工程数学(近世代数).ppt

近世代数 高等工程数学 2 代数结构部分 第4章知识准备第5章群第6章环和域 3 第4章知识准备 二元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律 结合律 消去律分配律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元 4 二元运算的定义及其实例 定义设S为集合 映射f S S S称为S上的二元运算 简称为二元运算 也称S对f封闭 例1 1 N上的加法 乘法 2 Z上 加法 减法 乘法 3 非零实数集R 上的二元运算 乘法 除法 4 设S a1 a2 an ai aj ai 为S上二元运算 5 二元运算的实例 续 5 设Mn R 表示所有n阶 n 2 实矩阵的集合 即 矩阵加法和乘法都是Mn R 上的二元运算 6 幂集P S 上的二元运算 7 SS为S上的所有函数的集合 合成运算 6 二元运算的表示 算符 等符号表示二元运算对二元运算 如果x与y运算得到z 记做x y z 表示二元或一元运算的方法 公式 运算表 7 公式表示例2设R为实数集合 如下定义R上的二元运算 x y R x y x 那么3 4 30 5 3 0 5运算表 表示有穷集上的二元运算 二元运算的表示 续 8 运算表的形式 9 运算表的实例 续 例3Z5 0 1 2 3 4 模5加法 的运算表 10 二元运算的性质 定义设 为S上的二元运算 1 如果对于任意的x y S有x y y x 则称运算在S上满足交换律 2 如果对于任意的x y z S有 x y z x y z 则称运算在S上满足结合律 3 如果对于任意的x y z S 若x y x z 则y z若y x z x 则y z那么称 运算满足消去律 11 消去律 实例 Z Q R关于普通加法和乘法满足消去律 Mn R 关于矩阵加法满足消去律 但是关于矩阵乘法不满足消去律 Zn关于模n加法满足消去律 当n为素数时关于模n乘法满足消去律 当n为合数时关于模n乘法不满足消去律 12 二元运算的性质 续 定义设 和 为S上两个不同的二元运算 如果 x y z S有 x y z x z y z z x y z x z y 则称 运算对 运算满足分配律 13 实例分析 Z Q R分别为整数 有理数 实数集 Mn R 为n阶实矩阵集合 n 2 14 二元运算的特异元素 单位元定义设 为S上的二元运算 如果存在e S 使得对任意x S都有e x x e x 则称e是S中关于 运算的单位元 单位元也叫做幺元 定理若S中关于运算存在单位元 则单位元是唯一的 15 二元运算的特异元素 续 零元设 为S上的二元运算 如果存在 S 使得对任意x S都有 x x 则称 是S中关于 运算的零元 定理若S中关于运算存在零元 则零元是唯一的 16 二元运算的特异元素 续 可逆元素及其逆元令e为S中关于运算 的单位元 对于x S 如果存在y S使得y x x y e 则称y是x的逆元 如果x的逆元存在 则唯一 记为x 1 称x是可逆的 17 实例分析 18 例题分析 解 1 运算可交换 可结合 任取x y Q x y x y 2xy y x 2yx y x 任取x y z Q x y z x y 2xy z 2 x y 2xy z x y z 2xy 2xz 2yz 4xyzx y z x y z 2yz 2x y z 2yz x y z 2xy 2xz 2yz 4xyz 例4设 运算为Q上的二元运算 x y Q x y x y 2xy 1 运算是否满足交换和结合律 说明理由 2 求 运算的单位元 零元和所有可逆元 19 给定x 设x的逆元为y 则有x y 0成立 即x y 2xy 0 x 1 2 因此当x 1 2时 是x的逆元 例题分析 续 2 设 运算的单位元和零元分别为e和 则对于任意x有x e x成立 即x e 2xe x e 0由于 运算可交换 所以0是幺元 对于任意x有x 成立 即x 2x x 2x 0 1 2 20 代数系统定义与实例 定义非空集合S和S上k个一元或二元运算f1 f2 fk组成的系统称为一个代数系统 简称代数 记做V 21 实例 是代数系统 和 分别表示普通加法和乘法 是代数系统 和 分别表示n阶 n 2 实矩阵的加法和乘法 是代数系统 Zn 0 1 n 1 和 分别表示模n的加法和乘法 x y Zn x y x y modn x y xy modn也是代数系统 和 为并和交 为绝对补 22 5 1群的定义与性质5 2子群5 3循环群5 4置换群 第5章群 23 5 1群的定义及性质 