数形结合化难为易

1 数形结合 化难为易数形结合 化难为易 浅谈 数形结合 思想在数学教学中的应用 摘要摘要 数形结合是一种重要的数学思想 在小学数学应用题中 它既能帮助学生分析问题 解决 问题 又能培养学生的形象思维能力 本文着重探讨了数形结合思想在小学数学应用题中的运用 以及对运用过程中存在的问题进行反思 关键词关键词 数形结合思想 小学数学 运用 反思 数学中最古老 最原始 最基本的概念就是 数 自然数 和 形 简单几何 图形 的概念 数和形是数学发展过程中的两大基石 所有的数学概念都是在数和形 的基础上产生的 在数学发展的过程中 数 和 形 常常结合在一起 它们相互联 系 相互渗透 并在一定条件下相互转化 数形结合是一种重要的数学思想 小学儿童思维的基本特点是从以形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思 维为主要形式 但这种抽象逻辑思维在很大程度上 仍然是直接与感性经验相联系的 仍然具有很大成分的具体形象性 1小学生抽象思维还不是很发达 在学习抽象数学 知识的同时必须要有形象内容的支持 而且形象化的内容比较容易引起小学生的学习 兴趣 激发小学生学习数学的积极性 在小学生的认知结构中 数和形是两个相互联 系 相互依赖 相互促进的部分 任何数形分开的数学教学都不符合小学生认识数学 的心理特点 在应用题中运用数形结合思想把文字转化为图画 使题目变得更加直观 形象 具体 这样可以帮助学生理清题意 从而解决问题 一 数形结合思想的教育价值一 数形结合思想的教育价值 1 数形结合是激发学生的求知欲 引起学生学习兴趣的有效手段 数具有概括和抽象的特征 形具有具体化和形象化的特点 数形结合是直观与 抽象 感知与思维的结合 2在小学数学应用题中 大量的文字显得非常枯燥 数形 结合能为学生提供恰当的形象材料 可以将抽象的数量关系具体化 把无形的解题思 路形象化 不仅有利于学生顺利地解决问题 更有利于学生学习兴趣的培养 智力的 开发 能力的增强 使数学教学事半功倍 2 数形结合是培养学生的思维能力 帮助学生解难释疑的良好方法 1朱智贤 儿童心理学 人民教育出版社 1979 年修订版 P 323 2汪绳祖 小学数学教育学 高等教育出版社 2002 p 206 2 小学生的数学思维活动以形象思维为先导 在进行逻辑思维的时候 仍然与形象 思维密切联系 因此 在小学阶段 我们应重视培养学生的形象思维能力 数形结合 能使抽象枯燥的应用题变得直观化 形象化 具体化 逐步培养学生的形象思维能力 使用数形结合的方法 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 这样很多应用题便迎刃 而解 且解法简捷 3 数形结合是培养学生数学能力的重要途径 在小学数学教学中 我们应该重视培养学生的数学能力 数形结合是一种重要的 数学方法 很多题目我们都可以用它来解 所以在用一种方法解决一道习题后我们不 妨想一想能不能用数形结合的方法 也许这种方法更简单 更容易理解 新课标提倡 算法多样化 在数学学习中 学生不应该满足于一种解法 在探索不同解法的过程中 可以培养学生的求异思维能力 数形结合是把几何与代数结合起来考虑问题 充分利用各自的优点 数形互化 共同解决问题 它需要学生将所学的知识结合起来 并进行巧妙的运用 在运用数形 结合解决问题的过程中可以培养学生的知识迁移能力 4 数形结合可以使学生体会数学美 数形结合需要把简单的几何图形与数量关系结合起来 用数形结合方法解题时 我们需要画一些辅助图 在画图的过程中学生可以体会数学直观 形象的美 应用题 中可以用数形结合的方法把复杂的数量关系抽象为直观的几何图形 再用数量关系来 表达图形 学生在数和形的不断转化中可以体会数学的艺术美 二 数形结合思想在小学数学应用题中的运用二 数形结合思想在小学数学应用题中的运用 数形结合是一种十分重要的 行之有效的方法 在小学数学应用题中 主要是 以形助数 把抽象的数量关系转化为适当的几何图形 从图形中直观地发现数量之 间存在的内在联系 从而解决问题 法国数学家笛卡儿说过 没有任何东西比几何 图形更容易印入脑际了 因此用这种方法来表达事物是十分有益的 1 在不同的问题 中 我们可将数量关系转化为不同的图形 1 线段图解法 借助线段图解答应用题是一种非常普遍的方法 