第3章《导数及其应用-3.1.2 瞬时变化率——导数》导学案

第第3章章 导数及其应用导数及其应用 3 1 2 导学案导学案 2 教学过程教学过程 一 问题情境 在物理学中 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 它反映了物体在某段时 间内运动的快慢程度 那么 如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢 先看实例 跳水运动员在从10m跳台腾空到入水的过程中 不同时刻的速度是不同的 假设ts后运 动员相对于水面的高度为H t 4 9t2 6 5t 10 试确定t 2s时运动员的速度 1 二 数学建构 问题1 求出运动员在2s到2 1s内 即t 2 2 1 的平均速度 解 13 59m s 问题2 利用计算器 请分组算出更短的时间内的平均速度 解 t 2 2 01 13 149 t 2 2 001 13 1049 t 2 2 0001 13 1 0049 t 1 9 2 12 61 t 1 99 2 13 051 t 1 999 2 13 0951 问题3 观察所得的数据 你能发现当 t无限逼近于0时 平均速度无限逼近于什么 2 解 13 1 概念生成一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体位移s t 的平均变化率 无限趋近于一个常数 那么这个常数称为物体在t t0时的瞬时速度 也就是位移对于时间 的瞬时变化率 问题4 类比瞬时速度的概念 你能否概括出瞬时加速度的概念 解 一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体速度v t 的平均变化率无限 趋近于一个常数 那么这个常数称为物体在t t0时的瞬时加速度 也就是速度对于时间的 瞬时变化率 3 三 数学运用 例1 教材第74页例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动 假设ts时的速度为v t t2 3 求t t0 时轿车的加速度a 见学生用书P45 处理建议 利用瞬时加速度的定义 先求平均加速度 规范板书 解 在t0到t0 t的时间内 轿车的平均加速度为 2t0 t 当 t 0时 2t0 即a 2t0 所以 当t t0 时轿车的瞬时加速度为2t0 变式 物体运动的速度v 单位 m s 与时间t 单位 s 的关系是v t t2 4t 求t 2时物体的 瞬时加速度 解 在2到2 t的时间内 轿车的平均加速度为 8 t 当 t 0时 8 即a 8 所以 当t 2时轿车的瞬时加速度为8 m s2 例2 一个做直线运动的物体 其位移S 单位 m 与时间t 单位 s 的关系是S 3t t2 见学生用书P46 1 求此物体的初速度 2 求此物体在t 2时的瞬时速度 3 求t 0到t 2时的平均速度 处理建议 初速度是t 0时的瞬时速度 本题需先求出平均速度 然后利用瞬时速度 的定义进行求解 规范板书 解 在t0到t0 t的时间内 轿车的平均速度为 3 2t0 t 当 t 0时 3 2t0 所以 当t t0时轿车的瞬时速度为3 2t0 1 初速度v 0 3 2 t 2时的瞬时速度v 2 1 3 t 0到t 2时的平均速度 2 题后反思 本题应注意瞬时速度与平均速度的区别 变式 一个质点沿直线运动 运动方程为S 10 8t 4t2 其中t的单位为s S的单位是m 1 计算 t t t 内的平均速度v 2 求当t 0 1 2 3时刻的瞬时速度 规范板书 解 1 在t到t t的时间内 质点的平均速度为 8 8t 4 t 2 由 1 知 当 t 0时 8 8t 所以ts时质点的瞬时速度为 8 8t m s t 0时的瞬时速度为8 m s t 1 时的瞬时速度为0 m s t 2 时的瞬时速度为 8 m s t 3 时的瞬时速度为 16 m s 例3 某容器里装有1 L纯酒精 如果以0 1L s的速度往容器里注水 求酒精浓度 在t时刻的变化率 见学生用书P46 处理建议 本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点 为导数的形式化定 义做铺垫 规范板书 解 酒精浓度c随时间t变化的关系式为c t 在t到t t的时间内 酒精的平均浓度为 当 t 0时 所以 t 时刻酒精的瞬时变化率为 题后反思 通过本题的讲解 让学生进一步体会瞬时变化率的本质 更好地理解概 念 变式 设电量Q与时间t的函数关系为Q 2t2 3t 1 其中Q的单位为库仑 t的单位为s 求t 3时的电流强度 处理建议 某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率 规范板书 解 在t到t t的时间内 电量的平均变化率为 2 t 4t 3 当 t 0时 4t 3 所以t 3时的电流强度为15A 例4 一物体的运动方程是S 5t t2 位移S的单位 m 时间t的单位 s 则下述四 个结论中正确的是 填序号 物体在时间段 0 1 内的平均速度是 m s 物体在t 1时的瞬时速度是8 m s 物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是8m 物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是 m 处理建议 本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念 变式 若做直线运动的物体的速度v 单位 m s 与时间t 单位 s 的关系为v t t2 则在前 3 s内的平均加速度是3 m s2 在t 3时的瞬时加速度是6 m s2 提示 前3s内的平均加速度是 3 m s2 在t到t t的时间内 物体的平均加速度是 2t t 当 t 0时 2t 所 以3s时的瞬时加速度为6 m s2 题后反思 易误以为前3 s内的平均加速度是 m s2 四 课堂练习 1 一质点沿直线运动 其运动方程为y 2x2 1 位移y的单位为m 时间x的单位为s 则该质点从x 1到x 2的平均速度为 6 m s 提示 6 m s 2 已知一物体的运动方程是S t3 2t 位移S的单位为m 时间t的单位为s 则瞬时速度 为14 m s的时刻是 2 s 提示 在t到t t的时间内 物体的平均速度为 3t t 3t2 2 当 t 0时 3t2 2 所以 时刻t的瞬时速度为3t2 2 由 题意 3t2 2 14 解得t 2 s 3 某物体的运动方程为S t4 3 位移S的单位为m 时间t的单位为s 则t 5时该物体的 瞬时速度为125 m s 提示 在t到t t