群的定义群中的相关概念有限群 无限群与群的阶Abel群群中元素的幂元素的阶群的性质幂运算规则 群方程的解消去律群的运算表的排列 24 群的定义 定义设G是非空集合 为G上的二元运算 如果 1 此运算是封闭的 2 此运算满足结合律 3 存在单位元e G 即对任意x G 有e x x e x 4 对G中的任何元素x都有x 1 G 即x 1 x x x 1 e则称G关于 是群 有时也记作 25 群的实例 是群 不是群 2 是群 而不是群 3 是群 Zn 0 1 n 1 为模n加 26 Klein四元群 设G e a b c G上的运算由下表给出 称为Klein四元群 运算表特征 对称性 运算可交换主对角线元素都是幺元 每个元素是自己的逆元a b c中任两个元素运算都等于第三个元素 27 二 群中的相关概念 若群G是有穷集 则称G是有限群 否则称为无限群 群G的所含元素的个数称为群G的阶有限群G的阶记作 G 若群G中的二元运算是可交换的 则称G为交换群或阿贝尔 Abel 群 28 实例 和是无限群是有限群 也是n阶群Klein四元群G e a b c 是4阶群上述群都是交换群n阶 n 2 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群 29 实例在中有2 3 2 1 3 13 1 1 1 0在中有 2 3 23 2 2 2 6 定义设G是群 x G n Z 则x的n次幂xn定义为 二 群中的相关概念 30 设G是群 x G 使得等式xk e成立的最小正整数k称为x的阶 或周期 记作 x k 称x为k阶元 若不存在这样的正整数k 则称x为无限阶元 在中 2和4是3阶元 3是2阶元 1和5是6阶元 0是1阶元在中 0是1阶元 其它整数的阶都不存在 二 群中的相关概念 31 三 群的性质 幂运算规则 定理1设G为群 则G中的幂运算满足 1 x G x 1 1 x 2 x y G xy 1 y 1x 1 3 x G xnxm xn m n m Z 4 x G xn m xnm n m Z 注 xy n xy xy xy 是n个xy运算 G为交换群 才有 xy n xnyn 32 三 群的性质 群方程存在唯一解 定理2G为群 a b G 方程ax b和ya b在G中有解且仅有惟一解 a 1b是ax b的解 ba 1是ya b的唯一解 33 三 群的性质 消去律 定理3G为群 则G适合消去律 即 a b c G有 1 若ab ac 则b c 2 若ba ca 则b c 34 三 群的性质 运算表排列规则 定理4设G为有限群 则G的运算表中每行每列都是G中元素的一个置换 且不同的行 或列 的置换都不相同 注意 必要条件 用于判断一个运算表不是群 35 5 1群的定义与性质5 2子群5 3循环群5 4置换群 第5章群 36 子群 定义子群的判定定理重要的几类子群 37 子群的定义 定义设G是群 H是G的非空子集 如果H关于G中的运算构成群 则称H是G的子群 记作H G 若H是G的子群 且H G 则称H是G的真子群 记作H G 实例nZ n是自然数 是整数加群的子群 当n 1时 nZ是Z的真子群 对任何群G都存在子群 G和 e 都是G的子群 称为G的平凡子群 38 子群判定定理 判定定理1设G为群 H是G的非空子集 H是G的子群当且仅当 x y H有xy 1 H 判定定理2设G为群 H是G的非空子集 H是G的子群当且仅当 x y H有xy H且x 1 H 39 重要子群 生成子群定义设G为群 a G 令H ak k Z 则H是G的子群 称为由a生成的子群 记作 证首先由a 知道 任取am al 则 am al 1 ama l am l 根据判定定理可知 G 40 实例 整数加群 由2生成的子群是 2k k Z 2Z模6加群中由2生成的子群 0 2 4 Klein四元群G e a b c 的所有生成子群是 e e a e b e c 41 群G的中心C设G为群 令C a a G且 x G有ax xa 则C是G的子群 称为G的中心 证e C C是G的非空子集 任取a b C 证明ab 1与G中所有的元素都可交换 x G 有 ab 1 x ab 1x ab 1 x 1 1 a x 1b 1 a bx 1 1 a xb 1 ax b 1 xa b 1 x ab 1 由判定定理可知C G 重要子群 续 42 5 1群的定义与性质5 2子群5 3循环群5 4置换群 第5章群 43 循环群 定义循环群的分类生成元循环群的子群 44 循环群的定义 定义设G是群 若存在a G使得 G ak k Z 则称G是循环群 记作G 称a为G的生成元 