哈工大控制系统设计大作业——直线一级倒立摆控制器设计

HarbinHarbinHarbin InstituteInstituteInstitute ofofof TechnologyTechnologyTechnology 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程设计说明书 论文 课程名称 控制系统设计课程设计 设计题目 直线一级倒立摆控制器设计 院 系 航天学院控制科学与工程系 班 级 设 计 者 学 号 指导教师 罗晶 设计时间 2012 8 27 2012 9 9 哈尔滨工业大学教务处 哈尔滨工业大学课程设计任务书哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓 名 张盛博 院 系 航天学院控制科学与工程系 专 业 探测制导与控制技术 班 号 任务起至日期 2012 年 8 月 27 日至 2012 年 9 月 9 日 课程设计题目 直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统 GIP 100 L 系统内部各相关参数为 小车质量 0 5 Kg 摆杆质量 0 2 Kg 小车摩擦系数 0 1 N m sec 摆杆转动轴心到杆质Mmbl 心的长度 0 3 m 摆杆惯量 0 006 kg m m 采样时间 0 005 秒 IT 设计要求 1 推导出系统的传递函数和状态空间方程 用 Matlab 进行阶跃输入仿真 验证系统的稳定性 2 设计 PID 控制器 使得当在小车上施加 0 1N 的脉冲信号时 闭环系统的响应指标为 1 稳定时间小于 5 秒 2 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 0 1 弧度 3 设计状态空间极点配置控制器 使得当在小车上施加 0 2m 的阶跃信号时 闭环系统的响应指标为 1 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于 3 秒 x 2 的上升时间小于 1 秒x 3 的超调量小于 20 度 0 35 弧度 4 稳态误差小于 2 工作量 1 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型 2 倒立摆系统的 PID 控制器设计 MATLAB 仿真及实物调试 3 倒立摆系统的极点配置控制器设计 MATLAB 仿真及实物调试 工作计划安排 第 3 周 1 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型 2 倒立摆系统的 PID 控制器设计 MATLAB 仿真 3 倒立摆系统的极点配置控制器设计 MATLAB 仿真 第 4 周 1 实物调试 2 撰写课程设计论文 同组设计者及分工 各项工作独立完成 指导教师签字 年 月 日 教研室主任意见 教研室主任签字 年 月 日 注 此任务书由课程设计指导教师填写 注 此任务书由课程设计指导教师填写 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 一 一 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立直线一级倒立摆数学模型的推导及建立 系统建模可以分为两种 机理建模和实验建模 实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研 究者事先确定的输入信号 激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出 应用数学手段建立起系统 的输入 输出关系 这里面包括输入信号的设计选取 输出信号的精确检测 数学算法的研究等等内容 机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上 通过物理 化学的知识和数学手段建立起系统内部的 输入 状态关系 对于倒立摆系统 由于其本身是自不稳定的系统 实验建模存在一定的困难 但是经过小心的假设 忽略掉一些次要的因素后 倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统 可以在惯性坐标系内应用经典 力学理论建立系统的动力学方程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数 学模型 1 11 1 微分方程的推导 微分方程的推导 在忽略了空气阻力 各种摩擦之后 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图 其中 N 和 P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量 M M P P N N F Fb b p p m mg g N N I x x 图 1 a 小车隔离受力图 b 摆杆隔离受力图 本系统相关参数定义如下 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑到摆杆初始位置为竖直向下 注意 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定 因而矢量方向定义如图所示 图示方向为矢量正方向 分析小车水平方向所受的合力 