《理论力学教案》

理论力学 教案 理论力学 课程基本信息 一 课程名称 理论力学 二 学时学分 每周 4 学时 学分 4 三 予修课程 力学 高等数学 四 使用教材 金尚年 马永力编著 理论力学 第二版 北京 高等教育出版社 2002 年 7 月 面向 21 世纪课程教材 五 教学参考书 1 周衍柏 理论力学教程 第二版 北京 高等教育出版社 1986 年 2 郭士望 理论力学 上 下册 北京 高等教育出版社 1982 3 梁昆森 力学 上 下册 北京 人民教育出版社 1979 六 教学方法 课堂讲授 启发式教学 七 教学手段 传统讲授与多媒体教学相结合 八 考核方式 闭卷考试占总成绩 70 平时作业成绩占 30 九 学生创新精神与实践能力的培养方法 在课程讲授过程中注意采用启发式教学手 段 将基本的概念和规律讲清 讲透 而将一些具有推广性的问题留给学生思考 以此 来提高学生分析问题 解决问题的能力 并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题 以 此来提高学生解决实际问题的能力 十 其他要求 每堂课后布置适量的课后作业并定期批改 检查和给出成绩 这部分 成绩将占期末总成绩的 30 绪绪 论论 一 理论力学 课程的内容 该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论 是理论物理的第一门课程 是从物理学的基本经验规律出发 借助于微积分等数学工具 推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程 二 理论力学 与 力学 的区别和联系 1 内容 理论力学 包括牛顿力学和分析力学 是 力学 课程的深入和提高 而 力学 课程仅讲授牛顿力学 且研究的深度不及 理论力学 2 研究手段 力学 是从物理现象出发 通过归纳总结出物质运动的规律 理论力学 是从经验规律出发 借助于数学工具 推导出物质运动所满足的规律 并 通过实践来检验该规律的真伪 着重培养学生理性思维的能力 三 本教材的特点 将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解 可对比二者在处理力学问 题时各自的优缺点 并适当增加了分析力学在这门课中的比重 第一章 牛顿动力学方程 1 第一章第一章 牛顿动力学方程牛顿动力学方程 教学目的和基本要求 要求学生了解牛顿运动定律的历史地位 掌握牛顿第二定律在常 用坐标系中的表达式和使用方法 熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方 法 理解质点系 质心 动量 角动量和能量的概念 熟练掌握三个基本定理 三个守 恒定律的内容和它们的适用条件 以及应用它们求解问题的方法步骤 了解研究变质量 物体运动的指导思想和处理方法 教学重点 熟练掌握牛顿运动定律 动量 角动量 能量定理以及运用这些定理解决力 学问题的方法 教学难点 如何讲清牛顿第二定律 三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法 1 1 牛顿的 原理 奠定了经典力学的理论基础 一 经典力学的理论基础 牛顿于 1687 年发表的 自然哲学的数学原理 简称 原 理 是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的 在原理中 牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律 并阐述了关于时间 空间的基本概念和 区别相对运动和绝对运动的思想 在物理学中将以 原理 为依据的力学称为经典力学或牛顿力学 二 经典力学的物质观 时空观及运动观 1 物质观 时空观及运动观在力学中的重要性 力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律 因此要建立力学的理论体系首先就 要对什么是物质 时间 空间和运动有科学的认识和明确的规定 2 物质观 时空观及运动观的发展历史 亚里士多德 笛卡尔等 3 牛顿力学的物质观 时空观及运动观 1 物质观 以古希腊原子论为基础 认为世界是由原子构成 原子间的作用力构成万 物的运动 2 时空观 绝对的 真正的 数学的时间自身在流逝着 而且由于其本性而在均匀 地 与其他任何事物无关地流逝着 即时间是一维的 均匀的 无限的 与空间和物质 无关 牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的 三维的 均匀的和各向同性的绝对空间 在 第一章 牛顿动力学方程 2 绝对空间中可取这样的坐标系 原点静止于绝对空间中 坐标轴的方向一经选定就不再 改变 那么这个坐标系就代表了绝对空间 物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动 一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系 3 运动观 牛顿第三定律和力学相对性原理 它们可以看成是力学的最高原理 另外 还包括万有引力定律 此外在 原理 一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念 发明了微积分 将力学原理与数学结合起来 使力学成为了严密的科学理论 三 牛顿运动三定律 1 运动三定律 第一定律 一个物体 若没有外力影响使其改变状态 则该物体仍保持其原来静止的或 匀速直线运动的状态 第二定律 运动的变化 与所加的力成正比 其方向为力作用的方向 第三定律 作用恒与其反作用相等 方向则相反 其中最重要的是第二定律 其原始的数学表达式为 1 1 F dt vmd 