八年级下册勾股定理知识点归纳

1 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 1 1 基础知识点 基础知识点 勾股定理 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 那么abc 222 abc 勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形通过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 22 1 42 2 Sabcabc 所以 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三角形 对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征 因而在应用勾股定理时 必须明了所考察的对象是直角三角形 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 则 ABC 90C 22 cab 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些 22 bca 22 acb 实际问题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜边abc 222 abc c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三角 形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与较长边的平方作比较 若它们相等时 以 22 ab 2 c 为三边的三角形是直角三角形 否则 就不是直角三角形 abc 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 满足abc 222 abc abc 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是为斜边 222 acb abcb 勾股定理的逆定理在用问题描述时 不能说成 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时 这个三角形是 直角三角形 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 为正整数时 称 222 abc abca 为一组勾股数bc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 8 15 17 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 用含字母的代数式表示组勾股数 n c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 2 A B C 30 D C BA A DB C 为正整数 为正整数 22 1 2 1nn n 2 n n 22 21 22 221nnnnn n 为正整数 2222 2 mnmn mn mn mn 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾 股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理 进行计算 应设法添加辅助线 通常作垂线 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行求解 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形 在具体推算 过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比 较而得到错误的结论 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理 判定一个三角形是直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者相辅相成 完成对问题的解决 常见图形 二 经典例题精讲经典例题精讲 题型一 直接考查勾股定理题型一 直接考查勾股定理 例 在中 ABC 90C 已知 求的长6AC 8BC AB 已知 求的长分析 直接应用勾股定理17AB 15AC BC 222 abc 解 22 10ABACBC 22 8BCABAC 题型二 利用勾股定理测量长度题型二 利用勾股定理测量长度 例题例题 1 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 解析 解析 这是一道大家熟知的典型的 知二求一 的题 把实物模型转化为数学模型后 已知斜边长和一条 直角边长 求另外一条直角边的长度 可以直接利用勾股定理 根据勾股定理 AC2 BC2 AB2 即 AC2 92 152 所以 AC2 144 所以 AC 12 例题例题 2 2 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5 米 把芦苇 拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并求水池的深度 AC 解析 解析 同例题 1 一样 先将实物模型转化为数学模型 如图 2 由题意可知 ACD 中 ACD 90 在 Rt AC D 中 只知道 CD 1 5 这是典型的利用勾股定理 知二求 一 的类型 标准解题步骤如下 仅供参考 C BD A 3 解 解 如图 2 根据勾股定理 AC2 CD2 AD2 设水深 AC x 米 那么 AD AB AC CB x 0 5 x2 1 52 x 0 5 2 解之得 x 2 故水深为 2 米 题型三题型三 勾股定理和逆定理并用勾股定理和逆定理并用 例题例题 3 3 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且那么 DEF 是直角三角形ABFB 4 1 吗 为什么 解析 解析 这道题把很多条件都隐藏了 乍一看有点摸不着头脑 仔细读题会意可以发现规律 没有任何条件 我们也可以开创条件 由可以设 AB 4a 那么 BE CE 2 a AF 3 a BF a 那么在 Rt AFD Rt BEFABFB 4 1 和 Rt CDE 中 分别利用勾股定理求出 DF EF 和 DE 的长 反过来再利用勾股定理逆定理去判断 DEF 是否是直 角三角形 详细解题步骤如下 解 解 设正方形 ABCD 的边长为 4a 则 BE CE 2 a AF 3 a BF a 在 Rt CDE 中 DE2 CD2 CE2 4a 2 2 a 2 20 a2 同理 EF2 5a2 DF2 25a2 在 DEF 中 EF2 DE2 5a2 20a2 25a2 DF2 DEF 是直角三角形 且 DEF 90 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 