小学数学应用题中 许多题目都 需要通过画线段图来分析数量关系 可以说线段图是一种最常见的画图策略 1胡重光 小学数学解题训练艺术 中国林业出版社 2000 p 74 3 例例 小明和小芳同时从家里出发走向学校 经过 4 分钟两人在校门口相遇 他们两 家相距多少米 这道题只要画一下线段图就很容易理解 如下图 从图中学生能够很清楚地看到题目所要表达的意思 在行程问题应用题中 线段 图能清晰地把它的路程 速度 时间 行驶方向等表示出来 所以 在这类题目中画 线段图的优势很明显 2 矩形图解法 在小学数学应用题中 经常会遇到 一个数 量 另外两个数 量 的乘积 这类的数量关系 如 矩形的面积 长 宽 对于这类问题 我们可以用矩形的长 宽分别表示相乘的两个数量 矩形的面积表示它们乘积所对应的数量 如果本身就是 求矩形面积或矩形的长 宽的题目 那么毫无疑问我们当然可以用矩形图来解 但是 有些题目数量关系相当复杂 单从文字上看就感觉无从下手 若根据题意画出矩形图 来 借助于矩形图就显得非常直观 一目了然 例例 学校买来一批练习本 分给小学生 如果每人分5本练习本 那么还剩余32本 如果每人分8本练习本 那么还有5个小学生分不到练习本 这批练习本共有多少本 看到这道题 感觉似乎缺条件 学生人数都不知道 没法求练习本数 按照正常 的思维 我们会设学生人数为x 练习本数为y 再根据题意列出两个方程 但由于小学 阶段并没有学过二元一次方程组 显然这种方法是行不通的 如果想到 学生人数 每人分得的练习本数 总练习本数 这一点 根据题意 抓住两个已知条件 明确学 生人数与每人分得练习本数的两层关系 画出如下的矩形图 4 在矩形图中 用宽表示学生人数 长表示每人分得的练习本数 从图中可以看出 当每人增加 8 5 3 本 练习本时 面积增加 32 40 72 求宽 即人数 可用 72 3 24 人 从而可以求出练习本数 3 关系图解法 在一些应用题中 数量间的关系烦琐 复杂 一时之间难以看出 但关系图解法 能使数量关系明确化 简单化 例例 一次晚会共有三对夫妇参加 会上大家握手 夫妻间不握 会后其中的王先 生问其他人各握了几次手 五个人的回答各不相同 问 王先生的夫人握了几次手 参加晚会的人最多握手 4 次 因为除王先生外 其他的人握手次数各不相同 所以 其他五人的握手次数分别是 4 3 2 1 0 次 画 6 个点分别代表三对夫妇 如图 字母的下标表示握手的次数 哪两个人握了手就在代表两个人的两点间画一条线段 例如 R4 握了 4 次手 就将点 R4 与除 R0 以外的四点之间连线段 其余类推 由图可以 看出 R4 R0 为一对 所以王先生与 R2 为夫妇 从而知道王先生的夫人握了两次手 借助关系图 让题目中的数量关系直观地显露出来 既形象又美观 关系图在许 多应用题中都能用到 学生做题时 可以把数量间的关系简单地画一下 帮助理解题 意 4 集合图解法 如果应用题中涉及到交叉 重叠类的问题 我们都可以借助集合图来分析 集合 图不仅直观形象 还能把题中纷繁复杂的数量关系不遗漏 不重复的表露出来 例例 育才小学四年级举办围棋 舞蹈 书法三个兴趣小组 参加围棋小组的有 35 人 参加舞蹈小组的有 28 人 参加书法小组的有 23 人 其中同时参加围棋 舞蹈的 有 12 人 同时参加舞蹈 书法的有 7 人 同时参加围棋 书法的有 9 人 三个小组都 参加的有 2 人 四年级共有多少人参加兴趣小组 此题牵涉到三个量两两交叉的情况 关系比较复杂 光用代数方法计算很麻烦 5 而且容易出错 若我们用三个圈来分别表示围棋 舞蹈 书法三个兴趣小组的人数 每两个圈的公共部分表示同时参加某两个兴趣小组的人数 三个圈的公共部分表示同 时参加三个小组的人数 如图 1 2 3 图 7 显然 首先应该先从三个小组都参加的人数填起 在三个圈的公共部分填上 2 图 1 然后再填两个小组都参加的人数 围棋 舞蹈两圈的公共部分填 10 2 12 舞蹈 书法两圈的公共部分填 5 2 7 围棋 书法两圈的公共部分填 7 2 9 图 2 最后填各小组没有交叉的部分 从各小组的人数中减去公共部分 围棋圈内 填 35 10 2 7 16 舞蹈圈内填 28 10 2 5 11 书法圈内填 23 5 2 7 9 图 3 从上述例子中可以看出 借助于图可以使题意直观 形象地反映出来 并且非常 