如果将物体质量 m 看成常量 上式可改写为 或 1 2 F dt vd m F dt rd m 2 2 2 力学相对性原理 在一个系统内部的任何力学实验 都不能决定这一系统是静止的还 是在作匀速直线运动 意义 根据这一原理 相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相 同 这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系 因牛顿设想的绝对空间实际 上是不存在的 这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据 3 伽利略变换 设参考系 S 和 S 均为惯性系且 S 相对于 S 以匀速 u 运动 那么这两个参 考系之间的时空坐标的变换关系为 tt turr 1 3 将上式代入 1 2 式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变 因此力学相对性原理 又可表述为 力学定律对于伽利略变换保持不变 四 牛顿运动三定律的局限性 适用于低速 宏观物体 第一章 牛顿动力学方程 3 五 牛顿的认识论 方法论简介 简单性 因果性 同一性和真理性 简单性 科学上正确的东西都是简单的 如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同 的结论 应该选用简单的方法 因果性 决定论 就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果 反之由一 定结果必然可确定唯一的原因 这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条 统一性 指 原理 中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应 该认为它对整个自然界都是普遍适用的 真理性 就是承认的相对性和绝对性 六 本节重点 了解力学的发展历史 掌握牛顿运动三定律 1 2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿运动定律的核心是第二定律 本节将就其数学表达式做深入探讨 一 牛顿第二定律 2 1 F dt vmd 在经典力学中物体的 m 为常数 牛顿定律变为 F dt rd mF dt vd m 2 2 三 三 一般情况下 F 为坐标 速度和时间的函数 即 2 2 所以牛顿第二定律 trrFF 可进一步表示为 2 3 trrF dt vd mtrrFrm 三 三 此式为二阶微分方程 在具体求解力学问题时 需要将其转化为标量方程 根据坐标系 的不同 牛顿第二定律有以下表达式 二 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 1 直角坐标系 空间任一点 P 位置可用 x y z 三个参数来表示 用 i j k 分别表示沿 x 轴 y 轴 z 轴的单位矢量 则空间任一点 P 的位置矢量可表示为 kzj yi xr 2 4 进一步可得及 kzj yi xrv kzj yi xra 第一章 牛顿动力学方程 4 2 5 牛顿第二定律的可表示为 2 6 t z y x z y x Fzm t z y x z y x Fym t z y x z y x Fxm z y x 2 平面极坐标系 平面上任一点 P 的位置可用参数 r 来表示 er和 e 分别表示矢径 r 增加方向和极角 增加方向的单位矢量 如图 1 1 它们的方向随着 P 点的运动而改变 则位矢 2 9 由图 1 1 可将 er和 e 化为r err i j 的函数 jier sincos 进一步得 jie cossin e dt d d ed e r r 2 7 2 8 r e dt d d ed e 接着可求出 2 10 2 11 ererrv r errerrra r 2 2 牛顿第二定律的可表示为 F rr m F rr m r 2 2 2 12 3 球坐标 空间任一点 P 的位置可用参数 r 来 表示 e er r e e e e 分别表示 r 三个参数增 加方向的单位矢量 如图 1 2 它们的方向随着 P 点的 运动而改变 将 e er r e e 和 e e 化为 i j k 的函数 如 kjier cossinsincossin kjie sinsincoscoscos 进一步可求出jieee r cossin 结合 eee eee eee r r r cossin cos sin esinrererrv err rr 第一章 牛顿动力学方程 5 可得 牛顿第二定律的可表示为 2 21 F cosrsinrsinr m F cossinrrr m F sinrrr m r 22 2 2 222 4 柱坐标 空间任一点 P 的位置可用参数 R z 来表示 e eR R e e k k 分别表示相 应的单位矢量 如图 1 3 e eR R e e 的方向随着 P 点的运动而改变 而 k k 的大小方向均不变 参考平面 极坐标可得 2 23 kzr R eR 2 24 kzererrv R 牛顿第二定律的表达式为 2 25 z R Fzm F RR m F RR m 2 2 5 自然坐标和内禀方程 以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关 或者仅与质点的位 置有关 而与质点的速度 方向 均无关 还有一种自然坐标 其单位矢量的方向由任 一时刻速度的方向决定 相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程 1 平面自然坐标 用 e et