函数模型及其应用

精心整理精心整理 函数模型及其函数模型及其应应用用 一 构建函数模型的基本步一 构建函数模型的基本步骤骤 1 1 审题审题 弄清 弄清题题意 分析条件和意 分析条件和结论结论 理 理顺顺数量关系 数量关系 2 2 建模 引 建模 引进进数学符号 一般地 数学符号 一般地 设设自自变变量量为为 函数 函数为为 必要 必要时时引入其他相关引入其他相关辅辅助助xy 变变量 并用量 并用 和和辅辅助助变变量表示各相关量 然后根据已知条件建立关系式 即所量表示各相关量 然后根据已知条件建立关系式 即所谓谓的的xy 数学模型 数学模型 3 3 求模 利用数学方法将得到的常 求模 利用数学方法将得到的常规规函数函数问题问题予以解答 求得予以解答 求得结结果 果 4 4 还还原 将所得的原 将所得的结结果果还还原原为实际问题为实际问题的意的意义义 再 再转译转译成具体成具体问题问题的回答 的回答 二 常二 常见见函数模型 函数模型 1 1 一次函数模型 一次函数模型 2 2 二次函数模型 二次函数模型 3 3 分段函数模型 分段函数模型 4 4 指数函数模型 指数函数模型 5 5 对对数函数模型 数函数模型 6 6 对对勾函数模型 勾函数模型 7 7 分式函数模型 分式函数模型 题题型型 1 1 一次函数模型 一次函数模型 因一次函数因一次函数 的 的图图象是一条直象是一条直线线 因而 因而该该模型又称模型又称为为直直线线模型 当模型 当ykxb 0k 时时 函数 函数值值的增的增长长特点是直特点是直线线上升 当上升 当时时 函数 函数值则值则是直是直线线下降 下降 0k 0k 例例 1 1 某工厂在甲 乙两地的两个分工厂各生 某工厂在甲 乙两地的两个分工厂各生产产同一种机器同一种机器台和台和 台 台 现销现销售售给给 A A 地地126 台 台 B B 地地 台 已知从甲地到台 已知从甲地到 A A 地 地 B B 地的运地的运费费分分别别是是元和元和元 从乙地到元 从乙地到 A A 地 地 108400800 B B 地的运地的运费费分分别别是是元和元和元 元 300500 1 1 设设从乙地运从乙地运 台至台至 A A 地 求地 求总总运运费费 关于关于 的函数解析式 的函数解析式 xyx 2 2 若 若总总运运费费不超不超过过元 共有几种元 共有几种调调运方案 运方案 9000 3 3 求出 求出总总运运费费最低的方案和最低运最低的方案和最低运费费 精心整理精心整理 题题型型 2 2 二次函数模型 二次函数模型 二次函数二次函数 为为生活中最常生活中最常见见的一种数学模型 因二次函数可求的一种数学模型 因二次函数可求 2 yaxbxc 0a 其最大其最大值值 或最小 或最小值值 故常常最 故常常最优优 最省等最 最省等最值问题值问题是二次函数的模型 是二次函数的模型 例例 2 2 渔场渔场中中鱼鱼群的最大养殖量群的最大养殖量为为m m吨 吨 为为保保证鱼证鱼群的生群的生长长空空间间 实际实际养殖量不能达养殖量不能达 到最大养殖量 必到最大养殖量 必须须留下适当的空留下适当的空闲闲量 已知量 已知鱼鱼群的年增群的年增长长量量 吨和吨和实际实际养殖量养殖量 吨吨yx 与空与空闲闲率的乘率的乘积积成正比 比例系数成正比 比例系数为为 0 k k 1 1 写出 写出 关于关于 的函数关系式 并指出的函数关系式 并指出这这个函数的定个函数的定义义域 域 yx 2 2 求 求鱼鱼群年增群年增长长量的最大量的最大值值 3 3 当 当鱼鱼群的年增群的年增长长量达到最大量达到最大值时值时 求 求 的取的取值值范范围围 k 例例 3 3 某租 某租赁赁公司公司拥拥有汽有汽车车 100100 辆辆 当每 当每辆车辆车的月租金的月租金为为 30003000 元元时时 可全部租出 当 可全部租出 当 每每辆车辆车的月租金每增加的月租金每增加 5050 元元时时 未租出的 未租出的车车将会增加一将会增加一辆辆 租出的 租出的车车每每辆辆每月需要每月需要 维护费维护费 150150 元 未租出的元 未租出的车车每每辆辆每月需要每月需要维护费维护费 5050 元 元 1 1 当每 当每辆车辆车的月租金定的月租金定为为 36003600 元元时时 能租出多少 能租出多少辆车辆车 2 2 当每 当每辆车辆车的月租金定的月租金定为为多少元多少元时时 租 租赁赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 公司的月收益最大 最大月收益是多少 练习练习 某个体 某个体经营经营者把开始六个月者把开始六个月试销试销 