类型1-二次函数与相似三角形的存在性问题

类型类型 1 1 二次函数与相似三角形的存在性问题二次函数与相似三角形的存在性问题 1 1 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过 A 1 0 B 4 0 C 0 2 三点 1 求这条抛物线的解析式 2 P 为线段 BC 上的一个动点 过 P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线 交于点 E 设 P 点横坐标为 m PE 长度为 y 请写出 y 与 m 的函数关 系式 并求出 PE 的最大值 3 D 为抛物线上一动点 是否存在点 D 使以 A B D 为顶点的 三角形与 COB 相似 若存在 试求出点 D 的坐标 若不存在 请 说明理由 类型类型 1 1 二次函数与相似三角形的存在性问题二次函数与相似三角形的存在性问题 1 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 1 2 3 2 设 B C 所在直线的解析式为 y kx b 把 B 4 0 C 0 2 代入 解得 k b 2 2 1 BC 所在直线的解析式为 y x 2 2 1 设 P 点坐标为 m m 2 则 E m m2 m 2 2 1 2 1 2 3 PE yE yp m2 m 2 m 2 m 2 2 2 即 2 1 2 3 2 1 2 1 y m 2 2 2 2 1 当 m 2 时 y 取最大值 2 3 存在 当点 D 位于 C 点时 AOC COB OD OA OB OD 2 1 AOD COB ADO CBO 又 CBO BCO 90 ADO BCO 90 COB ADB D 点坐标为 0 2 在对称轴右侧作 C 点关于对称轴对称的 D 易证 ACB BD A 此时有 COB BD A D 坐标为 3 2 故存在 D 3 2 或 0 2 使以 A B D 为顶点的三角形与 COB 相 似 类型类型 2 2 二次函数与平行四边形的存在性问题二次函数与平行四边形的存在性问题 如图 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 A 点在 B 点 左侧 直线 l 与抛物线交于 A C 两点 其中 C 点的横坐标为 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 在抛物线的对称轴上找到点 P 使得 PBC 的周长最小 并 求出点 P 的坐标 3 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满 足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 类型类型 2 2 二次函数与平行四边形的存在性问题二次函数与平行四边形的存在性问题 1 当 y 0 即 x2 2x 3 0 时 x1 1 x2 3 可知 A 1 0 B 3 0 C 点横坐标为 2 C 点纵坐标为 y 22 2 2 3 3 C 点坐标为 2 3 2 设 A C 所在直线解析式为 y kx b 由 A 1 0 C 2 3 求得 k 1 b 1 AC 所在直线解析式为 y x 1 抛物线对称轴为 x 1 B 点关于对称轴对称的点为 A 可知当 P 为 对称轴与直线 l 的交点时 PBC 的周长最小 联立方程Error 解得 P 1 2 3 F1 4 0 F2 4 0 F3 1 0 F4 3 0 77 类型类型 3 3 二次函数与直角三角形的存在性问题二次函数与直角三角形的存在性问题 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于点 B 1 若直线 y mx n 经过 B C 两点 求线段 BC 所在直线的解析式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M 使点 M 到点 A 的距离与 到点 C 的距离之和最小 求出此点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点 求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 类型类型 3 3 二次函数与直角三角形的存在性问题二次函数与直角三角形的存在性问题 1 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 直线的解析式为 y x 3 2 设直线 BC 与对称轴 x 1 的交点为 M 则此时 MA MC 的值最 小 把 x 1 代入 y x 3 得 y 2 M 1 2 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为 1 2 3 设 P 1 t 又 B 3 0 C 0 3 BC2 18 PB2 1 3 2 t2 PC2 1 2 t 3 2 t2 6t 10 若点 B 为直角顶点 则 BC2 PB2 PC2 即 18 4 t2 t2 6t 10 解得 t 2 若点 C 为直角顶点 则 BC2 PC2 PB2 即 18 t2 6t 10 4 t2 解得 t 4 若点 P 为直角顶点 则 PB2 PC2 BC2 即 4 t2 t2 6t 10 18 解得 t1 t2 2 173 2 173 综上所述 P 点的坐标为 1 2 或 1 4 或 1 或 2 173 1 2 173 类型类型 4 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题二次函数与等腰三角形的存在性问题 1 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 直线 y kx 1 与抛物 线交于 A C 两点 其中 A 1 0 B 3 0 点 C 的纵坐标为 3 1 求 k 值 