t e en n分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量 如 图 1 4 即 e et t与任一时刻速度 V V 同向 显然 e et t e en n 二者为变矢量 有 2 26 t evv 另由及可得 v dt ds ds d dt d dt ed t n t e dt ed 2 27 nt e v e dt dv a 2 进一步可得牛顿第二定律的表达式为 n t F v m F dt dv m 2 2 28 2 空间自然坐标 第一章 牛顿动力学方程 6 基本概念 密切面 PP1与 PP2所构成的极限平面 e et t 在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量 其方向沿质点运动方向 e en n 在密切面内与 e et t垂直的单位矢量 其方向指向曲线的凹侧 主法线 与 e en n同向的法线 e eb b 由 e et t e en n决定的单 位矢量 次法线 与 e eb b同向的法线 法平面 由 e en n e eb b构成的平面 直切平面 由 e et t e en n构成的平 面 用 e et t e en n e eb b分别表示质点运动轨道的切线 主 法线和次法线方向的单位矢量 e et t与任一时刻速度 V V 同向 显然 e et t e en n e eb b三者均为变矢量 类似于平面自然坐标 利用得牛顿第二定律的表达式 ntn t t e v e dt dv ae v dt ed evv 2 为 2 29 0 2 b n t F F v m F dt dv m 3 适用范围 适用于运动轨道已知的质点运动 或用于介质阻力不能忽略的运动 三 本节重点 掌握直角坐标系 平面极坐标系 柱坐标系 平面曲线自然坐标系中牛 顿第二定律的分量表达式 1 3 质点系 牛顿运动定律是针对质点提出的 对于不能看成质点的力学体系 则必须重新分析讨 论 一 质点系 1 定义 由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系 质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点 的运动均有影响 2 实例 A 太阳 九大行星 第一章 牛顿动力学方程 7 B m m 通过轻绳联系在一起 如图 1 5 前者是九个单质点的力学问题 后者是两质点构成的质点系 3 结论 A 不能以质点个数的多少来推断是否为质点系 而应该看质点之间的作用 力是否对发生作用的质点的运动均有影响 B 内力和外力的区分 二 质点系的运动方程 1 一般方法 设有 n 个质点构成一质点系 由牛顿第二定律可得 i 1 2 n 3 1 共 3n 个标量方程 trrFrm iiii 若质点系受内部或外界的约束共 k 个 则 Fi中会含由 k 个未知的约束力 Fni 则可得 k 个 约束方程 j 1 2 k 3 2 0 trrf iij 联立以上共 3n k 个方程可求出 3n k 个未知数 2 一般方法的困难性和解决方法 以上方法需求解的方程个数太多 可借助于动量 角 动量 能量定理简化求解过程 三 本节重点 正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法 1 4 动量定理 一 动量及动量定理 1 质点 定义动量为 P mv 由牛顿第二定律可得动量定理为 若 F 0 则质点F dt pd 的动量 P C 即动量守恒 注 虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理 但后者的适用范围超过前者 所以有些场 合将牛顿第二定律看成动量定理的推论 2 质点系 1 动量 定义质点系的动量为 iiS vmpP 2 动量定理 对每一个质点应用动量定理可得 i 1 2 n 4 3 i i e i i FF dt pd 第一章 牛顿动力学方程 8 其中表示质点所受的合外力 表示质点所受的内力的合力 且 将 e i F i i F n ij ji i i FF 4 3 式共 n 个方程相加在一起 可得 4 4 i i e i i FF dt pd 考虑到 所以上式中 这样 4 4 可简化为 ijji FF 0 n i n ij ji i i FF 4 6 ee i s FF dt pd 上式即为质点系的动量定理 它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力 与 内力无关 二 质点系的动量守恒 在动量定理 4 6 式中如果 则可得 即质点系的总动量守恒 0 e F CPs 当得 即动量在某一方向上 如 x 方向 的分量守恒 如发射炮弹的问0 e x FCPsx 题 当时 则可得 如碰撞问题 0 e F CPs 三 质心运动定理 1 质心 定义质心的位矢 rc为 4 9 s ii i ii c m rm m rm r 则有 4 10 Cs ii iis vm dt rm d vmP 即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量 2 质心运动定理 将代入动量定理可得 Css vmP e s F dt pd e cs e c s FamF dt vd m 三 三 4 11 上式即为质心运动定理 它说明质心的运动就象一个质点的运动一样 此质点的质量等 于质点系的总质量 作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力 第一章 牛顿动力学方程 9 四 本节重点 掌握质点系的动量定理 动量守恒定律和质心运动定理 1 5 角动量定理 一 质点的角动量和角动量定理 