24.1.4 圆周角（教案）

24 1 4 圆周角圆周角 知识与技能 理解圆周角的概念 探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系 并会用圆 周角定理及推论进行有关计算和证明 过程与方法 经历探索圆周角定理的过程 初步体会分类讨论的数学思想 渗透解决不 确定的探索型问题的思想和方法 提高学生的发散思维能力 情感态度 通过积极引导 帮助学生有意识地积累活动经验 获得成功的体验 教学重点 圆周角定理及其推论的探究与应用 教学难点 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用 一 情境导入 初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图 人们可以通过其中的圆弧形 玻璃窗 AB 观看窗内的海洋动物 同学甲站在圆心 O 的位置 同学乙站在正对着 玻璃窗的靠墙的位置 C 他们的视角 AOB 和 ACB 有什么关系 如果同 学丙 丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E 他们的视角 ADB 和 AEB 和 同学乙的视角相同吗 相同 2 ACB 2 AEB 2 ADB AOB 教学说明 教师出示海洋馆图片 引导学生思考 引出课题 学生观察 图形 分析 初步感知角的特征 二 思考探究 获取新知 1 圆周角的定义 探究探究 1 观察下列各图 图 1 中 APB 的顶点 P 在圆心 O 的位置 此时 APB 叫做圆心角 这是我们上节所学的内容 图 2 中 APB 的顶点 P 在 O 上 角的两边都与 O 相交 这样的角叫圆周角 请同学们分析 3 4 5 6 是圆心角还是圆周角 教学说明 设计这样的一个判断角的问题 是再次强调圆周角的定义 让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可 归纳结论 圆周角必须具备两个条件 顶点在圆上 角的两边都与 圆相交 二者缺一不可 2 圆周角定理 探究 2 如图 1 指出 O 中所有的圆心角与圆周角 并指出这些角所对 的是哪一条弧 2 量一量 D C AOB 的度数 看看它们之间有什么样的关系 3 改变动点 C 在圆周上的位置 看看圆周角的度数有没有变化 你发 现其中有规律吗 若有规律 请用语言叙述 解 1 圆心角有 AOB 圆周角有 C D 它们所对的都是AAB 2 C D 1 2 AOB 3 改变动点 C 在圆周上的位置 这些圆周角的度数没有变化 并且圆 周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半 教学说明 教师利用几何画板测量角的大小 移动点 C 让学生观察当 C 点位置发生改变过程中 图中有哪些不变 从而交流总结 找出规律 同时 引导学生观察圆心与圆周角的位置关系 为定理分情况证明作铺垫 为了进一步研究上面发现的结论 如图 在 O 上任取一个圆周角 ACB 将圆对折 使折痕经过圆心 O 和 ACB 的顶点 C 由于点 C 的位置的 取法可能不同 这时折痕可能会 1 在圆周角的一条边上 2 在圆周角的内部 3 在圆周角的外部 已知 在 O 中 所对的圆周角是 ACB 圆心角是 AOB 求证 A AB ACB 1 2 AOB 提示分析 我们可按上面三种图形 三种情况进行证明 如图 1 圆心 O 在 ACB 的边上 OB OC B C 而 BOA B C B C 1 2 AOB 图 2 3 的证明方法与图 1 不同 但可以转化成 1 的基本图形进 行证明 证明过程请学生们讨论完成 得出圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对圆心 角的一半 注意 定理应用的条件是 同圆或等圆中 而且必须是 同弧或等弧 如下图 1 若将定理中的 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 结论就不成立了 因为 一条弦所对的圆周角有两种情况 它们一般不相等 而是互补 如下图 2 教学说明 在定理的证明过程中 要使学生明确 要不要分情况来证明 若要分情况证明 必须要明白按什么标准来分情况 然后针对各种不同的情况 逐个进行证明 在证明过程中 第 1 种情况是特殊情况 是比较容易证明的 经过添加直径这条辅助线将 2 3 种情况转化为第 1 种情况 