六年级奥数第8次课：圆与扇形(教师版)

1 我生命中最最最重要的朋友们 请你们认真听老师讲并且跟着我生命中最最最重要的朋友们 请你们认真听老师讲并且跟着 老师的思维走 学业的成功重在于考点的不断过滤 相信我赠予你老师的思维走 学业的成功重在于考点的不断过滤 相信我赠予你 们的是你们学业成功的过滤器 谢谢使用 们的是你们学业成功的过滤器 谢谢使用 圆与扇形圆与扇形 一 考点 热点回顾一 考点 热点回顾 五年级已经学习过三角形 矩形 平行四边形 梯形以及由它们形成的组合图形的相 关问题 这一讲学习与圆有关的周长 面积等问题 圆的周长 面积计算公式 或 cd 2cr 2 sr 半圆的周长 面积计算公式 crd 2 1 2 sr 扇形的周长 面积 2 360 a cdr 2 360 a sr 如无特殊说明 圆周率都取 3 14 二 典型例题 二 典型例题 例 1 如下图所示 200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上 中间的弯道是一个半圆 已知 每条跑道宽 1 22 米 那么外道的起点在内道起点前面多少米 精确到 0 01 米 2 分析与解 半径越大 周长越长 所以外道的弯道比内道的弯道长 要保证内 外道的人 跑的距离相等 外道的起点就要向前移 移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差 虽 然弯道的各个半径都不知道 然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽 设外弯道中心线的半径为 R 内弯道中心线的半径为 r 则两个弯道的长度之差为 R r R r 3 14 1 22 3 83 米 即外道的起点在内道起点前面 3 83 米 例 2 有七根直径 5 厘米的塑料管 用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆 如左下图 此时 橡皮筋的长度是多少厘米 分析与解 由右上图知 绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和 将图中与 BC 弧类似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补 得到 6 个角的和是 360 所以 BC 弧所对的圆心角是 60 6 个 BC 弧等于直径 5 厘米的圆的周长 而线段 AB 等于塑料管的直径 由此知绳长 5 6 5 3 14 45 7 厘米 例 3 左下图中四个圆的半径都是 5 厘米 求阴影部分的面积 分析与解 直接套用公式 正方形中间的阴影部分的面积不太好计算 容易看出 正方形 中的空白部分是 4 个四分之一圆 利用五年级学过的割补法 可以得到右上图 右上图的 阴影部分的面积与原图相同 等于一个正方形与 4 个半圆 即 2 个圆 的面积之和 为 2r 2 r2 2 102 3 14 50 257 厘米 2 例 4 草场上有一个长 20 米 宽 10 米的关闭着的羊圈 在羊圈的一角用长 30 米的绳子 拴着一只羊 见左下图 问 这只羊能够活动的范围有多大 3 分析与解 如右上图所示 羊活动的范围可以分为 A B C 三部分 所以羊活动的范围是 例 5 右图中阴影部分的面积是 2 28 厘米 2 求扇形的半径 分析与解 阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分 所以 扇形的半径是 4 厘米 4 例 6 右图中的圆是以 O 为圆心 径是 10 厘米的圆 求阴影部分的面积 分析与解 解此题的基本思路是 从这个基本思路可以看出 要想得到阴影部分 S1 的面积 就必须想办法求出 S2和 S3的面 积 S3 的面积又要用下图的基本思路求 现在就可以求出 S3的面积 进而求出阴影部分的面积了 5 S3 S4 S5 50 100 厘米 2 S1 S2 S3 50 50 100 100 厘米 2 三 习题巩固三 习题巩固 1 直角三角形 ABC 放在一条直线上 斜边 AC 长 20 厘米 直角边 BC 长 10 厘米 如下图所 示 三角形由位置 绕 A 点转动 到达位置 此时 B C 点分别到达 B1 C1点 再绕 B1 点转动 到达位置 此时 A C1点分别到达 A2 C2点 求 C 点经 C1到 C2走过的路径的长 2 下页左上图中每个小圆的半径是 1 厘米 阴影部分的周长是多少厘米 解 大圆直径是 6 厘米 小圆直径是 2 厘米 阴影部分周长是 6 2 7 62 8 厘米 3 一只狗被拴在一个边长为 3 米的等边三角形建筑物的墙角上 见右上图 绳长是 4 米 求狗所能到的地方的总面积 解 如下页右上图所示 可分为半径为 4 米 圆心角为 300 的扇形与两个半径为 1 米 圆心角为 120 的扇形 面积为 6 解 设 CAB 为 n 度 半圆 ADB 的半径为 r 由题意有 解得 n 60 5 右上图是一个 400 米的跑道 两头是两个半圆 每一半圆的弧长是 100 米 中间是一个 长方形 长为 100 米 求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比 6 左下图中 正方形周长是圆环周长的 2 倍 当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原 来位置时 这个圆环转了几圈 7 右上图中 圆的半径是 4 厘米 阴影部分的面积是 14 厘米 2 求图中三角形的面积 7 解 圆的面积是 42 16 厘米 2 空白扇形面积占圆面积的 1 的等腰直角三角形 面积为 4 4 2 8 厘米 2 四 习题练习四 习题练习 1 如下图 在大圆中截取一个面积最大的正方形 然后在正方形中截取一个面积最大的圆 已知正方形的面积为 20cm2 求大圆和小圆的面积各是多少平方厘米 2 有一个等腰直角三角形 ABC 它的直角边 AB 1dm 将 B 点固定 让三角形按顺时针 方向绕 B 点旋转 90 得到右面的图形 求斜边在旋转过程中扫过的面积 即图中的阴影部 分 3 左下图中 阴影部分的面积是 5 7cm2 ABC 的面积是多少平方厘米 第八届 小学 生数学报 数学竞赛题 A C B 45 A C B 45 4 右图中以 O 为圆心的圆 半径是 10cm 以 C 为圆心 AC 为半径画一圆弧 求阴部部 分的面积 1998 年广东省小学数学竞赛题 8 5 如图 在直角三角形 ABC 中 A 60 以 A 为圆心 以 AC 为半径画弧与 AB 相 交于 D 如果图中阴影部分的面积为 6 cm2 那么 AB 的长是多少厘米 6 如图 大圆的直径为 4cm 求阴影部分的面积 7 下图中的圆半径 OA 9cm 1 2 15 求阴影部分的面积 8 如图 把 OA8 等分 以 O 为圆心画出 6 个扇形 已知最小的扇形是 10cm2 求阴影部 分的面积 9 图中的半圆直径 AB 是 3cm 把半圆绕 A 点逆时针旋转 60 求阴影部分的面积 A D O B C 9 10 图中 C D 把半圆弧三等分 直径 AB 12cm 求阴影部分的面积 11 图中 ABCD 是平行四边形 AD 8cm AB 10cm DAB 30 高 CH 4cm 弧 BE DF 分别以 AB CD 为半径 弧 DM BN 分别以 AD CB 为半径 阴影部分的面积 是多少平方厘米 2001 年全国奥赛决赛题 12 如图所示 正方形 ABCD 的边长是 12cm 已知 DE 与 EC 长度的比是 1 2 求阴影 部分的面积 13 图中 阴影部分的面积是 50cm2 求环形的面积 14 如图 OA OB 分别是小圆的直径 并且 OA OB 6cm BOA 90 阴影部分的