人教版高中数学椭圆专题复习资料

第 1 页 共 8 页 高中数学椭圆的专题复习高中数学椭圆的专题复习 椭圆知识点梳理椭圆知识点梳理 1 1 椭圆的定义椭圆的定义 1 2 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 参数方程 其中为参数 焦x1 2 2 2 2 b y a x 222 abc cos sin xa yb 点在轴上时 1 方程表示椭圆的充要条件是什么 ABC 0 且y 2 2 2 2 b x a y 0ab 22 AxByC A B C 同号 A B 2 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 范围 焦点 两个焦点1 2 2 2 2 b y a x 0ab axabyb 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 四个顶点 其中长轴长为 2 0 c 0 0 xy 0 0 ab 短轴长为 2 准线 两条准线 离心率 椭圆 越小 椭圆越圆 越ab 2 a x c c e a 01e ee 大 椭圆越扁 通径 2 2b a 2 点与点与椭圆的位置关系椭圆的位置关系 1 点在椭圆外 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆上 1 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 3 点在椭圆内 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 3 3 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 2 相切 直线与椭圆相切 3 相离 直线0 0 0 与椭圆相离 如如 直线 y kx 1 0 与椭圆恒有公共点 则 m 的取值范围是 答 1 5 5 22 1 5 xy m 4 4 焦半径 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法的计算方法 利用圆锥曲线的第二定义 转化到相应准线的 距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离 0 redaex d 如 如 1 1 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3 则点 P 到右准线的距离为 答 10 3 1 1625 22 yx 2 2 椭圆内有一点 F 为右焦点 在椭圆上有一点 M 使 之值最小 则点1 34 22 yx 1 1 PMFMP2 M 的坐标为 答 1 3 62 5 5 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题问题 当 2 0 tan 2 Sbc y 即为短轴端点时 的最大值为 bc 0 yb P max S 6 6 弦长公式 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的横坐标 则 ykxb 12 x xAB 第 2 页 共 8 页 若分别为 A B 的纵坐标 则 若弦 AB 所在直线方程设为 2 12 1kxx 12 y yAB 21 2 1 1yy k 则 特别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公xkyb AB 2 12 1kyy 式计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 7 7 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆中 以1 2 2 2 2 b y a x 为中点的弦所在直线的斜率 k 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 如 如 1 1 如果椭圆弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 答 22 1 369 xy 2 2 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在280 xy 22 22 1 0 xy ab ab 直线 L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 答 3 3 试确定 m 的取值范围 使得椭圆 2 2 上有不同的两点关于直线对称 答 1 34 22 yx mxy 4 2 13 2 13 1313 特别提醒特别提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 务必别忘0 了检验 0 椭圆知识点椭圆知识点 1 1 如何确定椭圆的标准方程 任何椭圆都有一个对称中心 两条对称轴 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点 