体现由一 般到特殊的思想方法 对于后面要学生注意的两个问题 是为了加强学生对圆 周角定理的理解 使学生能准确的掌握好圆周角定理 3 圆周角定理的推论 议一议 1 特殊的弧 半圆 它所对的圆周角是多少度呢 2 如果一条弧所对的圆周角是 90 那么这条弧所对的圆心角是多少 呢 结论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直 径 圆周角定理的推论 教学说明 这个推论是圆中很重要的性质 为在圆中确定直角 构成垂 直关系创造了条件 同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据 4 圆内接四边形 定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 这个多边形叫做圆内 接多边形 这个圆叫做这个多边形的外接圆 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 O 是四边形 ABCD 的外接圆 连接 OB OD 由圆周角定理可知 A 1 2 1 C 1 2 2 而 1 2 360 A C A 与 C 互补 同理可得 ADC ABC 180 由此可知在 O 的内接四边形 ABCD 中 对角 A 与 C ADC 与 ABC 互补 若延长 BC 至 E 使得四边形 ABCD 有一个外角 DCE 则 DCE BCD 180 A DCE 即 外角 DCE 与内对角 A 相等 由此可知圆内接四边形有如下性质 圆内接四边形的对角互补 外角等于内对角 教学说明 从圆内接四边形的定义出发 可知圆内接四边形的四个内角 都是圆周角 再由圆周角定理 把圆周角与相应的圆心角联系起来 就很容易 得出圆内接四边形的性质定理 对于这个性质 学生要能分清这个命题的题设和 结论 并结合图形写出已知和求证 三 典例精析 获取新知 例 1 如图 O 的直径 AB 为 10cm 弦 AC 为 6cm ACB 的平分线交 O 于 D 求 BC AD BD 的长 分析 由直径 AB 可知 ACB 和 ADB 为直角三角形 进而可用勾股定理 求 BC 又由 CD 平分 ACB 可知 1 2 从而得到 AD BD 再次用勾股定 理求出 AD BD 的长 解 AB 为 O 的直径 ACB ADB 90 ACB 和 ADB 为 直角三角形 在 Rt ABC 中 BC 8 cm CD 平分 ACB 1 2 AD BD AA ADBD 又在 Rt ABD 中 AD BD 2 AB 5 cm 22 教学说明 利用圆周角定理及其推论 将求线段长的问题转化到解直角 三角形的问题上来 例 2 如图 AB 为 O 的直径 点 C D 在 O 上 AOD 30 求 BCD 的度数 分析 这题有两种解答思路 可用圆周角定理 C 180 AOD 1 2 也可由圆内接四边形的对角互补知 C A 180 而 A D 是等 腰 OAD 的两底角 从而可求出 C 两种方法都不难求出 C 105 教学说明 教师提示 学生可自主选择方法 并由学生板书解答过程 发展学生的数学符号语言能力 四 运用新知 深化理解 1 如图 1 所示 O 的直径 AE 10cm B EAC 求 AC 的长 2 如图 2 所示 AB 是 O 的直径 以 AO 为直径的 C 与 O 的弦 AD 相交于点 E 1 你认为图中有哪些相等的线段 2 连接 OE BD 你认为 OE 与 BD 之间的关系是怎样的 3 如图 3 所示 两圆相交于 A B 两点 小圆经过大圆的圆心 O 点 C D 分别在两圆上 若 ADB 100 求 ACB 的度数 教学说明 让学生通过习题巩固本节知识点 同时体会这节常见题型及 常见辅助线的作法 在解题过程中 教师要对没有找到方法的学生进行点拨 答案 1 5cm 2 2 1 OA OB AC OC AE DE 2 OE 1 2BD 且 OE BD 3 40 五 师生互动 课堂小结 师生共同回顾本节所学的知识点有哪些 常见的辅助线有哪些 教学说明 学生自主交流小结 教师加以补充和点评 营造轻松愉悦的 氛围 1 布置作业 从教材 习题 24 1 中选取 2 完成练习册中本课时 练习的 课后作业 部分 1 这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念 在探索圆周角与圆心角关系 过程中 要求学生学会分类讨论 以及转化的数学思想解决问题 同时也培养 了学生勇于探索的精神 其