2015步步高高中数学文科第四章_4.6正弦定理、余弦定理及解三角形

4 6 正弦定理 余弦定理及解三角形正弦定理 余弦定理及解三角形 1 正弦 余弦定理 在 ABC 中 若角 A B C 所对的边分别是 a b c R 为 ABC 外接圆半径 则 定理正弦定理余弦定理 内容 2R a sin A b sin B c sin C a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 变形 1 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 2 sin A sin B sin a 2R b 2R C c 2R 3 a b c sin A sin B sin C 4 asin B bsin A bsin C csin B asin C csin A cos A b2 c2 a2 2bc cos B c2 a2 b2 2ac cos C a2 b2 c2 2ab 2 S ABC absin C bcsin A acsin B a b c r r 是三角形内切圆的半径 1 2 1 2 1 2 abc 4R 1 2 并可由此计算 R r 3 在 ABC 中 已知 a b 和 A 时 解的情况如下 A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式a bsin Absin A ab 解的 个数 一解两解一解一解 4 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫 仰角 目标视线在水平视线下方叫俯角 如图 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东 30 北偏西 45 等 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如 B 点的方位角为 如图 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在 ABC 中 A B 必有 sin A sin B 2 若满足条件 C 60 AB BC a 的 ABC 有两个 那么 a 的取值范围是 3 2 3 3 若 ABC 中 acos B bcos A 则 ABC 是等腰三角形 4 在 ABC 中 tan A a2 tan B b2 那么 ABC 是等腰三角形 5 从 A 处望 B 处的仰角为 从 B 处望 A 处的俯角为 则 的关系为 180 2 2013 湖南 在锐角 ABC 中 角 A B 所对的边长分别为 a b 若 2asin B b 则角 3 A 等于 A B C D 12 6 4 3 答案 D 解析 在 ABC 中 利用正弦定理得 2sin Asin B sin B sin A 3 3 2 又 A 为锐角 A 3 3 2013 陕西 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 bcos C ccos B asin A 则 ABC 的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 答案 B 解析 由 bcos C ccos B asin A 得 sin Bcos C sin Ccos B sin2A 即 sin B C sin2A 所以 sin A 1 由 0 A 得 A 所以 ABC 为直角三角形 2 4 在 ABC 中 B 60 AC 则 AB 2BC 的最大值为 3 答案 2 7 解析 由正弦定理知 AB sin C 3 sin 60 BC sin A AB 2sin C BC 2sin A 又 A C 120 AB 2BC 2sin C 4sin 120 C 2 sin C 2sin 120 cos C 2cos 120 sin C 2 sin C cos C sin C 3 2 2sin C cos C 2sin C 37 其中 tan 是第一象限角 3 2 由于 0 C 120 且 是第一象限角 因此 AB 2BC 有最大值 2 7 5 一船以每小时 15 km 的速度向东航行 船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60 方向 行驶 4 h 后 船到 B 处 看到这个灯塔在北偏东 15 方向 这时船与灯塔的距离为 km 答案 30 2 解析 如图所示 依题意有 AB 15 4 60 MAB 30 AMB 45 在 AMB 中 由正弦定理得 解得 BM 30 km 60 sin 45 BM sin 30 2 题型一 正 余弦定理的简单应用 例 1 1 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 bc sin C 2 3 sin B 则 A 等于 3 A 30 B 60 C 120 D 150 2 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 则 sin B sin C 的最大值为 A 0 B 1 C D 1 22 思维启迪 1 由 sin C 2sin B 利用正弦定理得 b c 的关系 再利用余弦定理求 A 3 2 要求 sin B sin C 的最大值 显然要将角 B C 统一成一个角 故需先求角 A 而题 目给出了边角之间的关系 可对其进行化边处理 然后结合余弦定理求角 A 答案 1 A 2 B 解析 1 sin C 2sin B 由正弦定理得 c 2b 33 cos A b2 c2 a2 2bc 3bc c2 2bc 3bc 2 3bc 2bc 3 2 又 A 为三角形的内角 A 30 2 已知 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 