A A B B 两种商品的逐月投两种商品的逐月投资资与所与所获纯获纯利利润润列成列成 下表 下表 投资投资 A A 种商品金额种商品金额 万万 元元 1 12 23 34 45 56 6 获纯利润获纯利润 万元万元 0 60 6 5 5 1 31 3 9 9 1 81 8 5 5 2 2 1 81 8 4 4 1 41 4 0 0 投资投资 B B 种商品金额种商品金额 万万 元元 1 12 23 34 45 56 6 精心整理精心整理 获纯利润获纯利润 万元万元 0 20 2 5 5 0 40 4 9 9 0 70 7 6 6 1 1 1 21 2 6 6 1 51 5 1 1 该经营该经营者准者准备备下月投入下月投入 1212 万元万元经营这经营这两种两种产产品 但不知投入品 但不知投入 A A B B 两种商品各多两种商品各多 少才最合算 少才最合算 请请你帮助制定一个你帮助制定一个资资金投入方案 使得金投入方案 使得该经营该经营者能者能获获得最大的利得最大的利润润 并 并 按你的方案求出按你的方案求出该经营该经营者下月可者下月可获获得的最大得的最大纯纯利利润润 结结果保留两位有效数字 果保留两位有效数字 题题型型 3 3 分式函数模型 分式函数模型 求得的函数解析式中 分母含有自求得的函数解析式中 分母含有自变变量量时时 此 此类类函数称函数称为为分式函数模型 由于分式函分式函数模型 由于分式函 数的特征不是很明数的特征不是很明显显 因而在 因而在过过程中要注意程中要注意转转化 化 例例 4 4 某地区上年度 某地区上年度电电价价为为元元 年用 年用电电量量为为 本年度 本年度计计划将划将电电价降到价降到0 8 kW h akW h 元元至至元元之之间间 而用 而用户户期望期望电电价价为为元元经测经测算 下算 下调电调电价后价后0 55 kW h 0 75 kW h 0 4 kW h 新增的用新增的用电电量与量与实际电实际电价和用价和用户户期望期望电电价的差成反比 比例系数价的差成反比 比例系数为为 该该地区地区电电力的力的k 成本成本为为元元 0 3 kW h 1 1 写出本年度 写出本年度电电价下价下调调后 后 电电力部力部门门的收益的收益 与与实际电实际电价价 的函数关系式 的函数关系式 yx 2 2 设设 当 当电电价最低定价最低定为为多少多少时时仍可保仍可保证电证电力部力部门门的收益比上年至少增的收益比上年至少增长长 0 2ka 20 注 收益 注 收益 实际实际用用电电量量 实际电实际电价价 成本价 成本价 练习练习 某地上年度 某地上年度电电价价为为 0 80 8 元 年用量元 年用量为为 1 1 亿亿度 本年度度 本年度计计划将划将电电价价调调至至 0 550 55 元元 0 750 75 元之元之间间 经测经测算 若算 若电电价价调调至至 元 元 则则本年度新增用本年度新增用电电量量 亿亿度度 与与元成元成xy 4 0 x 反比例 又当反比例 又当元元时时 65 0 x 8 0 y 1 1 求 求 与与 之之间间的函数关系式 的函数关系式 yx 2 2 若每度 若每度电电的成本价的成本价为为 0 30 3 则电则电价价调调至多少至多少时时 本年度 本年度电电力部力部门门的收益将比上年的收益将比上年 度增加度增加 20 20 收益收益 用用电电量量 实际电实际电价 成本价价 成本价 题题型型 4 4 分段函数模型 分段函数模型 精心整理精心整理 在不同的背景前提下 两个在不同的背景前提下 两个变变量之量之间间的关系不一的关系不一样时样时 需要我 需要我们针对们针对自自变变量的范量的范围进围进 行分行分类类 求得各种不同情况下的两个 求得各种不同情况下的两个变变量之量之间间的关系即的关系即为为分段函数 分段函数易将数分段函数 分段函数易将数 学学问题问题最最优优化 化 例例 5 5 某市居民自来水收 某市居民自来水收费标费标准如下 当每准如下 当每户户每月用水不超每月用水不超过过 4 4 吨吨时时 每吨 每吨为为 1 81 8 元 元 当用水超当用水超过过 4 4 吨吨时时 超 超过过部分每吨部分每吨 3 3 元 某月甲 乙两元 某月甲 乙两户户共交水共交水费费 元 已知甲 乙两元 已知甲 乙两y 用用户该户该月用水量分月用水量分别为别为和和 5x3x 1 1 求 求 关于关于 的函数解析式 的函数解析式 yx 2 2 若甲 乙两 若甲 乙两户该户该月共交水月共交水费费 26 426 4 元 元 请请分分别别求出甲乙两求出甲乙两户该户该月的用水量和水月的用水量和水费费 练习练习 1 1 