可以得到以下方程 MxFbxN 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 2 2 sin d Nmxl dt 即 2 cossinNmxmlml 把这个等式代入上式中 就得到系统的第一个运动方程 2 cossinMm xbxmlmlF 为了推出系统的第二个运动方程 我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析 可以得到下面方程 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 2 2 cos d Pmgml dt 即 2 sincosPmgmlml 力矩平衡方程如下 sincosPlNlI 注意 此方程中力矩的方向 由于 故等式前面有负 coscos sinsin 号 合并这两个方程 约去P和N 得到第二个运动方程 22 sincosImlmglmlx 1 1 微分方程模型 微分方程模型 设 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 假设与 1 单位是弧度 相比很小 即 1 则可以进行近似处理 用u来代表被控对象的输入力 F 线性 2 cos1 sin 0 d dt 化后两个运动方程如下 2 Mm xbxmlu Imlmglmlx 2 2 传递函数 传递函数 对以上微分方程组进行拉普拉斯变换 得到 22 222 Mm X s sbX smls sU s Imls smglsmlX s s 注意 推导传递函数时假设初始条件为 0 由于输出为角度为 求解方程组上述方程组的第一个方程 可以得到 2 2 Iml g X ss mls 或者 1 12 2 22 smls X sImlsmgl 如果令 则有x 1 13 22 sml V sImlsmgl 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 把上式代入 10 式 则有 22 22 2 ImlIml gg Mms sbs smls sU s mlsmls 1 14 整理 1 15 2 1 2 432 ml s sq G s U sb Iml Mm mglbmgl ssss qqq 其中 2 2 qMmImlml 3 3 状态空间数学模型 状态空间数学模型 可得状态方程 XAXBu YCXDu 22 22 222 222 xx ImlbIml m gl xxu I MmMmlI MmMmlI MmMml mgl Mmmlbml xu I MmMmlI MmMmlI MmMml 22 22 222 222 01000 00 00010 00 1000 0010 xx ImlbIml m gl xx I MmMmlI MmMmlI MmMml u mlbmgl Mmml I MmMmlI MmMmlI MmMml x y 0 0 x x u 二 二 直线一级倒立摆直线一级倒立摆 PIDPID 控制器设计控制器设计 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 2 12 1 PIDPID 控制器各个校正环节对系统的影响控制器各个校正环节对系统的影响 简单来说 PID 控制器各个校正环节的作用如下 1 1 比例环节 成比例的反应控制系统的偏差信号e t 偏差一旦产生 控制器立即产生控制作用 以减少偏差 2 2 积分环节 主要用于消除稳态误差 提高系统的型别 积分作用的强弱取决于积分时间常数 T1 T1 越大 积分作用越弱 反之则越强 3 3 微分环节 反映偏差信号的变化趋势 变化速率 并能在偏差信号值变得太大之前 在系统中 引入一个有效的早期修正信号 从而加快系统的动作速度 减小调节时间 2 2 2 2 PIDPID 控制器的设计及控制器的设计及 MATLABMATLAB 仿真仿真 首先 对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度 它的平衡位置为垂直向上 系构框图如下 图 3 直线一级倒立摆 PID 控制系统框 图中KD s 是控制器传递函数 G s 是被控对象传递函数 考虑到输入r s 0 结构图可以很容易的变换成 图 4 直线一级倒立摆 PID 控制简化系统框图 该系统的输出为 1 1 sF numnumPIDdendenPID denPIDnum sF dendenPID numnumPID den num sF sGsKD sG sy 其中 num 被控对象传递函数的分子项 den 被控对象传递函数的分母项 numPID PID 控制器传递函数的分子项 denPID PID 控制器传递函数的分母项 被控对象的传递函数是 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 2 1 2 432 ml s snumq G s U sdenb Iml Mm mglbmgl ssss qqq 其中 2 2 qMmImlml PID 控制器的传递函数为 denPID numPID s KsKsK s K KsKsKD IPDI PD 2 需仔细调节 PID 控制器的参数 以得到满意的控制效果 前面的讨论只考虑了摆杆角度 那么 在我们施加控制的过程中 小车位置如何变化呢 考虑小车位置 得到改进的系统框图如下 图 5 直线一级倒立摆 PID 控制改进系统框图 其中 是摆杆传递函数 