18年高考真题——理科数学(天津卷)

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 理 天津卷 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 设全集为 集合 则 R 02Axx 1Bx x R AB A B C D 01xx 01xx 12xx 02xx 2 变量满足约束条件 则目标函数的最大 x y 5 24 1 0 xy xy xy y 35zxy 值是 A 6 B 19 C 21 D 45 3 阅读如图的程序框图 运行相应的程序 若输入的值为 20 则输 N 出的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 T 4 设 则 是 的 xR 11 22 x 3 1x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知 则的大小关系为 2 logae ln2b 1 2 1 log 3 a a b c A B C D abc bac cba cab 6 将函数的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数 sin 2 5 f xx 10 A 在区间上单调递增 B 在区间上单调递减 35 44 3 4 C 在区间上单调递增 D 在区间上单调递减 53 42 3 2 2 7 已知双曲线的离心率为 2 过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于 22 22 10 0 xy ab ab x 两点 设到双曲线同一条渐近线的距离分别为 且 则双曲线的方程为 A B A B 12 d d 12 6dd A B 22 1 412 xy 22 1 124 xy C D 22 1 39 xy 22 1 93 xy 8 如图 在平面四边形中 ABCDABBC ADCD 若点为边上的动点 则 0 120BAD 1ABAD ECDAE BE A B C D 3 21 16 3 2 25 16 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 是虚数单位 复数 i 67 12 i i 10 在的展开式中 的系数为 5 1 2 x x 2 x 11 已知正方体的棱长为 1 除面外 该正方体 1111 ABCDABC D ABCD 其余各面的中心分别为点 如图 则四棱锥的体积为 E F G H M MEFGH 12 已知圆的圆心为 直线 为参数 与该圆相交于两点 22 20 xyx C 2 1 2 2 3 2 xt yt t A B 则的面积为 ABC 13 已知 且 则的最小值为 a bR 360ab 1 2 8 a b 14 已知 函数 若关于的方程恰有 2 个互异的0a 2 2 20 220 xaxax f x xaxax x f xax 实数解 则的取值范围是 a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题 13 分 在中 内角所对的边分别为 已知 ABC A B C a b csincos 6 bAaB 求角的大小 设 求和的值 B2a 3c b sin 2AB 16 本小题 13 分 已知某单位甲 乙 丙三个部门的员工人数分别为 现采用分层抽样的24 16 16 方法从中抽取 7 人 进行睡眠时间的调查 应从甲 乙 丙三个部门的员工中分别抽取多少人 若抽 出的 7 人中有 4 人睡眠不足 3 人睡眠充足 现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查 用表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数 求随机变量X 的分布列与数学期望 设为事件 抽取的 3 人中 既有睡眠充足的员工 XA 也有睡眠不足的员工 求事件发生的概率 A 17 本小题 13 分 如图 且 且 ADBC2ADBC ADCD EGADEGAD 且 平面 CDFG2CDFG DG ABCD 若为的中点 为的中点 求证 平面 求二面角2DADCDG MCFNEG MNCDE 的正弦值 若点在线段上 且直线与平面所成的角为 求线段EBCF PDGBPADGE 0 60 的长 DP 18 本小题 13 分 设是等比数列 公比大于 0 其前项和为 是等差数列 已知 n an n S n b 求和的通项公式 设数列的前 1 1a 32 2aa 435 abb 546 2abb n a n b n S 项和为 求 证明 n n T n T 2 2 1 2 2 122 n n kkk k Tbb kkn 19 本小题 14 分 设椭圆的左焦点为 上顶点为 已知椭圆的离心率 22 22 10 xy ab ab FB 为 点的坐标为 且 求椭圆的方程 设直线 与椭 5 3 A 0b 6 2FBAB l 0ykx k 圆在第一象限的交点为 且 与直线交于点 若 为原点 求的值 PlABQ 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ Ok 20 本小题14分 已知函数 其中 求函数 x f xa logag xx 1a 的单调区间 若曲线在点处的切线与曲线在点 lnh xf xxa yf x 11 xf x yg x 处的切线平行 证明 证明 当时 存在直线 使 是曲 22 x g x 12 2lnln ln a xg x a 1 e ae ll 线的切线 也是曲线的切线 yf x yg x 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 解答 一 选择题 BCBAD ACA 二 填空题 9 10 11 12 13 14 4i 5 2 1 12 1 2 1 4 4 8 15 解 由正弦定理可得 故由题可得 sinsin ab AB sinsinaBbA sincos 6 aBaB 从而可得 又因为 所以 tan3B 0 B 3 B 由余弦定理可得 故 又 故 222 2cos7bacacB 7b sincos 6 bAaB 因 故 从而 3 sin 7 A ac 2 cos 7 A 4 3 sin22sincos 7 