1 角动量 定义质点的角动量 动量矩 L 为位矢 r 与动量的矢量积 即 vmp vmrL 5 1 2 角动量定理 即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力MFr dt Ld 矩 推导 由角动量的定义式 L r p 两边对时间求导可得 因 又定义力矩 最终可得角Frvmr dt pd rp dt rd dt Ld 0 vmr FrM 动量定理 MFr dt Ld 5 2 3 角动量守恒 如果质点所受的力矩 M 0 则可得 L C 即如果质点所受的力矩为零 则其角动量守恒 注 M L 必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言 4 应用 当质点受有心力的作用时 易得 则有 r eFF 0 FrM CkmremrermerL rr 2 二 质点系的角动量和角动量定理 1 角动量 定义质点系的角动量 L 为各质点角动量 Li的矢量和 即 iiii vmrLL 2 角动量定理 即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的 ee i e ii MMFr dt Ld 外力矩之和 与内力矩无关 第一章 牛顿动力学方程 10 推导 由动量的定义式 两边对时间求导可得 iiii vmrLL i ii e iii i ii i FrFramr dt vmd rvm dt rd dt Ld 考虑到上式中 1 0 iij i jii ij i jii i ii FrFrFr 最终可得角动量定理 5 5 e i e ii MFr dt Ld 3 角动量守恒 同质点的角动量守恒一致 当时 有 即角动量守恒 0 e i M CL 以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言 但在处理实际的力学问题时 往往选 取相对于某一点 P 的 L M 比选取相对于坐标原点的更方便 下面我们就专门讨论这种 情况 4 相对于惯性系中任一点 P 的角动量定理 定义 iiiP vmrL e iiP FrM 参考图 1 6 利用 pii rrr iipiiii vmrrvmrL PSpiiiiip LPrvmrvmrL 同理可得 将代入角动量定理 e PP e FrMM 可得 e M dt Ld e PP ep Sp c sp FrMM dt Ld Pv dt vd mr 或 PSp p MPv dt Ld Pcsp p Mvmv dt Ld 5 6 讨论 A 当 V Vp 0 时 P 为惯性系中的定点 角动量的形式不变 P p M dt Ld B V Vp 0 但 V Vp 与 V Vc 同向 角动量的形式不变 P p M dt Ld C 角动量的形式不变 cp rr C C M dt Ld 第一章 牛顿动力学方程 11 三 质心系中的角动量定理 1 质心系 以质心为坐标原点且相对于惯性系做 平动的参考系为质心系 其坐标轴始终平行与惯 性系中相应坐标系的坐标轴 多为理论工作者使 用 2 实验室系 以惯性系为运动参考的参考系 以 前我们所讨论的问题均是在实验室系中讨论的 多为实验工作者使用 3 质心系中的角动量定理 首先定义分别代表质心系中的位置矢量 速度 角动量 力矩 且有MLvr 严格来说应为 详见第五章 dt rd v dt rd v iii vmrL c e ii MFrM 注 与是不同的两概念 与是不同的速度 前者是质点在惯性 L c L iiiC vmrL i v i v 系中的速度 而后者是质点在质心系中的速度 但是可以证明 L L L LC C二者相等 证明 因 所以有 5 10 dt rd dt rd dt rd cii cii vvv 5 11 CiiciiiiiiiiC vrmLvmrvmrvmrL 所以 接着将中的 用 替换掉 0 iir m LLC c c M dt Ld c L c M L M 最终可得 M dt Ld 四 本节重点 重点掌握惯性系中的角动量定理 1 6 能量定理 一 质点的动能定理 1 质点的动能 或 6 1 2 2 1 mvT 2 2 1 vmT 2 质点的动能定理 6 2 即作用在质点rdFdWdT 上的力所做的元功等于质点动能的增量 F 第一章 牛顿动力学方程 12 证明 由等式两边求微分可得 2 2 1 vmT rdamrd dt vd mvd dt rd mvdvmdT rdFdT 一段过程 2 1 2 1 rdFWdTT 二 质点系的动能定理 1 质点系的动能 质点系的动能为所有质点的动能之和 即 6 3 22 2 1 2 1 iii vmmvTT 2 质点系的动能定理 i i ii e i rdFrdFdT 将动能表达式两边取微分 2 2 1 i vmT iii i i i i rdamrd dt vd mvd dt rd mdTdT 6 4 i i ii e i rdFrdFdT 即质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和 注 动能的增量与体系的内力有关 这一点与质点系的动量 角动量定理有明显的区别 以上我们只证明了动能定理对惯性系成立 对于质心系是否成立需证明 3 寇尼希定理 质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能 再加上各 质点相对于质心系运动的动能 即 6 5 其中 TvmT cs 2 2 1 22 2 1 2 1 iiii vmvmT 6 6 证明 由及可得 2 2 1 i vmT cii vvv ciiiici vvmvmvmT 22 2 1 2 1 其中用到 TvmT cs 2 2 1 0 iiccii vmvvvm 4 