 2014 朝阳一模 在 ABC 中 M 为边 BC 上任意一点 N 为 AM 中点 AN 则 的值为 AB AC A B 1 2 1 3 C D 1 1 4 解析 选 A M 为边 BC 上任意一点 可设 x y x y 1 AM AB AC N 为 AM 中点 x y AN 1 2AM 1 2 AB 1 2 AC AB AC x y 1 2 1 2 6 2013 保定调研 已知两点 A 1 0 B 1 1 O 为坐标原点 点 C 在第二象限 且 AOC 135 设 R 则 的值为 OC OA OB 解析 由 AOC 135 知 点 C 在射线 y x x 0 上 设点 C 的坐标为 a a a0 若 a 2b 2a b 8 1 2x 则 x 的值为 A 4 B 8 C 0 D 2 解析 选 A a 2b 2a b 16 x x 1 8 2x 1 2x 2 由已知 a 2b 2a b 显然 2a b 0 故有 16 x x 1 R 8 2x 1 2x 2 Error x 4 x 0 4 若 是一组基底 向量 x y x y R 则称 x y 为向量 在基底 创新题 下的坐标 现已知向量 a 在基底 p 1 1 q 2 1 下的坐标为 2 2 则 a 在另 一组基底 m 1 1 n 1 2 下的坐标为 A 2 0 B 0 2 C 2 0 D 0 2 解析 选 D a 在基底 p q 下的坐标为 2 2 即 a 2p 2q 2 4 令 a xm yn x y x 2y Error 即Error a 在基底 m n 下的坐标为 0 2 5 如图 在平行四边形 ABCD 中 O 是对角线 AC BD 的交点 N 是线段 OD 的中点 AN 的延长线与 CD 交于点 E 则下列说法 错误的是 A AC AB AD B BD AD AB C AO 1 2AB 1 2AD D AE 5 3AB AD 解析 选 D 由向量减法的三角形法则知 排除 B 由向量加法BD AD AB 的平行四边形法则知 排除 A C AC AB AD AO 1 2AC 1 2AB 1 2AD 6 在 ABC 中 点 P 在 BC 上 且 2 点 Q 是 AC 的中点 若 4 3 BP PC PA 1 5 则 PQ BC 解析 3 2 AQ PQ PA 2 6 4 AC AQ 2 7 PC PA AC 3 6 21 BC PC 答案 6 21 7 2014 九江模拟 P a a 1 1 m 1 2 m R Q b b 1 2 n 2 3 n R 是两个向量集合 则 P Q 等于 解析 P 中 a 1 m 1 2m Q 中 b 1 2n 2 3n 则Error 得Error 此时 a b 13 23 答案 13 23 8 已知向量 1 3 2 1 k 1 k 2 若 A B C 三OA OB OC 点能构成三角形 则实数 k 应满足的条件是 解析 若点 A B C 能构成三角形 则向量 不共线 AB AC 2 1 1 3 1 2 AB OB OA k 1 k 2 1 3 k k 1 AC OC OA 1 k 1 2k 0 解得 k 1 答案 k 1 9 已知 a 1 0 b 2 1 求 1 a 3b 2 当 k 为何实数时 ka b 与 a 3b 平行 平行时它们是同向还是反向 解 1 因为 a 1 0 b 2 1 所以 a 3b 7 3 故 a 3b 72 3258 2 ka b k 2 1 a 3b 7 3 因为 ka b 与 a 3b 平行 所以 3 k 2 7 0 即 k 1 3 此时 ka b k 2 1 7 3 1 a 3b 7 3 则 a 3b 3 ka b 即此时向量 a 3b 与 ka b 方向相反 10 已知点 O 为坐标原点 A 0 2 B 4 6 t1 t2 OM OA AB 1 求点 M 在第二或第三象限的充要条件 2 求证 当 t1 1 时 不论 t2为何实数 A B M 三点都共线 解 1 t1 t2 t1 0 2 t2 4 4 4t2 2t1 4t2 OM OA AB 当点 M 在第二或第三象限时 有Error 故所求的充要条件为 t2 0 且 t1 2t2 0 2 证明 当 t1 1 时 由 1 知 4t2 4t2 2 OM 4 4 AB OB OA 4t2 4t2 t2 4 4 t2 AM OM OA AB A B M 三点共线 第 组 重点选做题 1 在 ABC 中 点 D 在线段 BC 的延长线上 且 3 点 O 在线段 CD 上 与BC CD 点 C D 不重合 若 x 1 x 则 x 的取值范围是 AO AB AC A B 0 1 2 0 1 3 C D 1 2 0 1 3 0 解析 选 D 依题意 设 其中 1 0 反之不成立 因为夹角为 0 时不成立 2 两个向量 a 与 b 的夹角为钝角 则有 a b 0 反之不成立 因为夹角为 时不成立 2 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技 巧 练一练 1 已知向量 a b 均为非零向量 a 2b a b 2a b 则 a b 的夹角为 A B 6 3 C D 2 3 5 6 解析 选 B a 2b a a 2 2a b 0 b 2a b b 2 2a b 0 所以 a 2 b 2 即 a b 故 a 2 2a b a 2 2 a 2cos a b 0 可得 cos a b 又因为 1 2 0 a b 所以 a b 3 2 2013 福建高考 在四边形 ABCD 中 1 2 4 2 则该四边形的面AC BD 积为 A B 2 55 C 5 D 10 解析 选 C 依题意得 1 4 2 2 0 AC BD 四边形 ABCD 的面积为 5 AC BD 1 2 AC BD 1 2520 对应学生用书 P69 考点一 平面向量的数量积的运算 1 2014 沧州模拟 已知平面向量 a x1 y1 b x2 y2 若 a 2 b 3 a b 6 则的值为 x1 y1 x2 y2 A B 2 3 2 3 C D 5 6 5 6 解析 选 B 由已知得 