高三总复习7——由函数图形的对称性得到函数的周期性

高三总复习高三总复习 由函数图象的对称性得到函数的周期性由函数图象的对称性得到函数的周期性 请同学们看一道高考题 f x 为定义在 R 上的偶函数 图象关于直线 x 1 对称 且对于任 意 x1 x2 0 都有 f x1 x2 f x1 f x2 f 1 a 0 1 略 2 证明 f x 为周期函数 3 略 由条件 f x 是偶函数 知函数 f x 的图象关于直线 x 0 对称 因此 本题告诉我们这样一 个基本事实 若函数 f x 图象关于直线 x 0 和 x 1 对称 则 f x 是周期函数 证明上述结论的关键是借助于图象观察到 f x 的一个周期是 2 从而只要证明 f x 2 f x 即 可 用同样的研究方法 不难将上述问题一般化 命题命题 1 若定义在 R 上的函数 f x 的图象关于直线 x a 和 x b a b 对称 则函数 f x 是周 期函数 且 2 a b 是它的一个周期 证 证 f x 的图象关于直线 x a 和 x b a b 对称 f x f 2a x f x f 2b x f 2 a b x f 2a 2b x f 2b x f x f x 是周期函数 且 2 a b 是它的一个周期 特别地 定义在 R 上的偶函数 f x 若图象关于直线 x a a 0 对称 则 f x 是周期函数 且 2a 是它的一个周期 进一步探索 将命题 1 中一条直线换成一点 f x 是否是周期函数 命题命题 2 若定义在 R 上的函数 f x 的图象关于直线 x a 和点 b y0 a b 对称 则函数 f x 是 周期函数 且 4 a b 是它的一个周期 证 证 函数 f x 的图象关于直线 x a 对称 f x f 2a x 又 f x 的图象关于点 b y0 a b 对称 f 2b x 2y0 f x f 4 a b x f 2a 4b 2a x f 4b 2a x f 2b 2a 2b x 2y0 f 2a 2b x 2y0 f 2a 2b x 2y0 f 2b x 2y0 2y0 f x f x f x 是周期函数 且 4 a b 是它的一个周期 再次探索 将命题 1 中两条直线换成两点 f x 是否是周期函数 显然 对一般的两点 结 论不成立 但对纵坐标相同的点 结论成立 命题命题 3 若定义在 R 上的函数 f x 的图象关于点 a y0 和 b y0 a b 对称 则函数 f x 是周期 函数 且 2 a b 是它的一个周期 证 证 f x 是图象关于点 a y0 和 b y0 a b 对称 f 2a x 2y0 f x f 2b x 2y0 f x f 2 a b x f 2a 2b x 2y0 f 2b x 2y0 2y0 f x f x f x 是周期函数 且 2 a b 是它的一个周期 例例 1 已知 f x 是 R 上的奇函数 且 f x f x 则 f 1 f 2 f 3 解 解 f x f x f x 的图象关于直线 x 对称 又 f x 是奇函数 由命题 2 知 f x 是周期函数 且 2 是它的一个周期 f 3 f 1 f 1 f 2 f 0 0 f 1 f 2 f 3 0 例例 2 定义在 R 上的偶函数 f x 其图象关于直线 x 2 对称 当 x 2 2 时 f x x2 1 则 x 6 2 时 f x 解 解 偶函数 f x 其图象关于直线 x 2 对称 由命题 1 知 f x 是周期函数 且 4 是它 的一个周期 当 x 6 2 时 x 4 2 2 f x f x 4 x 4 2 1 x2 8x 17 注