是小车传递函数 1 2 由于输入信号r s 0 所以可以把结构图转换成 图 5 直线一级倒立摆 PID 控制简化后改进系统框图 其中 反馈环代表我们前面设计的控制器 小车位置输出为 1 1 2121 12 1 1 2 2 1 2 sF dennumnumPIDdendendenPID dendenPIDnum sF dendenPID numnumPID den num sF sGsKD sG sX 其中 num1 den1 num2 den2 分别代表被控对象 1 和被控对象 2 传递函数的分子和分母 numPID和 denPID 代表 PID 控制器传递函数的分子和分母 下面我们来求G2 s 根据前面的推导 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 2 2 Iml g X ss mls 可以推出小车位置的传递函数为 2 2 2 2 432 Imlmgl s X sqq G s U sb Iml Mm mglbmgl ssss qqq 其中 2 2 qMmImlml 可以看出 den1 den2 den 小车的传递函数可以简化成 1 2 sF numnumPIDkdendenPID denPIDnum sX 2 32 3 PIDPID 控制器参数的调节控制器参数的调节 按题目要求 施加 0 1N 的脉冲信号 观察指标 脉冲信号仿真源程序为 M 0 5 m 0 2 b 0 1 I 0 006 g 9 8 l 0 3 num1 m l den1 I m l 2 0 m g l Kp 1 Ki 0 Kd 0 numPID Kd Kp Ki denPID 1 0 num conv num1 denPID den polyadd conv denPID den1 conv numPID num1 r p k residue num den s p t 0 0 005 5 impulse 0 1 num den t grid 当系统加入 PID 控制器后的方框图为 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 直线一级倒立摆 PID 控制 MATLAB 仿真模型 由所查阅资料 调节 Kp 会影响 ess 和振荡次数以及 ts Kp 太大不稳定 Kp 可以选择负数 调节 Ki 会影响稳定性 ess 调节 Kd 会影响 ts 由于 Kd 的特殊性 必须选择合适的 Kd 才能使与 ts 均位于p p 合适的范围 具体的调试过程 先调节 Kp 使系统稳定 再调节 Kd 使系统仅有一次振荡 最后调节 Ki 使 ess 为 0 令Kp 130 Ki 130 Kd 10 得到以下仿真结果 直线一级倒立摆 PID 控制仿真结果图 Kp 130 Ki 130 Kd 10 4 4 PIDPID 系统的优缺点系统的优缺点 优点 PID 控制优点明显 应用广泛 PID 能消除稳态误差 同时可以减少超调量 克服振荡 使 系统的稳定性提高 并且能加快系统的动态响应速度 减小调整时间 从而改善系统的动态性能 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 缺点 PID 控制的过度期比较长 上升过程中波动明显 当然 较好的 PID 控制效果是以已知被控 对象的精确数学模型为前提的 当被控对象的数学模型未知时 PID 控制的调试将会有很大的难度 三 三 状态空间极点配置控制器设计状态空间极点配置控制器设计 解得 0 59 wn 3 39 2 1 0 1pe 4 2 n ts w 0 804 符合要求 2 1 r n t w 根据 1 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于 3 秒 3 的超调量小于 20 度 0 35 弧度 x 4 稳态误差小于 2 求得闭环主导极点为 选取另两个极点为 12 12 则 22 74i 1 仿真程序 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 24 5000 0 B 0 1 0 2 5000 C 1 0 0 0 0 0 1 0 D 0 0 J 12 0 0 0 0 12 0 0 0 0 2 2 74 i 0 0 0 0 2 2 74 i JA poly A a1 JA 2 a2 JA 3 a3 JA 4 a4 JA 5 M B A B A 2 B A 3 B W a3 a2 a1 1 a2 a1 1 0 a1 1 0 0 1 0 0 0 T M W JJ poly J aa1 JJ 2 aa2 JJ 3 aa3 JJ 4 aa4 JJ 5 K aa4 a4 aa3 a3 aa2 a2 aa1 a1 inv T Ac A B K Bc B Cc C Dc D T 0 0 005 5 U 0 2 ones size T Cn 1 0 0 0 Nbar rscale A B Cn 0 K Bcn Nbar B Y X lsim Ac Bcn Cc Dc U T figure 1 plot T X 1 r grid legend Cart Position figure 2 plot T X 3 g grid legend Pendulum Angle K 1 0e 003 6 0245 2 4514 8 5677 1 0782 哈尔滨工业大学课程设计说明书 论文 倒摆小车位置 倒摆小车速度