向量 a x1 y1 与 b x2 y2 反向 3a 2b 0 即 3 x1 y1 2 x2 y2 0 0 得 x1 x2 y1 y2 故 2 3 2 3 x1 y1 x2 y2 2 3 2 2014 温州适应性测试 在 ABC 中 若 A 120 1 则 的最AB AC BC 小值是 A B 2 2 C D 6 6 解析 选 C 1 cos 120 1 即AB AC AB AC 2 2 2 2 2 2 2 2AB AC BC AC AB AC AB AC AB AB AC 6 AB AC min BC 6 3 2013 南昌模拟 已知向量 e1 e2 则 e1 e2 cos 4 sin 6 2sin 4 4cos 3 解析 由向量数量积公式得 e1 e2 cos 2sin sin 4cos 2 2 4 4 6 3 2 22 1 2 答案 2 4 2013 全国卷 已知正方形 ABCD 的边长为 2 E 为 CD 的中点 则 AE BD 解析 因为 所AE AD 1 2AB BD AD AB 以 2 2 2 AE BD AD 1 2AB AD AB AD 1 2AD AB 1 2AB 答案 2 类题通法 向量数量积的两种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即 a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1x2 y1y2 运用两向量的数量积可解决长度 夹角 垂直等问题 解题时应灵活选择相应公式求 解 考点二 平面向量数量积的性质 平面向量数量积的性质是高考的重点 归纳起来常见的命题角度有 1 平面向量的模 2 平面向量的夹角 3 平面向量的垂直 角度一 平面向量的模 1 2013 天津高考 在平行四边形 ABCD 中 AD 1 BAD 60 E 为 CD 的中 点 若 1 则 AB 的长为 AC BE 解析 由已知得 AC AD AB BE AD 1 2AB 2 2 1 2 1AC BE AD 1 2AB AD AB AD 1 2AB 1 2AB AD 1 2 AB cos 60 2 1 1 2 AB AD 1 2 AB AB 1 2 答案 1 2 角度二 平面向量的夹角 2 1 已知平面向量 a b a 1 b 且 2a b 则向量 a 与 a b 的夹角 37 为 A B 2 3 C D 6 解析 选 B 2a b 2 4 a 2 4a b b 2 7 a 1 b 4 4a b 3 7 a b 0 a b 如 3 图所示 a 与 a b 的夹角为 COA tan COA COA 即 a 与 a b 的夹角为 CA OA b a 3 3 3 2 2014 云南第一次检测 若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于 a 2 b 3 3 则 2a b 与 a 2b 的夹角的余弦值等于 A B 1 26 1 26 C D 1 12 1 12 解析 选 B 记向量 2a b 与 a 2b 的夹角为 又 2a b 2 4 22 32 4 2 3 cos 13 a 2b 3 2 22 4 32 4 2 3 cos 52 2a b a 2b 2a2 2b2 3a b 8 18 9 1 故 3 cos 即向量 2a b 与 a 2b 的夹角的余弦值是 因此选 B 2a b a 2b 2a b a 2b 1 26 1 26 角度三 平面向量的垂直 3 1 2013 荆州高中毕业班质量检查 已知向量 a 与 b 的夹角是 且 2 3 a 1 b 4 若 2a b a 则实数 解析 若 a 2a b 则 a 2a b 0 即 2 a 2 a b cos 0 2 1 4 2 3 0 1 1 2 答案 1 2 在直角三角形 ABC 中 已知 2 3 1 k 则 k 的值为 AB AC 解析 1 当 A 90 时 0 AB AC AB AC 2 1 3k 0 解得 k 2 3 2 当 B 90 时 AB BC 又 1 k 2 3 1 k 3 BC AC AB 2 1 3 k 3 0 AB BC 解得 k 11 3 3 当 C 90 时 1 1 k k 3 0 AC BC 即 k2 3k 1 0 k 3 13 2 答案 或或 2 3 11 3 3 13 2 类题通法 1 求两非零向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于 0 说明两向量的夹角 为直角 数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 2 利用数量积求解长度问题的处理方法 1 a2 a a a 2或 a a a 2 a b a b 2a2 2a b b2 3 若 a x y 则 a x2 y2 考点三 平面向量与三角函数的综合 典例 2013 江苏高考 已知向量 a cos sin b cos sin 0 1 若 a b 求证 a b 2 2 设 c 0 1 若 a b c 求 的值 解 1 证明 由题意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因为 a2 b2 a 2 b 2 1 所以 2 2a b 2 即 a b 0 故 a b 2 因为 a b cos cos sin sin 0 1 所以Error 由此得 cos cos 由 0 得 0 又 0 所以 1 2 5 6 6 类题通法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 运用向量共线或垂直或等式成立 等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解 题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 针对训练 已知向量 a sin cos 2sin b 1 2 1 若 a b 求 tan 的值 