对称轴是坐标轴 椭圆的方 程才是标准方程形式 此时 椭圆焦点在坐标轴上 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件 两个定形条件 一个定位条件焦点坐标 由焦点坐标的形式确定ba 标准方程的类型 2 2 椭圆标准方程中的三个量的几何意义cba 椭圆标准方程中 三个量的大小与坐标系无关 是由椭圆本身的形状大小所确定的 分别表示椭圆的长cba 半轴长 短半轴长和半焦距长 均为正数 且三个量的大小关系为 且 0 ba 0 ca 222 cba 可借助右图理解记忆 显然 恰构成一个直角三角形的三条边 其中 a 是斜边 cba b c 为两条直 第 3 页 共 8 页 角边 3 如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上 因此已知标准方程 判断焦点位置的方法是 看 的分母的大小 哪个分母大 2 x 2 y 焦点就在哪个坐标轴上 4 方程是表示椭圆的条件均不为零 CBACByAx 22 方程可化为 即 所以只有 A B C 同号 且 AB 时 方程表CByAx 22 1 22 C By C Ax 1 22 B C By A C x 示椭圆 当时 椭圆的焦点在轴上 当时 椭圆的焦点在轴上 B C A C x B C A C y 5 求椭圆标准方程的常用方法 待定系数法 由已知条件确定焦点的位置 从而确定椭圆方程的类型 设出标准方程 再由条件确定方程中 的参数的值 其主要步骤是 先定型 再定量 cba 定义法 由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形 然后再根据定义确定方程 6 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点 则 c 相同 与椭圆共焦点的椭圆方程可设为 此1 2 2 2 2 b y a x 0 ba1 2 2 2 2 mb y ma x 2 bm 类问题常用待定系数法求解 7 判断曲线关于轴 轴 原点对称的依据 xy 若把曲线方程中的换成 方程不变 则曲线关于轴对称 xx y 若把曲线方程中的换成 方程不变 则曲线关于轴对称 yy x 若把曲线方程中的 同时换成 方程不变 则曲线关于原点对称 xyx y 8 如何求解与焦点三角形 PF1F2 P 为椭圆上的点 有关的计算问题 思路分析 与焦点三角形 PF1F2有关的计算问题时 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理 或勾股定理 三角形 面积公式相结合的方法进行计算解题 2121 sin 2 1 21 PFFPFPFS FPF 将有关线段 有关角 结合起来 建立 2121 FFPFPF 21PF F 21PF F 21BF F 21 PFPF 之间的关系 21 PFPF 9 如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化 离心率 因为 用 10 e a c e 222 bac 0 ca 表示为 ba 10 1 2 e a b e 显然 当越小时 越大 椭圆形状越扁 当越大 越小 椭圆形状越趋近于圆 a b 10 ee a b 10 ee 第 4 页 共 8 页 椭椭 圆圆 题型题型 1 椭圆定义的运用椭圆定义的运用 例 1 已知为椭圆的两个焦点 过的直线交椭圆于 A B 两点若 则 12 F F 22 1 259 xy 1 F 22 12F AF B AB 例 2 椭圆有这样的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线 经椭圆反射后 反射光线经过椭圆的另一个焦点 今有一个水平放置的椭圆形台球盘 点 A B 是它的焦点 长轴长为 2a 焦距为 2c 静放在点 A 的小球 小球的半 径不计 从点 A 沿直线出发 经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时 小球经过的路程是 例 3 如果方程表示焦点在 x 轴的椭圆 那么实数 k 的取值范围是 22 2xky 例 4 已知为椭圆上的一点 分别为圆和圆上的点 则P 22 1 2516 xy M N 2 2 31xy 2 2 34xy 的最小值为 PMPN 题型题型 2 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 例 1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 经过两点 2 3 A 2 3 1 B 2 经过点 2 3 且与椭圆具有共同的焦点 3649 22 yx 3 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 4 2 题型题型 3 求椭圆的离心率 或范围 求椭圆的离心率 或范围 例 1 中 若以为焦点的椭圆经过点 则椭圆的离心率为 ABC 0 30 2 3 ABC AABS A BC 例 2 