质心系中的动能定理 质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和 内力在质心系中所做的元功之和 即 i i ii e i rdFrdFTd 6 7 由两边取微分可得TvmT cs 2 2 1 TdrdamTdvdvmdT ccsccs 第一章 牛顿动力学方程 13 另由 ic i iic e ii i ii e i rdrdFrdrdFrdFrdFdT i e i i ic e i rdFFrdFdT 联立 且由质心运动定理 可得 e ics Fam i i ii e i rdFrdFTd 三 保守力和势能 在动能定理中有 因 因此 W 一般很难直接求出 但可以证 2 1 rdFW trrFF 明当为某一类特殊的力时 W 可方便的求出 F 1 保守力 当为某一位置函数的梯度即时 该被称为保守力 F rV rVrF rF 此时做功与质点运动的路径无关 rF 证明 由 将上式代入 可得 k z V j y V i x V rVrF rdFdW rdVdz z V dy y V dx x V kdzjdyidxk z V j y V i x V dW 即 两边积分可得 6 11 rdVdW 0 0 rVrVrdFW r r 说明 可见保守力做功只与始末位置 有关 与运动的具体路径无关 0 r r 可证明保守力满足 F 0 rF 常见的保守力 重力 弹力 万有引力 库仑力等 2 势能 当某位置函数满足 6 9 该函数被称为势能 它由发 rV rVrF rV 生相互作用的物体共有 且势能为相对量 当给出它的具体数值时必须指出势能的参考 零点 由 可得 rdVrdFdW r VrdF r V 0 2 1 3 机械能守恒 定义动能 T 与势能 V 之和为机械能 E 当体系仅受保守力作用时 可证明 此时机械能守恒 证明 由 6 13 即机械能守恒 CEVTVTddVrdFdT 0 4 质点系势能 因势能为标量 所以质点系 第一章 牛顿动力学方程 14 的势能为所有质点的势能之和 即 当质点系所受内 外力均为保守力时 ii rVV 6 14 0 2 1 VrdFFV e i i i 5 例 计算受中心力的两质点的势能 从略 四 本节重点 重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力 势能的概 念 1 7 变质量运动方程 一 变质量力学问题分类 1 质量随 t 增加而增加 例 雨滴0 dt dm 2 质量随 t 增加而减小 例 火箭0 dt dm 以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解 二 变质量运动方程 1 运动方程 F uv dt dm dt vd m 2 推导 t 时刻 m v vmp 1 t t m m m vv u um m m 2 vvp u vm vmvm u vm vmvm um m m 12 vvppp 由牛顿第二定律 uv dt dm dt vd m uv t m lim dt vd m t p lim dt pd 0t0t F dt pd 最终可得 7 1 即变质量运动方程 F uv dt dm dt vd m 注 均是相对于惯性系的速度 即绝对速度 u v 3 密斯尔斯基方程 7 3 R FF dt vd m 在上述方程的基础上 令为废气相对于火箭的速度 它与反向 设为火vuvr v r e 箭前进方向上的单位矢量 即与同向 则有 将上式代入变质量运 r e v rr evvuv 动方程可得 或 其中 为推进力 Fv dt dm dt vd m r R FF dt vd m rrR e dt dm vF 第一章 牛顿动力学方程 15 结论 要提高火箭的 需设法提高 即提高和 v R F r v dt dm 三 实例 设 火箭做直线运动且 C 则有 0F r v m dm v dv v dt dm dt dv m r r 设 则有 令 t 0 时 可得 1 0 f t fmm 0 三 三Cflnvv f df v dv r r 0 vv 0 0 r0r v m m lnvvvflnvv 如令 为空火箭的质量 为燃料的质量 则有0v0 o m m m m 1ln v3 2 m mm lnvv 0 r 0 0 r 结论 1 与成正比 2 与成正变关系 且增大比增大的效果好 v r vv 0 m m r v 0 m m 四 本节重点 了解变质量运动方程 掌握 对提高火箭 的影响 r v 0 m m v 1 8 综合例题 从略 掌握例 1 例 2 例 4 了解例 3 本章习题 1 1 1 4 1 6 1 7 1 10 1 13 1 20 1 24 1 29 1 35 1 37 第三章 两体问题 16 第二章第二章 拉格朗日方程拉格朗日方程 教学目的和基本要求 正确理解各种约束的物理意义 掌握判断力学体系自由度的方 法和选择广义坐标的基本原则 能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题 掌握运用广义坐标 广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法 能熟练地用理想 完 整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程 教学重点 在理解各种约束 自由度的物理意义的基础上 熟练掌握应用拉格朗日方 程求解力学问题的方法 教学难点 约束 自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用 2 1 理想约束 达朗贝尔方程 一 牛顿动力学方程的一般解法 1 一般解法 设有 n 个质点 受到 k 个约束的质点系 则有 3n 