根据正弦定理 得 2a2 2b c b 2c b c 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 故 cos A 又 A 为三角形的内角 A 120 1 2 故 sin B sin C sin B sin 60 B cos B sin B sin 60 B 3 2 1 2 故当 B 30 时 sin B sin C 取得最大值 1 思维升华 1 在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更适合 或是两 个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或 边的二次式 要考虑用余弦定理 如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时 则 考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 2 解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 1 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 8b 5c C 2B 则 cos C 等于 A B C D 7 25 7 25 7 25 24 25 2 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b A C 2B 则角 A 的大小为 3 答案 1 A 2 6 解析 1 由正弦定理 b sin B c sin C 将 8b 5c 及 C 2B 代入得 b sin B 8 5b sin 2B 化简得 1 sin B 8 5 2sin Bcos B 则 cos B 4 5 所以 cos C cos 2B 2cos2B 1 2 2 1 故选 A 4 5 7 25 2 A C 2B 且 A B C B 3 由正弦定理知 sin A asin B b 1 2 又 a b A B A 6 题型二 正弦定理 余弦定理的综合应用 例 2 2012 课标全国 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 acos C asin C b c 0 3 1 求 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 3 思维启迪 利用正弦定理将边转化为角 再利用和差公式可求出 A 面积公式和余弦定 理相结合 可求出 b c 解 1 由 acos C asin C b c 0 及正弦定理得 sin Acos C sin Asin C sin 33 B sin C 0 因为 B A C 所以sin Asin C cos Asin C sin C 0 3 由于 sin C 0 所以 sin A 6 1 2 又 0 A 故 A 3 2 ABC 的面积 S bcsin A 故 bc 4 1 23 而 a2 b2 c2 2bccos A 故 b2 c2 8 解得 b c 2 思维升华 有关三角形面积问题的求解方法 1 灵活运用正 余弦定理实现边角转化 2 合理运用三角函数公式 如同角三角函数的基本关系 二倍角公式等 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边长分别是 a b c 1 若 c 2 C 且 ABC 的面积为 求 a b 的值 33 2 若 sin C sin B A sin 2A 试判断 ABC 的形状 解 1 c 2 C 3 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcos C 得 a2 b2 ab 4 又 ABC 的面积为 absin C ab 4 3 1 23 联立方程组Error Error 解得 a 2 b 2 2 由 sin C sin B A sin 2A 得 sin A B sin B A 2sin Acos A 即 2sin Bcos A 2sin Acos A cos A sin A sin B 0 cos A 0 或 sin A sin B 0 当 cos A 0 时 0 A A ABC 为直角三角形 2 当 sin A sin B 0 时 得 sin B sin A 由正弦定理得 a b 即 ABC 为等腰三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形 题型三 解三角形的实际应用 例 3 某渔轮在航行中不幸遇险 发出呼救信号 我海军舰艇在 A 处获悉后 立即测出该 渔轮在方位角为 45 距离为 10 n mile 的 C 处 并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向 以 9 n mile h 的速度向某小岛靠拢 我海军舰艇立即以 21 n mile h 的速度前去营救 求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化 但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等 先设 出所用时间 t 找出等量关系 然后解三角形 解 如图所示 根据题意可知 AC 10 ACB 120 设舰艇靠近 渔轮所需的时间为 t h 并在 B 处与渔轮相遇 则 AB 21t BC 9t 在 ABC 中 根据余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BC cos 120 所以 212t2 102 92t2 2 10 9t 即 1 2 360t2 90t 100 0 解得 t 或 t 舍去 