准确顺利地求出所要解答的问题 在解决这类问题时 画图 的优势非常明显 数 形结合 化繁为简 图形具有直观性 简洁性 多样性及艺术性等特点 其中直观性是它最大的优点 由于小学生的思维活动中形象思维占主导地位 所以图形可以帮助小学生分析和理解 应用题 从而解答应用题 三 在小学数学应用题中运用数形结合思想存在的问题三 在小学数学应用题中运用数形结合思想存在的问题 小学教师在渗透数形结合思想时 存在着不少问题 有些教师为了让学生掌握这 种 画图 的策略 把图直接 塞 给学生 根本不管学生到底需不需要 这样容易 使人产生一种 为了画图而画图 的感觉 而不是真正意义上的通过画图来解答应用 题 教学案例教学案例 梅山小学有一块长方形花圃 长8米 在修建校园时 花圃的长增加 了3米 这样花圃的面积就增加了18平方米 原来花圃的面积是多少平方米 6 教师先出示一个长方形 师 怎样使这个长方形的面积变大呢 生 增加长和宽的长度 教师出示下面三幅图 让学生说说长方形的面积是怎样变化的 长增加 宽增加 长和宽都增加 师 这三幅图中分别是什么变了 什么没变 要求变化后的长方形面积需要知道 什么 生 要知道变化后的长方形面积的长和宽 教师接着出示例题 让学生读题 找出条件和问题 师 为了看清花圃面积的变化情况 求出原来花圃面积 我们可以采取新的解题 策略 画图 师生画出示意图 并与第一幅图进行比较 理解其中的数量关系 在这个案例中 教师直接出示三幅图 围绕这三幅图进行讨论 而没有从例题出 发 学生没有看到例题 为解决问题而产生 画图 的心理 图是教师给学生的 画图 的策略也是教师说要用的 在这个过程中 学生根本没有意识到 画图 在 这类题中的优势 纯粹是 为了画图而画图 实际上学生根本没有掌握这种策略 没有真正意识到数形结合的好处 2 部分小学教师对数形结合思想的认识不够 数形结合思想是一种非常重要的数学思想 利用数形结合来解答某些应用题是很 好的方法 但并不是每题都要用数形结合的方法来解答的 有些教师过分强调数形结 合的重要性 只向学生展示它的优越性 使学生有一种数形结合是最优方法的想法 因而渐渐地学生在解题时依赖于数形结合的方法 把通过数形结合法得到的结论看作 是无可置疑的 在小学数学应用题中 有些题目相当简单 一眼就能看出来 笔者认 为像这样的题目如果还去 画图 反而显得很烦琐 多此一举 例如 小明买铅笔4 支 每支0 5元 橡皮2块 每块0 8元 一共用了多少元 这种题目数量关系比较清 晰 画图 反而会加重解题的负担 效率不高 浪费时间 3 数形结合思想在素质教育中没有得到足够的重视 7 新课标提倡 在做中学 学习内容要与生活紧密联系 其实现实生活中的 许多问题 比如 五年级开展足球比赛 共有7个班 每两个班之间比赛一场 共需要 比赛多少场 像这类问题本身就是一道很好的数学题 完全可以用笔者上述提到的关 系图来解 但是在现实的小学校园内 教师很少会主动的用数形结合的方法来解决现 实生活中的数学问题 数形结合是 数 与 形 的结合 要求更高 但理解起来非常简单 在小学阶 段 我们应该有意识地渗透数形结合的思想 但绝对不能盲目的崇尚这种思想 数形 结合的方法只能是正常教学的补充 不可取代正常的教学 这种方法既要让学生学会 运用 在解题中充分发挥数形结合的作用 又不能够 逢题必用 使 画图 成为 负担 在解答小学数学应用题的过程中 用不用数形结合方法应当视具体情况而定 总之 数形结合思想在小学数学教学中是非常重要的 它不但能帮助学生分析解 决问题 还能培养学生的形象思维能力 它能使学生体会到数学的艺术美 消除 数 学是枯燥的 是抽象的 的想法 使学生产生对数学的学习兴趣 从而喜欢学数学 主动学数学 参考文献参考文献 1 汪绳祖 小学数学教育学 高等教育出版社 2002 年版 2 徐锦铭 小学数学教学实践与研究 上海教育出版社 2002 年版 3 郑俊选 小学数学教学改革实践与研究 人民教育出版社 2003 年版 4 魏刚 利用图形 优化题解 教育实践与研究 2002 7 5 李吉原 小学数学应用题的三步教学法 甘肃教育 数学教学 2006 8 B 6 张建军 小学数学教材教法 郑州大学出版社 2004 年版 7 王鸿钧 孙宏安 中国古代数学思想方法 江苏教育出版社 1988 年版 8 李文林 数学史概论 高等教育出版社 2002 年版 9 胡