个未知的坐标 和 k 个未知约束力 为求解这 3n 个未知的坐标 解方程的一般步骤如下 iii z y x 牛顿第二定律3n 个运动微分方程 k 个约束方程3n 个微分方 n Fk 三 三三 三三 三三 三三 三 程 3n k 个微分方程解出个未 三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三kk 知的 3n k 独立坐标解出全部 3n 个未知坐标和 k 个未知约束力 三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三k 2 实例 以图 1 7 的力学问题为例 从略 3 局限性 当 n k 的个数较大时 求解方程将十分困难甚至无法完成 因此当 n 较大时 如果我们能直接写出 3n k 个不含未知约束力和非独立坐标的方程 求解方程的过程 将大大简化 这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法 此外拉格朗日方程的物理意义 还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域 二 虚位移 约束和虚功 1 实位移和虚位移 第二章 拉格朗日方程 17 实位移 质点按力学规律运动时 在时间内实际所发生的位移 用表示 t rr dtrd 以前我们所讨论的位移均为实位移 虚位移 想象在某一时刻 t 质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移 用 表示 它不是质点实际运动所产生的位移 因而不需要时间 只要满足约束条件即可 r 的运算法则 被称为变分符号 它作用在坐标和函数上时与微分符号 d 完全相同 如 但作用于时间时为零即 这一点与 d 不同 yx xy xx2 x 2 0t 2 约束 力学体系在运动时所满足的某些规律 约束在物理上均可用约束方程的形式确 切地表达出来 例 z 0 限制质点在 xy 平面上运动 z 0 且 x2 y2 0 限制质点在 xy 平面上做圆周运 动 3 实位移和虚位移地关系 体系受稳定约束 约束条件不随时间而变化 约束方程中不含时间 t 时 实位移是 众多虚位移中的一个 体系受不稳定约束 约束方程中含时间 t 时 实位移与虚位移无直接关系 三 虚功 想象的 力在质点的虚位移上所做的功为虚功 F r rFW 1 1 四 理想约束 1 定义 所有约束力 内 外约束力 在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零 则 这种约束为理想约束 可用下式表达该约束的特点 0rF iNi 1 2 表示第 i 个质点所受的内 外约束力之和 Ni F 2 常见的理想约束 1 质点沿光滑曲面 曲线 运动时所受的约束 因沿曲面法线方向而沿曲面切线方向即有 N F r rFN 第二章 拉格朗日方程 18 所以 0 rFW N 2 质量可忽略的刚性杆所连接的两质点 如图 2 3 所示 为作用在 P1 P2上的约束力 其方向在 P1P2的连线方向上 由牛 21 NN FF 顿第三定律可得 因此 21NN FF rFrFrFW NNN 122112121 PPrrr 对于刚性杆因 为常数 所以 最终可得r 1N Frrr 0 1 rFW N 3 两个刚体以光滑表面相接触 用表示两个刚体相互之间的作用力和反作 21 NN FF 用力 则 由于两个刚体之间有相对滑动 0 21 NN FF 因此但可以证明在接触点的公切面0 21 rr 21 rr 内 而垂直于公切面 因此 21 NN FF 0 211 rrFW N 4 两刚体以完全粗糙的表面相接触 因刚体在这种约束下只能做纯滚动 即 约束条件为 因此有0 21 vv 0 21 rr 0 2112211 rrFrFrFW NNN 5 两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接 可用类似于 2 的方法证明 实际的力学体系可看成由刚体和质点构成 只要相互之间的联结是刚性的 接触面是 光滑或绝对粗糙的 那么该体系所受的约束都可看成理想约束 如果存在摩擦力 F Ff 可 将其看成主动力 则力学体系所受的约束仍为理想约束 五 达朗贝尔方程 1 4 0r rmF iiii 证明 设体系由 n 个质点构成 为主动力 为约束力 i F Ni F 由牛顿第二定律 i 1 2 n Niiii FFrm 将 n 个方程分别乘以后相加 移项可得 i r 0r rmFF iiiNii 最后一步用到了理想约束0rFr rmF iNiiiii 0r rmF iiii 第二章 拉格朗日方程 19 的特点 在该方程中约束力不再出现 0rF iNi Ni F 六 例 用达朗贝尔方程写出图 1 7 所示力学体系的运动方程 从略 七 本节重点 重点掌握虚位移 虚功 理想约束等物理概念 掌握用达朗贝尔方程求 解简单力学体系的运动方程的方法 2 2 完整约束 广义坐标 达朗贝尔方程中虽然不含 但仍有非独立坐标 对于一种完整约束 可在达朗贝尔 Ni F 方程的基础上直接写出不含 非独立坐标的动力学方程 Ni F 一 完整约束 1 定义 约束条件只和体系中各质点的坐标有关 即约束方程中只含和 t 不含 i r i r ii rr 约束方程为 2 1 0 t r r r f n21 例 绕 O 点转动的细管中的质点 双单摆 2 性质 理论上可证明 凡是完整约束都可以通过约束方程用代数的方法将非独立坐标 消去 每一个约束方程可以消去一个独立坐标 如果 n 个质点构成的力学体系受到 k 个完整约束 约束方程为 j 1 2 k 2 2 0 21 trrrf nj 独立坐标的个数为 s 3n k 2 3 3 自由度 力学体系中独立坐标的个数 