题型四题型四 利用勾股定理求线段长度利用勾股定理求线段长度 例题例题 4 4 如图 4 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 解析 解析 解题之前先弄清楚折叠中的不变量 合理设元是关键 解 解 根据题意得 Rt ADE Rt AEF AFE 90 AF 10cm EF DE 设 CE xcm 则 DE EF CD CE 8 x 在 Rt ABF 中由勾股定理得 AB2 BF2 AF2 即 82 BF2 102 BF 6cm CF BC BF 10 6 4 cm 在 Rt ECF 中由勾股定理可得 EF2 CE2 CF2 即 8 x 2 x2 42 64 16x x2 2 16 x 3 cm 即 CE 3 cm 注 本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积 注 本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积 题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直 例题例题 5 5 如图 5 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边 他测得 4 AD 80cm AB 60cm BD 100cm AD 边与 AB 边垂直吗 怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直 解析 解析 由于实物一般比较大 长度不容易用直尺来方便测量 我们通常截取部分长度 来验证 如图 4 矩形 ABCD 表示桌面形状 在 AB 上截取 AM 12cm 在 AD 上截取 AN 9cm 想 想为什么要设为这两个长度 连结 MN 测量 MN 的长度 如果 MN 15 则 AM2 AN2 MN2 所以 AD 边与 AB 边垂直 如果 MN a 15 则 92 122 81 144 225 a2 225 即 92 122 a2 所以 A 不是直角 例题例题 6 6 有一个传感器控制的灯 安装在门上方 离地高 4 5 米的墙上 任何东西只要移至 5 米以内 灯就 自动打开 一个身高 1 5 米的学生 要走到离门多远的地方灯刚好打开 解析 解析 首先要弄清楚人走过去 是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米 可想而知应该是头先距离灯 5 米 转化为数学模型 如图 6 所示 A 点表示控制灯 BM 表示人的高度 BC MN BC AN 当头 B 点 距离 A 有 5 米时 求 BC 的长度 已知 AN 4 5 米 所以 AC 3 米 由勾股定理 可计算 B C 4 米 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开 题型六题型六 关于翻折问题关于翻折问题 如图 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸片沿 AE 折叠 点 B 恰好落在 CD 边上 的点 G 处 求 BE 的长 变式 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿直线 AD 翻折 点 C 落在点 C 的位置 BC 4 求 BC 的长 三 勾股定理练习题 一 一 选择题 选择题 1 下列各组数中 能构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 1 1 C 6 8 11 D 5 12 23 2 2 在 Rt ABC 中 C 90 a 12 b 16 则 c 的长为 A 26 B 18 C 20 D 21 3 在平面直角坐标系中 已知点 P 的坐标是 3 4 则 OP 的长为 A 3 B 4 C 5 D 7 4 在 Rt ABC 中 C 90 B 45 c 10 则 a 的长为 A 5 B C D 105 5 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24cm2B 36cm2C 48cm2D 60cm2 6 若等腰三角形的腰长为 10 底边长为 12 则底边上的高为 A 6 B 7 C 8 D 9 50 5 7 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 3cm2 B 4cm2 C 6cm2 D 12cm2 8 若 ABC 中 高 AD 12 则 BC 的长为13 15ABcm ACcm A 14 B 4 C 14 或 4 D 以上都不对 9 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 10 在一棵树的 10 米高处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池 塘的 A 处 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则这棵树 高是 A 17 B 14 C 16 D 1 5 二 二 填空题 填空题 1 若一个三角形的三边满足 则这个三角形是 222 cab 2 木工师傅要做一个长方形桌面 做好后量得长为 80cm 宽为 60cm 对角线为 100cm 则这个桌面 填 合格 或 不合格 3 直角三角形两直角边长分别为 3 和 4 则它斜边上的高为 4 如右图所示的图形中 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为 5 则正方形 A B C D 的面积的和为 5 如右图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠 顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处 已知 CE 3 AB 8 则 BF 6 将一根长为 15 的筷子置于底面直径为 5 高为 12 的圆柱形水杯中 设筷子露在杯子外面的长为 h 则 h 的取值范围是 第 6 题图 三 三 解答题 解答题 1 已知 ABC 的三边分别为 k2 1 2k k2 1 k 1 求证 ABC 是直角三角形 9 分 如图 在 2 如图 四边形 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm CD 12cm DA 13cm 且 ABC 900 求四边形 ABCD 的面积 2 题图 A BC D E F A B E F D C 第 7 题图 A B C D B C A 第 10 题图 6 D C B A CB AD E F 3 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB BC 6 AC 8 求 AB CD 的长 3 题图 4 题图 4 如图 小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