2 若 a b 0 求 的值 解 1 因为 a b 所以 2sin cos 2sin 于是 4sin cos 故 tan 1 4 2 由 a b 知 sin2 cos 2sin 2 5 所以 1 2sin 2 4sin2 5 从而 2sin 2 2 1 cos 2 4 即 sin 2 cos 2 1 于是 sin 2 4 2 2 又由 0 知 2 0 q 0 且满足 p q 6 时 求 ABC 面积的最大值 AB AC 解 1 m n 3cos2A sin2A 0 3cos2A 1 cos2A 0 cos2A 1 4 又 ABC 为锐角三角形 cos A 1 2 A 3 2 由 1 可得 m 3 4 3 2 n 1 3 2 p q AB 21 4 AC 7 2 S ABC sin A pq 1 2 AB AC 21 32 又 p q 6 且 p 0 q 0 pq p q 2 3 pq p q 9 ABC 面积的最大值为 9 21 32 189 32 第 组 重点选做题 1 2013 湖南高考 已知 a b 是单位向量 a b 0 若向量 c 满足 c a b 1 则 c 的 最大值为 A 1 B 22 C 1 D 2 22 解析 选 C 建立平面直角坐标系 令向量 a b 的坐标 a 1 0 b 0 1 令向量 c x y 则有 1 c 的最大值为圆 x 1 2 y 1 2 1 上的动点到原 x 1 2 y 1 2 点的距离的最大值 即圆心 1 1 到原点的距离加圆的半径 即 1 2 2 2013 天津一中月考 在四边形 ABCD 中 1 1 AB DC 1 BA 1 BC 3 则四边形 ABCD 的面积为 BD 解析 由 1 1 可知四边形 ABCD 为平行四边形 且AB DC 因为 所以可知平行四边形AB DC 2 1 BA 1 BC 3 BD ABCD 的角平分线 BD 平分 ABC 四边形 ABCD 为菱形 其边长为 2 且对角线 BD 长等于边长的倍 即 BD 则 CE2 2 2 即 CE 33262 6 2 1 2 所以三角形 BCD 的面积为 所以四 边形 ABCD 的面积为 2 2 2 1 26 2 2 3 2 3 23 答案 3 第四节数系的扩充与复数的引入 对应学生用书 P71 1 复数的有关概念 1 复数的概念 形如 a bi a b R 的数叫复数 其中 a b 分别是它的实部和虚部 若 b 0 则 a bi 为实数 若 b 0 则 a bi 为虚数 若 a 0 且 b 0 则 a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a c 且 b d a b c d R 3 共轭复数 a bi 与 c di 共轭 a c b d a b c d R 4 复数的模 向量的模 r 叫做复数 z a bi a b R 的模 记作 z 或 a bi 即 z a bi OZ a2 b2 2 复数的几何意义 1 复数 z a bi复平面内的点 Z a b a b R 一 一一 一对应 2 复数 z a bi a b R 平面向量 一 一一 一对应 OZ 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di a c b d i 减法 z1 z2 a bi c di a c b d i 乘法 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 除法 z1 z2 a bi c di a bi c di c di c di i c di 0 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何 z1 z2 z3 C 有 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 1 判定复数是实数 仅注重虚部等于 0 是不够的 还需考虑它的实部是否有意义 2 利用复数相等 a bi c di 列方程时 注意 a b c d R 的前提条件 3 z2 0 在复数范围内有可能成立 例如 当 z 3i 时 z2 9 0 试一试 1 2014 惠州调研 i 是虚数单位 若 z i 1 i 则 z 等于 A 1 B 3 2 C D 2 2 1 2 解析 选 C 由题意知 z z 故选 C i i 1 i 1 i i 1 1 i 1 i 2 2 2 2 2013 天津高考 已知 a b R i 是虚数单位 若 a i 1 i bi 则 a bi 解析 因为 a i 1 i a 1 a 1 i bi a b R 所以Error 解得Error 所以 a bi 1 2i 答案 1 2i 1 把握复数的运算技巧 1 设 z a bi a b R 利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题 的常用方法 2 在复数代数形式的四则运算中 加 减 乘运算按多项式运算法则进行 除法则需 分母实数化 2 掌握复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时 记住以下结论 可提高计算速度 1 1 i 2 2i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 2 b ai i a bi 3 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 n N 练一练 2013 安徽联考 已知 i 是虚数单位 则 2 013在复平面内对应的点位于 1 i 2 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 选 C 2 i 1 i 2 2i 2 2 013 2 012 i1 006 i2 i 其对应点位于第三象限 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 2 2 2 2