s 被称为体系的自由度 二 非完整约束 1 定义 如果体系所受的约束不能由约束方程直接消去非独立坐标 该约束为非完整约 束 2 分类 非完整约束包括运动约束 微分约束 和可解约束两类 第二章 拉格朗日方程 20 1 运动约束 约束方程中除了含有和 t 外还含有关于时间 t 的一次或高次导数 i r i r i r 等 约束方程为 在动力学方程未解出之前 无法通过约束方程将非独 i r 0 t r r r f iii 立坐标消去 如图 2 7 轮子在 xy 平面上做曲线纯滚动 确定轮子在空间的位置需要 x y 和自转 角 但由于受到纯滚动的约束轮心的速度和自转角速度之间存在约束yxv 另由图 2 8 可得 将约束方程代入以上两式可得 rv sin cosvyvx rv 2 4 0cos 0sin drdy drdx 上式表明 4 个坐标中独立的坐标只有两个 但在动力学方程未解出之前 我们无法通过 积分的方法利用 2 4 式将不独立的坐标消去 但可证明如果轮子做直线滚动即 为 常数则可以将不独立坐标消去 2 可解约束 单面约束 约束方程中虽不含的微分项 但方程中含有不等式 显 i r 然由于方程中存在不等式 所以也无法用代数法通过约束方程消去非独立坐标 例 用长为 L 的绳子将质点悬挂于固定点 x2 y2 z2 L2 这种约束通常将其分为两种约束 增加一个独立坐标 这样可解约束将变为不可解约束 也就是成为了完整约束 综上所述 非完整约束一般专指微分约束 此外 约束还可根据约束方程中是否含有时间 t 将约束分为稳定 不稳定约束 三 广义坐标 第二章 拉格朗日方程 21 1 定义 建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标被称为广义坐标 一个力学 体系的广义坐标一旦确定了 其在空间的位形也就确定下来 广义坐标与自由度的关系 完整约束其广义坐标的个数与自由度个数相等 非完整约 束其广义坐标的个数可大于自由度个数 可简单地认为自由度比广义坐标的独立性更强 独立的也更彻底 在本书以后的讨论中均限于完整约束 所以可认为广义坐标的个数等 于自由度个数 2 选取 从理论上讲 可选取任意能反映力学体系位形的相互独立的 s 个变量作为广义 坐标 不仅仅局限于传统意义上的反映位置的长度坐标和角度等 如能量 E 动量 P P 等 3 位形空间 由 s 个广义坐标所构成的一个抽象的 s 维空间 此空间的任一点代表力学 体系的一种可能的位形 四 总结 掌握完整约束和自由度 广义坐标的物理意义 2 3 理想 完整约束体系的拉格朗日方程 对于理想 完整约束体系 在选取合适的广义坐标后可直接由广义坐标写出体系的动 力学方程 拉格朗日方程 该方程中是不含 非独立坐标的动力学方程 Ni F 一 理想 完整约束拉格朗日方程 1 推导过程 设有 n 个质点构成的受 k 个约束的力学体系 如所受约束为理想 完整约 束 则广义坐标的个数为 s 3n k 取 q1 q2 qs为广义坐标 则有 t q q q rr s21ii 将其代入达朗贝尔方程消去化简后可得 q q r r s 1 i i 0r rmF iiii i r 因上式中的相互独立 要使该式恒成立必有 0q q r rmF s 1 n 1i i iii q 或者写成 3 3 0 q r rmF n 1i i iii s 2 1 Q q r rm n 1i i ii s 2 1 其中 3 4 被称为广义力 与广义坐标相对应 n 1i i i q r FQ s 2 1 Q q 第二章 拉格朗日方程 22 方程 3 3 左边可变成 3 5 n 1i i ii n 1i i ii n 1i i ii q r rm q r rm dt d q r rm 另由可得 t q q q q q q T q r rm 2 1 T s21s21 n 1i i 2 ii n 1i i ii i q r rm q T 又因 可得 3 8 t r t r t r q q r r iii n 1i i i n 1i i ii n 1i i ii i q r rm q r rm q T 另有 3 9 n 1i i ii i q r rm q T 将 3 8 3 9 代回 3 5 式消去可得 n 1i i ii n 1i i ii q r rm q r rm 三 三 再将结果代入 3 3 可得理想 完整约束拉格朗日方程 q T q T dt d q r rm n 1i i ii 2 结论 3 10 n 1i i i q r FQ Q q T q T dt d 三 三三 三 s 2 1 该方程是由 s 个二阶微分方程构成的微分方程组 二 保守体系的拉格朗日方程 1 方程 对于保守体系 可进一步化简如下 Q 3 11 r VF ii q V q r V q r r r V q r FQ n 1i i n 1i i i i n 1i i i 将上式代入理想 完整约束拉格朗日方程 3 10 式可得 q V q T q T dt d 令 3 13 L 称为拉格朗日函数 0 q VT q VT dt d tqqLVTL 则上式可进一步化简为 3 12 0 q L q L dt d s 2 1 3 12 为保守体系的拉格朗日方程 有些教材将其称为第二类拉格朗日方程 它在力 学中的应用非常广泛 在分析力学中占有重要的地位 2 讨论 1 方程中的 L T V 为广义坐标和广义速度的函数 在应用方程时 首先需将 q q L T V 化成 的函数 q q 2 该方程只适用于理想 完整约束的保守体系 第二章 拉格朗日方程 23 3 保守体系 传统定义 所有内力与外力均为保守力 或内力虽不是保守力 但所有 内力所做的功的和为零 分析力学的定义 理想 完整约束下 只要主动力为保守力 这样的体系均为保守体系 从两种定义的比较可知 