实例整数加群G 模6加群G 45 循环群的分类 设循环群G 根据生成元a的阶可以分成两类 n阶循环群和无限循环群 设G 是循环群 若a是n阶元 则 G a0 e a1 a2 an 1 那么 G n 称G为n阶循环群 若a是无限阶元 则 G a 0 e a 1 a 2 这时称G为无限循环群 46 循环群的生成元 定理设G 是循环群 1 若G是无限循环群 则G只有a和a 1两个生成元 2 若G是n阶循环群 则ar是G的生成元当且仅当r是小于等于n且与n互质的正整数 47 设G e a a11 是12阶循环群 则小于或等于12且与12互素的数是1 5 7 11 由定理可知a a5 a7和a11是G的生成元 2 设G 是模9的整数加群 则小于或等于9且与9互素的数是1 2 4 5 7 8 根据定理 G的生成元是1 2 4 5 7和8 3 设G 3Z 3z z Z G上的运算是普通加法 那么G只有两个生成元 3和 3 生成元的实例 48 循环群的子群 定理设G 是循环群 设G 是循环群 则G的子群仍是循环群 若G 是无限循环群 则G的子群除 e 以外都是无限循环群 3 若G 是n阶循环群 则对n的每个正因子d G恰好含有一个d阶子群 49 1 G 是无限循环群 对于自然数m N 1的m次幂是m m生成的子群是mZ m N 即 0 0Z mz z Z mZ m 0 2 G Z12是12阶循环群 12的正因子是1 2 3 4 6和12 因此G的子群是 1阶子群 0 2阶子群 0 6 3阶子群 0 4 8 4阶子群 0 3 6 9 6阶子群 0 2 4 6 8 10 12阶子群 Z12 子群的实例 50 5 1群的定义与性质5 2子群5 3循环群5 4置换群 第5章群 51 置换群 置换及置换的表示N次对称群 52 n元置换的定义 定义设S 1 2 n S上的双射函数 S S称为S上的n元置换 一般将n元置换 记为 例如S 1 2 3 4 5 则 都是5元置换 53 n元置换的表示 置换符号表示轮换表示对换表示 54 k阶轮换与对换 定义设 是S 1 2 n 上的n元置换 若 i1 i2 i2 i3 ik 1 ik ik i1且保持S中的其他元素不变 则称 为S上的k次轮换 记作 i1i2 ik 若k 2 称 为S上的对换 例如5元置换 分别是5阶和2阶轮换 12345 13 其中 也叫做对换 55 n元置换分解为轮换 设S 1 2 n 对于任何S上的n元置换 一定可以写成若干个轮换的乘积 1 2 t 56 分解实例 例设S 1 2 8 15236 4 78 15236 78 18342 567 注意 在轮换分解式中 1阶轮换可以省略 57 n元置换的乘法与求逆 两个n元置换的乘法就是函数的复合运算n元置换的求逆就是求反函数 例设使用轮换表示是 154 23 1423 152 1423 154 23 354 1 154 1 23 1 451 23 145 23 58 n元置换群及其实例 考虑所有的n元置换构成的集合Sn 1 Sn关于置换的乘法是封闭的 2 置换的乘法满足结合律 3 恒等置换 1 是Sn中的单位元 4 对于任何n元置换 Sn 逆置换 1是 的逆元 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群 称为n次对称群 n元对称群的子群称为n次置换群 例设S 1 2 3 3次对称群 S3 1 12 13 23 123 132 59 S3的运算表 60 S3的子群 S3 1 12 13 23 123 132 A3 1 123 132 1 1 12 1 13 1 23 61 第6章环与域 环的定义与实例特殊的环交换环含幺环无零因子环整环域 62 环的定义 定义设是代数系统 和 是二元运算 如果满足以下条件 1 构成交换群 2 构成半群 封闭 结合律 3 运算关于 运算适合分配律则称是一个环 63 环的实例 1 整数集 有理数集 实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环 分别称为整数环Z 有理数环Q 实数环R和复数环C 2 n n 2 阶实矩阵的集合Mn R 关于矩阵的加法和乘法构成环 称为n阶实矩阵环 3 设Zn 0 1 n 1 和 分别表示模n的加法和乘法 则构成环 称为模n的整数环 64 环中的相关概念 通常称 运算为环中的加法 运算为环中的乘法 环中加法单位元记作0乘法单位元 如果存在 记作1 对任何元素x 称x的加法逆元为负元 记作 x 若x存在乘法逆元的话 则称之为逆元 记作x 1 65 特殊的环 定义设是环 1 若环中乘法 适合交换律