2 求抛物线的解析式 3 抛物线上是否存在点 P 使得 ACP 是以 AC 为底边的等腰三 角形 如果存在 写出所有满足条件的点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 类型类型 4 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题二次函数与等腰三角形的存在性问题 1 1 把 1 0 代入 y kx 1 得 k 1 0 解得 k 1 2 在 y x 1 中 令 y 3 则 x 1 3 解得 x 2 则 C 的坐标是 2 3 抛物线的解析式是 y x2 2x 3 3 存在 理由如下 A C 的中点是 ACP 是等腰三角形 且以 AC 2 1 2 3 为底边 P 在 AC 的中垂线上 设 AC 的中垂线的解析式 是 y x c 把 代入得 c 解得 2 1 2 3 2 1 2 3 c 2 则解析式是 y x 2 根据题意得 解 32 2 2 xxy xy 得或 2 131 2 133 y x 2 131 2 133 y x 故 P 的坐标是 或 2 133 2 131 2 133 2 131 类型类型 4 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题二次函数与等腰三角形的存在性问题 2 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 交于 x 轴于 A 1 0 B 5 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 2 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为抛物线的顶点 连接 BC CM BM 求 BCM 的面积 2 连接 AC 在 x 轴上是否存在点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 2 1 抛物线的解析式为 y x2 x 2 5 2 5 8 2 过 M 作 ME AB 交 x 轴于点 E 由 1 知 M 2 S BCM S 5 18 梯 OCME S MEB S OCB 5 6 5 28 5 27 3 存在 点 P 的坐标为 P1 1 0 P2 1 0 55 P3 1 0 P4 0 2 3 类型类型 5 5 二次函数与图形面积问题二次函数与图形面积问题 如图所示 抛物线 y ax2 bx a 0 与双曲线 y Error 相交于 点 A B 点 A 的坐标为 2 2 点 B 在第四象限内 过点 B 作直 线 BC x 轴 直线 BC 与抛物线的另一交点为点 C 已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍 记抛物线的顶点为 E 1 求双曲线和抛物线的解析式 2 计算 ABC 与 ABE 的面积 3 在抛物线上是否存在点 D 使 ABD 的面积等 于 ABE 的面积的 8 倍 若存在 请求出点 D 的坐 标 若不存在 请说明理由 类型类型 5 5 二次函数与图形面积问题二次函数与图形面积问题 1 点 A 在双曲线 y 上 点 A 的坐标为 2 2 x k k 4 双曲线解析式为 y 设 B 点横坐标为 m 则 B 点纵 x 4 坐标为 4m 解得 m1 1 m2 1 舍去 m 4 m 4 B 1 4 过 A B 两点坐标可求得抛物线的解析式为 y x2 3x 2 直线 BC 的解析式为 y 4 联立方程Error 可求得 C 点坐标 为 4 4 S ABC 6 5 15 过 A 作 AM BC EN BC 垂足分别为 2 1 M N S四边形 ACBE S ACM S梯形 AMNE S ENB 6 2 6 4 2 1 4 9 2 1 1 4 2 1 2 3 4 9 2 1 8 135 S ABE S四边形 ACBE S ABC 15 8 135 8 15 3 存在 理由如下 直线 AB 与 x 轴交于点 P 1 0 过 E 作 AB 的平行线交 x 轴于点 Q Error 0 设在 AB 下方过抛物线上 点 D 且平行于 AB 的直线交 x 轴于点 G 使得 S ABD 8S ABE 过 O 作 AB DG 的垂线 垂足分别为 H K 则有 QPH QGK 则 HK QH PG QP 即 PG 8 5 8 1 PG 5 G 6 0 直线 DG 的解析式为 y 2x 12 联立Error 解得 D1 3 18 D2 4 4 类型类型 6 6 二次函数与最值问题二次函数与最值问题 如图 对称轴为直线 x 2 的抛物线经过 A 1 0 C 0 5 两点 与 x 轴另一交点为 B 已知 M 0 1 E a 0 F a 1 0 点 P 是第一象限内的抛物线上的动点 1 求抛物线的解析式 2 当 a 1 时 求四边形 MEFP 的面积最大值 并求此时点 P 的 坐标 3 若 PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形 求 a 为何值时 四 边形 PMEF 周长最小 请说明理由 类型类型 6 6 二次函数与最值问题二次函数与最值问题 1 抛物线的解析式为 y x2 4x 5 2 当 a 1 时 E 1 0 F 2 0 设 P 点坐标为 m m2 4m 5 过点 P 作 PQ x 轴 垂足为 Q S四边形 MEFP S梯 PQOM S OME S PFQ m2 4m 6 m m2 4m 5 m 2 2 1 2 1 2 1 m 2 当 m 时 S四边形 MEFP取 4 9 16 153 4 9 最大值 由题意易知最大值在 m 2 时取得 16 153 故当 m 时 即 P S四边形 MEFP取 4 9 4 9 16 153 最大值 16 153 3 若 PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形 则点 P 的纵坐标