后者是对传统定义的扩展 对于理想 完整体系而言其约束 力可能是非保守力 在受不稳定约束时虽然约束力的实功之和不为零 但约束力的虚功 之和仍为零 保守体系的拉格朗日方程仍成立 所以这样的力学体系在分析力学中也被 成为保守体系 4 非保守体系 将非保守力部分用表示 而将保守力部分仍用 n 1i i i q r FQ 三 三 表示 理想 完整约束拉格朗日方程 3 10 式可表达为 q V n 1i i i q r FQ Q q L q L dt d 三 三 三 三三 三 s 2 1 3 14 三 拉格朗日方程与牛顿方程的区别与联系 1 拉格朗日方程用广义坐标列出 s 3n k 个动力学方程 较牛顿方程列出的 3n k 个方 q 程更为简捷 2 拉格朗日方程从能量的角度分析力学问题 而牛顿方程从受力的角度分析问题 显然 能量的数学处理比力 F 的处理简单 更重要的是能量的概念贯穿与物理学的所有领域 因此拉格朗日方程的应用也得以推广 3 对简单的力学问题而言 用牛顿方程比用拉格朗日方程更简单 直接 四 解题步骤 1 解题之前要正确划分体系与外界 进而判定所研究的体系是否为理想 完整保守体系 2 根据体系所含质点数 n 和所受约束的个数 k 来判定自由度的个数 s 3n k 也可由经验 直接判定自由度的个数 然后选取合适的广义坐标 s21 q q q 3 将动能 T 势能 V 或拉格朗日函数 L 表示成广义坐标的函数后代入拉格朗日方程 可得 s 个动力学方程 第二章 拉格朗日方程 24 4 求解这 s 个动力学方程可确定所有的广义坐标 五 例题 从略 六 本节重点 掌握理想 完整约束保守体系拉格朗日方程及其适用条件 会用该方程 求解一般的力学问题 2 4 拉格朗日方程对平衡问题的应用 一 静力学问题 当力学体系相对于惯性系静止时 我们就说该体系处于力学平衡 这 类问题为静力学问题 主要分为两类 1 已知主动力 求体系平衡时的位置 2 已知体系的平衡位置 求体系各部分之间的约束力 FN 上述第一类问题用拉格朗日方程求解很方便 第二类问题可结合拉格朗日方程 牛顿方 程求解 二 拉格朗日平衡方程 当体系平衡时其动能 T 恒为零 则 均为零 根据理想 完整约束拉格朗日方 q T q T 程 3 10 式可得 4 1 Q q T q T dt d 0 q r FQ n 1i i i s 2 1 对于保守体系则有 4 2 0 q V s 2 1 三 例题 从略 四 重点掌握 掌握用拉格朗日平衡方程求解力学平衡问题的一般方法 2 7 对称性和守恒定律 一 力学中的守恒定律 第二章 拉格朗日方程 25 1 牛顿力学 利用动量 角动量 能量守恒定律来取代牛顿动力学方程的全部或其中的一 部分 可直接得到一阶的微分方程 而牛顿动力学方程为二阶微分方程 例 质点在有心力 万有引力作用下的力学问题 2 分析力学中的守恒量 运动积分 运动积分 具有 s 个自由度的力学体系 如果 的某个函数在力学体系的运动 1 q q 过程中保持不变 则该函数被称为运动积分 理论上可用这些运动积分取代拉格朗日方 程的全部或其中的一部分 类似于牛顿力学中用动量 角动量 能量守恒定律来取代牛 顿动力学方程 s 个自由度的力学体系最多具有 2s 1 个运动积分 2 证明 任一时刻体系的拉格朗日函数为 所以体系的状态可由 2s 个变量 tqqL 决定 一般情况下有 7 1 为积分常数共 qq 221 221 s s ccctqq ccctqq s 2 1 i c 2s 个 在上式中消去时间 t 后可得到 2s 1 个方程构成的方程组 因此最多可解出 2s 1 个相互独立的 7 2 12 1 11 siqqqqcc ii 它们在运动中均为常数 也就是说它们为体系运动过程中的守恒量 被称为运动积分 下面就介绍常见的两种运动积分 广义动量 广义能量 二 广义动量与广义能量 1 广义动量 a p 1 循环坐标 可遗坐标 拉格朗日函数 L中不显含某个广义坐标 则该 t q q aa a q 坐标被称为循环坐标 2 广义动量 定义为与相对应广义动量 a a q L p a q 3 广义动量守恒 当为循环坐标时 则与其对应的广义动量守恒 a q a p 第二章 拉格朗日方程 26 证明 当为循环坐标时由于 L 中不显含 所以 则由 a q a q0 q L a 0 q L q L dt d 7 3 即广义动量守恒 C q L pp dt d q L dt d a aa 0 0 a p 4 意义 从量纲上来看 具有动量的量纲 所以被称为广义动量 同理被称为 a p a q 广义速度 当代表不同的坐标时 就代表不同的动量 如取 x y z a q a p a q 时 x y 为循环坐标 对应的 mgz zyx m 2 1 L 222 xm x L px ym y L py 为 x y 方向上的动量 又如取 r 时 为循环坐标 a q r V rr m 2 1 L 222 对应的为角动量 可直接有 L 的表达式中是否含有循环坐标拉判定相 2 mr L p 3 应的是否守恒 p 2 广义能量 H 1 定义 具有 s 个自由度的力学体系 定义为广义动量 LqpH s 1 aa 2 广义能量 H 守恒 如果 L 中不显含时间 t 即 可证明 H 守恒即 H C 0 t L 证明 设 由拉格朗日方程可得 q q L q q L dt dL q q LL s 1 a s 1 a aa 所以 aa q L q L dt d qp dt d dt dL dt qd pq p dt d q q L q q L dt d dt dL s 1 s 1 s 1 s 1 a s 1 a 7 5 即广义动量受恒 CLqpH0 Lqp dt d s 1 s 1 3 H 的物理意义 广义能量 由及可得 7 6 其中 i n 1I ir m 2 1 T t q q rr ii