第3章《导数及其应用-3.1.1 平均变化率》导学案

第第3章章 导数及其应用导数及其应用 3 1 1 导学案导学案 教学过程教学过程 一 问题情境 某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下 时 间 3月18 日 4月18 日 4月20 日 日最 高气温 3 5 18 6 33 4 气温陡增 这一句生活用语用数学方法如何刻画 二 数学建构 问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 1 问题2 如何量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 2 解 通过讨论 给出函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 概念理解 1 具体计算函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率可用 应注意分子 分母的匹配 2 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势 从定义看 f x 在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率 巩固概念 问题3 回到问题1中 从数和形两方面对平均变化率进行意义建构 解 从数的角度 3月18日到4月18日的日平均变化率约为0 5 4月18日到4月20日的日平 均变化率为7 25 从形的角度 比较斜率大小 3 三 数学运用 例1 设函数y x2 1 当自变量x由1变到1 1时 求 1 自变量的增量 x 2 函数的增量 y 3 函数的平均变化率 见学生用书P41 规范解答 解 1 x 1 1 1 0 1 2 y f 1 1 f 1 1 12 1 12 1 0 21 3 2 1 题后反思 求平均变化率时关键在于分清 x与 y分别指的是什么 变式 甲 乙两人投入相同的资金经营某商品 甲用5年时间获利10万元 乙用5个月 时间获利2万元 如何比较和评价甲 乙两人的经营成果 处理建议 学生讨论 判断 并且由学生给出理由或举出实例 规范板书 解 甲 乙获利的平均变化率分别为 因为 且甲 乙投入 相同的资金 所以可以认为乙的经营成果较好 例2 教材第69页例4 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在区间 3 1 0 5 上f x 及g x 的平均变化率 见学生用书P42 处理建议 可回顾 必修2 中关于直线斜率的内容 让学生体会 的含义 规范板书 解 函数f x 在 3 1 上的平均变化率为 2 函数f x 在 0 5 上的平均变化率为 2 函数g x 在 3 1 上的平均变化率为 2 函数g x 在 0 5 上的平均变化率为 2 题后反思 一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率就等于斜率k 变式 已知某质点的运动方程为s 5t 3 则在时间 3 3 t 中 相应的平均速度等于 5 图3 例3 如图 路灯距地面8m 一身高1 6m的人沿路灯下方的直路以84m min的速度 从A点走向B点 求人影长度的变化速率 结果以m s为单位 处理建议 先由学生讨论 教师在学生中交流 了解学生的思考过程 侧重于理解 人影长度的变化速率的意义 规范板书 解 84m min 1 4m s 设人的影长为y 行走时间为x 根据相似三角形的性 质 有 得y x 人影长度的变化速率v 题后反思 几何类应用题需先观察图形 结合图形求解 例4 已知函数f x 2x2 1 分别计算函数f x 在区间 1 4 1 2 1 1 5 上的 平均变化率 处理建议 引导学生利用平均变化率的概念解题 规范板书 解 在 1 4 上的平均变化率为 10 在 1 2 上的平均变化率为 6 在 1 1 5 上的平均变化率为 5 变式 已知函数f x 计算函数f x 在区间 1 2 上的平均变化率 规范板书 解 在 1 2 上的平均变化率为 例5 求函数y x3在x0到x0 x之间的平均变化率 处理建议 本题与前面几个例题的区别在于由字母代替具体区间 但是处理问题仍 然只需抓住本质 利用平均变化率的概念解题 规范板书 解 当自变量从x0到x0 x时 函数的平均变化率为 3 3x0 x x2 变式 求函数f x 在区间内的平均变化率 规范板书 解 四 课堂练习 1 国庆黄金周七天期间 本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元 则 该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是 400 万元 天 提示 利用平均变化率的概念 2 函数f x 5x 4在区间 0 1 上的平均变化率是 5 提示 一次函数在区间上的平均变化率即为斜率 3 函数f x x2 1在区间 1 m 上的平均变化率为3 则m的值为 2 提示 由 3 得m 2 4 已知正方形原来的边长为4m 现在边长以2 m s的速度增加 若设正方形的面积为S 单位 m2 时间为t 单位 s 则由时间t到t 1正方形的面积增加了 20 8t m2