依法依法纳纳税是每个公民税是每个公民应应尽的尽的义务义务 国家征收个人工 国家征收个人工资资 薪金所得税是分段 薪金所得税是分段 计计算的 算的 总总收入不超收入不超过过 10001000 元的 免征个人工元的 免征个人工资资 薪金所得税 超 薪金所得税 超过过 10001000 元部分需征元部分需征 税 税 设设全月全月纳纳税所得税所得额额 所得 所得额额指工指工资资 薪金中 薪金中应纳应纳税的部分 税的部分 为为全月全月总总收入收入 xx 10001000 元 税率元 税率见见下表 下表 级数级数全月应纳税所得额全月应纳税所得额x税率税率 1 1 不超过不超过 500500 元部分元部分 5 5 2 2 超过超过 500500 元至元至 20002000 元部元部 分分 10 10 3 3 超过超过 20002000 元至元至 50005000 元部元部 分分 15 15 45 45 9 9 超过超过 100000100000 元部分元部分 1 1 若 若应纳应纳税税额为额为 试试用分段函数表示用分段函数表示 1 1 3 3 级纳级纳税税额额的的计计算公式算公式 xf xf 2 2 某人 某人 20002000 年年 1010 月份工月份工资总资总收入收入为为 42004200 元 元 试计试计算算这这个人个人 1010 月份月份应纳应纳个人所得个人所得 税多少元 税多少元 精心整理精心整理 2 2 某公司生 某公司生产产一种一种产产品每年投入固定成本品每年投入固定成本 0 50 5 万元 此外每生万元 此外每生产产 100100 件件这这种种产产品品还还 需要增加投需要增加投资资 0 250 25 万元 万元 经预测经预测知 市知 市场对这场对这种种产产品的年需求量品的年需求量为为 500500 件 且当出件 且当出 售的售的这这种种产产品的数量品的数量为为 单单位 百件 位 百件 时时 销销售所得的收入售所得的收入约为约为 万元 万元 t 2 2 1 5tt 1 1 若 若该该公司的年公司的年产产量量为为 单单位 百件 位 百件 时时 试试把把该该公司生公司生产产并并销销售售这这种种产产品所品所x 0 x 得的年利得的年利润润表示表示为为当年当年产产量量 的函数的函数 x 2 2 当 当该该公司的年公司的年产产量多大量多大时时 当年所得利 当年所得利润润最大 最大 题题型型 5 5 指数函数模型 指数函数模型 形如形如 且且 且且 的函数模型称 的函数模型称为为指数函数模型 当指数函数模型 当时时 其 其 x yka 0a 1a kR 0k 1a 增增长长特点是随着自特点是随着自变变量的增大 函数量的增大 函数值值增大的速度越来越快 我增大的速度越来越快 我们们常称常称为为 指数爆炸指数爆炸 例例 6 6 某 某电电器公司生器公司生产产型型电脑电脑 20062006 年年这这种种电脑电脑每台平均生每台平均生产产成本成本为为 50005000 元 并以元 并以A 纯纯利利润润确定出厂价 从确定出厂价 从 20072007 年开始 公司通年开始 公司通过过更新更新设备设备和加和加强强管理 使生管理 使生产产成本成本20 逐年降低 到逐年降低 到 20102010 年 尽管年 尽管型型电脑电脑出厂价出厂价仅仅是是 20062006 年出厂价的年出厂价的 但却 但却实现实现了了A80 纯纯利利润润的高效益 的高效益 50 1 1 求 求 20102010 年每台年每台型型电脑电脑的生的生产产成本 成本 A 2 2 以 以 20062006 年的生年的生产产成本成本为为基数 求基数 求 2006 20102006 2010 年生年生产产成本平均每年降低的百分数成本平均每年降低的百分数 精确到 精确到 0 010 01 以下数据可供参考 以下数据可供参考 52 236 62 449 练习练习 1 1 某城市 某城市现现有人口有人口 100100 万 如果万 如果 2020 年后年后该该城市人口城市人口总总数不超数不超过过 120120 万 年自万 年自 然增然增长长率率应应控制在多少以内 控制在多少以内 2 2 某化工厂生 某化工厂生产产一种溶液 按市一种溶液 按市场场要求 要求 杂质杂质含量不能超含量不能超过过 0 1 0 1 若初 若初时时含含杂质杂质 2 2 每每过滤过滤一次可使一次可使杂质杂质含量减少含量减少 问问至少至少应过滤应过滤几次才能使几次才能使产产品达到市品达到市场场要求 已要求 已 3 1 知 知 4771 0 3lg 3010 0 2lg 精心整理精心整理 3 3 根据 根据总总的的发发展展战战略 第二略 