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 2 3 5 12 2 3 h 此时 AB 14 BC 6 在 ABC 中 根据正弦定理得 BC sin CAB AB sin 120 所以 sin CAB 6 3 2 14 3 3 14 即 CAB 21 8 或 CAB 158 2 舍去 即舰艇航行的方位角为 45 21 8 66 8 所以舰艇以 66 8 的方位角航行 需 h 才能靠近渔轮 2 3 思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中 三角形可解 则至少要知道这个三角形的一条边长 解题中注意各个角的含义 根据这些角把需要的 三角形的内角表示出来 注意不要把角的含义弄错 不要把这些角与要求解的三角形的 内角之间的关系弄错 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶 端对于山坡的斜度为 15 如图所示 向山顶前进 100 m 后 又从 B 点测得斜度为 45 设建筑物的高为 50 m 求此山对于地平面的 斜度 的余弦值 解 在 ABC 中 BAC 15 CBA 180 45 135 AB 100 m 所以 ACB 30 由正弦定理 得 即 BC 100 sin 30 BC sin 15 100sin 15 sin 30 在 BCD 中 因为 CD 50 BC CBD 45 CDB 90 100sin 15 sin 30 由正弦定理 得 50 sin 45 100sin 15 sin 30 sin 90 解得 cos 1 3 因此 山对地面的斜度的余弦值为 1 3 代数式化简或三角运算不当致误 典例 12 分 在 ABC 中 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 试判断 ABC 的形 状 易错分析 1 从两个角的正弦值相等直接得到两角相等 忽略两角互补情形 2 代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子 导致漏解 3 结论表述不规范 规范解答 解 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B b2 sin A B sin A B a2 sin A B sin A B 2sin Acos B b2 2cos Asin B a2 即 a2cos Asin B b2sin Acos B 4 分 方法一 由正弦定理知 a 2Rsin A b 2Rsin B sin2Acos Asin B sin2Bsin Acos B 又 sin A sin B 0 sin Acos A sin Bcos B sin 2A sin 2B 8 分 在 ABC 中 0 2A 2 0 2B 2 2A 2B 或 2A 2B A B 或 A B 2 ABC 为等腰或直角三角形 12 分 方法二 由正弦定理 余弦定理得 a2b b2a b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0 或 a2 b2 c2 0 即 a b 或 a2 b2 c2 ABC 为等腰或直角三角形 12 分 温馨提醒 1 判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化 使之变为只含边或只 含角的式子然后判断 注意不要轻易两边同除以一个式子 2 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外 在变形 过程中要注意角 A B C 的范围对三角函数值的影响 方法与技巧 1 应熟练掌握和运用内角和定理 A B C 中互补和互余的情况 结合 A 2 B 2 C 2 2 诱导公式可以减少角的种数 2 正 余弦定理的公式应注意灵活运用 如由正 余弦定理结合得 sin2A sin2B sin2C 2sin B sin C cos A 可以进行化简或证明 3 合理利用换元法 代入法解决实际问题 失误与防范 1 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他 的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 2 利用正 余弦定理解三角形时 要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 1 在 ABC 中 若 A 60 B 45 BC 3 则 AC 2 A 4 B 2 33 C D 3 3 2 答案 B 解析 由正弦定理得 所以 AC 2 AC sin B BC sin A BCsin B sin A 3 2sin 45 sin 60 3 2 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 cos A 则 ABC 为 c b A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等边三角形 答案 A 解析 依题意得 cos A sin C sin Bcos A sin C sin B 所以 sin A B sin Bcos A 即 sin Bcos A cos Bsin A sin Bcos A 0 所以 cos Bsin A0 于是有 cos B 0 B 为钝角 ABC 是钝角三角形 3 2012 湖南 ABC 中 AC BC 2 B 60 则 BC 边上的高等于 7 A B 3 2 3 3 2 C D 3 6 2 3 39 4 答案 B 解析 设 AB a 则由 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos B 知 7 a2 4 