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2020 3 30 1 一问题的提出 二第一类换元法 凑微分法 三第二类换元法 四小结 五思考与判断题 第二节换元积分法 SubstitutionRules 2020 3 30 2 但是 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 令 一问题的提出 我们知道 2020 3 30 3 令 利用基本积分表与积分的性质 所能计算的不定积分是非常有限的 我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分 利用中间变量的代换 得到复合函数的积分法 称为换元积分法 目的是去掉根式 2020 3 30 4 于是可得下述定理 二第一类换元法 2020 3 30 5 注意 使用此公式的关键在于将 第一类换元法又称为凑微分法 2020 3 30 6 例1求 解 2020 3 30 7 例2求 解 2020 3 30 8 例3求 解 2020 3 30 9 例4求 解 2020 3 30 10 例5求 解 2020 3 30 11 例6求 解 例7 解 正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开放在微分号 后面 2020 3 30 12 解 例8求 2020 3 30 13 例9求 2020 3 30 14 例10求 解 2020 3 30 15 例11求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 2020 3 30 16 例12求 解 利用三角学中的积化和差公式 得 2020 3 30 17 解 类似地可推出 例13求 2020 3 30 18 三第二类换元法 第一类换元法是通过变量替换将积分 下面介绍的第二类换元法是通过变量替换将积分 2020 3 30 19 证 设为的原函数 令 则 2020 3 30 20 第二类积分换元法 2020 3 30 21 例13求 解 1三角代换 2020 3 30 22 例14求 解 令 2020 3 30 23 例15求 解 令 注 三角代换的目的是化掉根式 2020 3 30 24 例16求 解 令 2根式代换 考虑到被积函数中的根号是困难所在 故 2020 3 30 25 例17求 解 令 2020 3 30 26 3其他形式代换 注1积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换 也可以化掉根式 中 令 2020 3 30 27 注2倒数代换也是常用的代换之一 令 解 2020 3 30 28 例19求 解 令 分母的次幂太高 2020 3 30 29 2020 3 30 30 基本积分表续 2020 3 30 31 2020 3 30 32 四小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 根式代换 倒数代换 三角代换常有下列规律 可令 可令 可令
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