第二阶阶段 我国工段 我国工农业农业生生产总值产总值从从 20002000 年到年到 20202020 年年间间要翻要翻 两番 两番 问这问这 2020 年年间间 年平均增 年平均增长长率至少要多少 才能完成率至少要多少 才能完成这这一一阶阶段构想 段构想 4 4 按复利 按复利计计算利率的一种算利率的一种储储蓄 本金蓄 本金为为 元 每期利率元 每期利率为为 设设本利和本利和为为 存期 存期为为 aryx 写出本利和写出本利和 随存期随存期 变变化的函数式化的函数式 如果存入本金如果存入本金 10001000 元 每期利率元 每期利率 2 25 2 25 试计试计yx 算算 5 5 期后的本利和是多少 期后的本利和是多少 题题型型 6 6 对对数函数模型数函数模型 自自变变量出量出现现在在对对数函数模型中 当数函数模型中 当对对数的底数数的底数时时 其增 其增长长特点是开始特点是开始阶阶段增段增长长得得1a 较较快 但随着快 但随着 的逐的逐渐渐增大 其函数增大 其函数值变值变化越来越慢 我化越来越慢 我们们称之称之为为 蜗蜗牛式增牛式增长长 由于 由于x 对对数函数与指数函数互数函数与指数函数互为为反函数 因而反函数 因而对对数函数模型其数函数模型其实实是建立在指数函数模型的是建立在指数函数模型的 基基础础上 上 题题型型 7 7 对对勾函数模型勾函数模型 形如形如 的函数模型 其 的函数模型 其图图像的形状在第一象限犹如像的形状在第一象限犹如 利用奇 利用奇 a f xx x 0 0ax 函数函数图图象的象的对对称性 我称性 我们们称之称之为为 对对勾勾 在 在现实现实生活中有着广泛的生活中有着广泛的应应用 就目前而言 用 就目前而言 常利用常利用该该函数的函数的单调单调性来解决函数模型 性来解决函数模型 例例 7 7 某 某单单位用位用 21602160 万元万元购购得一得一块块空地 空地 计计划在划在该该地地块块上建造一上建造一栋栋至少至少 1010 层层 每 每层层 20002000 平方米的楼房 平方米的楼房 经测经测算 如果将楼房建算 如果将楼房建为为 层层 则则每平方米的平均建筑每平方米的平均建筑费费x10 x 用用为为 单单位 元 位 元 为为了使楼房每平方米的平均了使楼房每平方米的平均综综合合费费用最少 用最少 该该楼房楼房应应建建为为多多56048x 少少层层 注 平均 注 平均综综合合费费用用 平均建筑平均建筑费费用用 平均平均购购地地费费用 用 购地总费用 平均购地费用 建筑总面积 课课后作后作业业 1 1 某商 某商场场将空将空调调先按原价提高先按原价提高 40 40 然后打出广告 然后打出广告 大酬大酬宾宾八折八折优优惠惠 结结果每台空果每台空调调 比原来多比原来多赚赚了了 270270 元 元 则则原来每台空原来每台空调为调为 元 元 精心整理精心整理 2 2 手机的价格不断降低 若每隔半年其价格降低 手机的价格不断降低 若每隔半年其价格降低 则现则现价价为为 25602560 元的手机 两年元的手机 两年 1 4 后的价格后的价格为为 A 900A 900 元元 B 810B 810 元元 C 1440C 1440 元元 D 160D 160 元元 3 3 某工厂生 某工厂生产产某种某种产产品固定成本品固定成本为为 20002000 万元 并且每成万元 并且每成产产一一单单位位产产品 成本增加品 成本增加 1010 万元 又知万元 又知总总收入收入是是单单位位产产品数品数的函数 的函数 则总则总利利润润的最大的最大KQ 2 1 40 20 K QQQ L Q 值为值为 4 4 某公司在甲 乙两地 某公司在甲 乙两地销销售一种品牌售一种品牌车车 利 利润润 单单位 万元 分位 万元 分别为别为和和 2 1 5 060 15Lxx 其中 其中 为销为销售量 售量 单单位 位 辆辆 若 若该该公司在公司在这这两地共两地共销销售售 1515 辆车辆车 则则能能获获得最得最 2 2Lx x 大利大利润为润为 A A 万元万元 B B 万元万元 C C 万元万元 D D 万元万元45 60645 645 5645 51 5 5 某人 某人 20002000 年年 7 7 月月 1 1 日存入一年期款日存入一年期款 元 年利率元 年利率为为 且到期自 且到期自动转动转存 存 则则到到ar 20072007 年年 7 7 月月 1 1 日本利全部取出可得 日本利全部取出可得 A A 元元B B 元元 7 1 ar 6 1 ar C C 元元D D 元元 7 1 aar 26 1 1 1 aararar 6 6