2a 即 a2 2a 3 0 a 3 负值舍去 BC 边上的高为 AB sin B 3 3 2 3 3 2 4 2013 辽宁 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 asin Bcos C csin Bcos A b 且 a b 则 B 等于 1 2 A B C D 6 3 2 3 5 6 答案 A 解析 由条件得 sin Bcos C sin Bcos A a b c b 1 2 依正弦定理 得 sin Acos C sin Ccos A 1 2 sin A C 从而 sin B 1 2 1 2 又 a b 且 B 0 因此 B 6 5 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 已知 b2 c b 2c 若 a cos 6 A 则 ABC 的面积等于 7 8 A B C D 3 1715 15 2 答案 C 解析 b2 c b 2c b2 bc 2c2 0 即 b c b 2c 0 b 2c 又 a cos A 解得 c 2 b 4 6 b2 c2 a2 2bc 7 8 S ABC bcsin A 4 2 1 2 1 2 1 7 8 2 15 2 二 填空题 6 2013 安徽 设 ABC 的内角 A B C 所对边的长分别为 a b c 若 b c 2a 3sin A 5sin B 则角 C 答案 2 3 解析 由已知条件和正弦定理得 3a 5b 且 b c 2a 则 a c 2a b 5b 3 7b 3 cos C 又 0 C 因此角 C a2 b2 c2 2ab 1 2 2 3 7 在 ABC 中 若 b 5 B tan A 2 则 a 4 答案 2 10 解析 由 tan A 2 得 sin A 2cos A 又 sin2A cos2A 1 得 sin A 2 5 5 b 5 B 4 根据正弦定理 有 a sin A b sin B a 2 bsin A sin B 2 5 2 210 8 如图 设 A B 两点在河的两岸 一测量者在点 A 的同侧的河岸 边 选定一点 C 测出 AC 的距离为 50 m ACB 45 CAB 105 则 A B 两点的距离为 答案 50 m 2 解析 由正弦定理得 AB sin ACB AC sin B 所以 AB 50 AC sin ACB sin B 50 2 2 1 22 三 解答题 9 2013 北京 在 ABC 中 a 3 b 2 B 2 A 6 1 求 cos A 的值 2 求 c 的值 解 1 在 ABC 中 由正弦定理 a sin A b sin B 3 sin A 2 6 sin 2A 2 6 2sin Acos A cos A 6 3 2 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A 32 2 2 c2 2 2c 66 6 3 则 c2 8c 15 0 c 5 或 c 3 当 c 3 时 a c A C 由 A B C 知 B 与 a2 c2 b2矛盾 2 c 3 舍去 故 c 的值为 5 10 2013 江西 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cos C cos A sin A cos B 0 3 1 求角 B 的大小 2 若 a c 1 求 b 的取值范围 解 1 由已知得 cos A B cos Acos B sin Acos B 0 3 即有 sin Asin B sin Acos B 0 3 因为 sin A 0 所以 sin B cos B 0 3 即cos B sin B 3 因为 0 B0 所以 cos B 0 所以 tan B 3 即 B 3 2 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos B 因为 a c 1 cos B 1 2 所以 b2 a c 2 3ac a c 2 3 2 a c 2 a c 2 1 4 1 4 b 1 2 又 a c b b 1 b 1 1 2 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 1 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asin Asin B bcos2A a 则 2 等于 b a A 2 B 2 C D 3232 答案 D 解析 asin Asin B bcos2A a 2 sin Asin Asin B sin Bcos2A sin A 2 sin B sin A 2 b a sin B sin A2 2 有一长为 1 的斜坡 它的倾斜角为 20 现高不变 将倾斜角改为 10 则斜坡长为 A 1 B 2sin 10 C 2cos 10 D cos 20 答案 C 解析 如图 ABC 20 AB 1 ADC 10 ABD 160 在 ABD 中 由正弦定理得 AD sin 160 AB sin 10 AD AB 2cos 10 sin 160 sin 10 sin 20 sin 10 3 2013 浙江 在 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 若 sin BAM 则 1 3 sin BAC 答案 6 3 解析 因为 sin BAM 所以 cos BAM 如图 在 ABM 中 利 1 3 2 2 3 用正弦定理 得 所以 BM sin BAM AM sin B BM AM sin BAM sin B 1 3sin B 1 3cos BAC 在 Rt ACM 中 有 sin CAM sin BAC BAM 由题意知 BM CM CM AM 所以 sin BAC BAM 1 3cos BAC 化简 得 2sin BACco