AAA 所以 2 1 cos22cos1 7 AA 3 3 sin 2sin2 coscos2 sin 14 ABABAB 16 解 由已知 甲 乙 丙三个部门的员工人数之比为 由于采用分层抽样的方法从中抽3 2 2 取 7 人 因此应从甲 乙 丙三个部门的员工中分别抽取 3 人 2 人 2 人 的可能取值为 X0 1 2 3 3 43 3 7 0 1 2 3 kk C C P Xkk C 所以 随机变量的分布列如右表所示 随机变量的数学期望XX 11218412 0123 353535357 EX 设事件为 抽取的 3 人中 睡眠充足的员工有 1 人 睡眠不足的员工有 2 人 事件为 抽取BC 的 3 人中 睡眠充足的员工有 2 人 睡眠不足的员工有 1 人 则 且与互斥 由 知 ABC BC 故所求概率 2P BP X 1P CP X 6 7 P AP BCP BP C 17 解 依题意 可以建立以为原点 分别以的方向为轴的正方向的空间直角D DA DC DG x y z 坐标系 如图 可得 0 0 0D 2 0 0A 1 2 0B 0 2 0C 2 0 2E 0 1 2F 0 0 2G 0 3 2 1M 1 0 2N X 0123 P 1 35 12 35 18 35 4 35 由题 设是平面的法向量 则 即 0 2 0DC 2 0 2DE nx y z CDE 0 0 n DC n DE 取得 又 20 220 y xz 1z 1 0 1n 故 又因为直线平面 所以平面 1 3 2 1MN 0MN n MN CDE MNCDE 由题 设是平面的法向量 1 0 0BC 1 2 2BE 0 1 2CF 1111 nx y z BCE 则 即 取得 设是平面的法向 1 1 0 0 n BC n BE 1 111 0 220 x xyz 1 1z 1 0 1 1n 2222 nxyz BCF 量 则 即 取得 故 2 2 0 0 nBC nBF 2 22 0 20 x yz 2 1z 2 0 2 1n 12 12 12 3 10 cos 10 n n n n nn 从而 所以二面角的正弦值为 12 10 sin 10 n n EBCF 10 10 设线段的长为 则 故 易知 为平DP 02hh 0 0 Ph 1 2 BPh 0 2 0DC 面的一个法向量 故 由题意得 ADGE 2 2 cos 5 BP DC BP DC BPDC h 0 2 23 sin60 2 5h 解得 所以线段的长为 3 3h DP3 3 18 解 设的公比为 的公差为 则由得 因 故 n aq n bd 1 32 1 2 a aa 2 20qq 0q 从而 由得 解得 故 所以 2q 1 2n n a 435 546 2 abb abb 1 1 34 31316 bd bd 1 1 1 b d n bn 1 2n n n a bn 由 知 故 1 2 21 1 2 n n n S 1 11 21222 nn kkn n kk Tnn 因 故 1 121 2 222 222 12121221 k kkk kkk kkk Tbbk kkkkkkkk 2 1 12 n kkk k Tbb kk 2121 12 1 22222 2 2121 12 kknn n k kknn 19 解 设椭圆的焦距为 由已知知 又由 可得 由已知可得 2c 2 2 5 9 c a 222 abc 23ab 而 故 从而 所以 椭圆的方程为 FBa 2ABb 6 2FBAB 6ab 3 2 a b 22 1 94 xy 设 则 又 11 P x y 2212 0Q xyyy 12 sinyyPQAOQ 2 2 2 sin y AQy OAB 且 故 可得 由消去 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ 2 12 25 2 sinsin 4 y AOQAOQ yy 12 59yy 22 1 94 xy ykx 可得 易知 由消去可得 因 x 1 2 6 94 k y k AB20 xy 20 xy ykx x 2 2 1 k y k 12 59yy 故 整理得 解得或 2 513 94kk 2 5650110kk 1 2 k 11 28 k 20 解 由题 故 令得 由知当x ln x h xaxa lnln x h xaaa 0h x 0 x 1a 变化时 的变化情况如右表所示 故函数的单 h x h x h x 调递减区间为 单调递增区间为 0 0 由可知曲线在点处的 ln x fxaa yf x 11 xf x 切线斜率为 由可知曲线在点 1 ln x aa 1 ln gx xa yg x 处的切线斜率为 因这两条切线平行 故 即 两 22 x g x 2 1 lnxa 1 2 1 ln ln x aa xa 1 2 2 ln1 x x aa 边取对数得 所以 21 log2logln0 aa xxa 12 2lnln 2logln ln a a xg xa a 曲线在点处的切线 曲线在点 yf x 1 1 x x a 1 l 11 1 ln xx yaaaxx yg x 处的切线 要证明当时 存在直线 使 是曲线 22 logaxx 2 l 22 2 1 log ln a yxxx xa 1 e ae ll 的切线 也是曲线的切线 只需证明当时 存在 yf x yg x 1 e ae 1 x 使得和重合 即只需证明当时 方程组有解 2 0 x 1 l 2 l 1 e ae 1 11 2 12 1 ln ln 1 lnlog ln x xx a aa xa ax aax a x 0 0 0 h x 0 h xA极小值A 由方程组消去得 因此 只需证明当时 关于的方程 2 x 11 1 12lnln ln0 lnln xx a ax aa aa 1 e ae 1 x 存在实数解 设 则要证明当时 函数存 12lnln ln lnln xx a u xaxaax aa 1 e ae yu x 在零点 因为 所以时 时单调递减 又 2 1ln x uxaxa 0 x 0ux 0 x ux 故存在唯一的 使得 即 010 u 2 1 ln 2 1 10 ln a ua a 0 0 x 0 0ux 因此在上单增 在上单减 在处取得极大值 0 2 0 1ln0 x ax a u x 0 x 0 x u x 0 xx 因 故 所以 0 u x 1 e ae lnln1a 下面