过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P 若 为等腰直角三角形 则椭圆的离心率为 2 F 12 FPF 题型题型 4 椭圆的其他几何性质的运用 范围 对称性等 椭圆的其他几何性质的运用 范围 对称性等 第 5 页 共 8 页 例 1 已知实数满足 则的范围为 x y 22 1 42 xy 22 xyx 例 2 已知 P 是椭圆上一点 是椭圆的两个焦点 求的最大值与最小值 22 22 1 xy ab 12 F F 12 PFPF 例 3 已知点是椭圆 上两点 且 则 A B 22 22 1 xy mn 0 0mn AOBO 例 4 如上图 把椭圆的长轴分成 8 等份 过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于 22 1 2516 xy AB x 七个点 是椭圆的一个焦点 则 1 234567 P P P P P P P F 1234567 PFP FPFP FPFP FP F 题型题型 5 焦点三角形问题 焦点三角形问题 例 1 已知为椭圆的两个焦点 p 为椭圆上的一点 已知为一个直角三角形的三个顶点 12 F F 22 1 94 xy 12 P F F 且 求的值 12 PFPF 1 2 PF PF 例 2 已知为椭圆 C 的两个焦点 在 C 上满足的点的个数为 12 F F 22 1 84 xy 12 PFPF 例 3 若为椭圆的两个焦点 p 为椭圆上的一点 当为钝角时 点 P 横坐标的取值范围为 12 F F 22 1 94 xy 12 FPF 例 4 已知椭圆的焦点是 且经过点 1 求椭圆的方程 设点 P 在椭圆上 且 1 0 1 0 21 FF 3 2 求 cos 1 21 PFPF 21PF F 题型题型 6 三角代换的应用三角代换的应用 例 1 椭圆上的点到直线 l 的距离的最小值为 22 1 169 xy 90 xy 第 6 页 共 8 页 例 2 椭圆的内接矩形的面积的最大值为 22 1 169 xy 题型题型 7 直线与椭圆的位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系的判断 例 1 当为何值时 直线与椭圆相交 相切 相离 myxm 22 1 169 xy 例 2 若直线与椭圆恒有公共点 求实数的取值范围 1Rkkxy 1 5 22 m yx m 题型题型 8 弦长问题 弦长问题 例 3 求直线被椭圆所截得的弦长 24yx 22 4 1 99 xy 例 4 已知椭圆的左右焦点分别为 F1 F2 若过点 P 0 2 及 F1的直线交椭圆于 A B 两点 求 ABF2 2 2 1 2 x y 的面积 题型题型 9 中点弦问题 中点弦问题 例 5 求以椭圆内的点 A 2 1 为中点的弦所在的直线方程 22 1 85 xy 例 6 中心在原点 一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 求椭圆的方程 1 0 50 F32yx 1 2 例 7 椭圆 与直线 相交于 两点 是 的中点 若 斜率为 22 1mxny 1xy 2 2AB O 为原点 求椭圆的方程 2 2 题型题型 10 椭圆与向量 解三角形的交汇问题 椭圆与向量 解三角形的交汇问题 例 6 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于 两点 点与点关于轴对称 P x yxy AB QPy 为坐标原点 若 且 求点的轨迹方程 O2BPPA 1OQ AB P 第 7 页 共 8 页 15 如图 在 Rt ABC 中 CAB 90 AB 2 AC 一曲线 E 过点 C 动点 P 在曲线 E 上运动 且保持 2 2 PA PB 的值不变 直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M N 两点 1 建立适当的坐标系 求曲线 E 的方程 2 设直线 l 的斜率为 k 若 MBN 为钝角 求 k 的取值范围 基础巩固训练基础巩固训练 1 如图 椭圆中心在原点 F 是左焦点 直线与 BF 交于 D 且 则椭圆的离心 1 AB 1 BDB 率为 2 设为椭圆的两焦点 P 在椭圆上 当面积为 1 时 12 F F 2 2 1 4 x y 12 FPF 的值为 12 PF PF 3 椭圆的一条弦被平分 那么这条弦所在的直线方程是 22 1 369 xy 4 2A 4 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的离心率 ABC 90A 3 tan 4 B A BCe 5 若为椭圆的两个焦点 P 为椭圆上一点 若 则此椭圆的离心率为 12 F F 3 2 1 211221 PFFFPFFPF 6 在平面直角坐标系中 椭圆的焦距为 2 以 O 为圆心 为半径的圆 过点作圆的 22 22 1 0 xy ab ab a 2 0 a c 两切线互相垂直 则离心率 e 综合提高训练综合提高训练 7 已知椭圆与过点 A 2 0 B 0 1 的直线 l 有且只有一个公共点 T 且椭圆的离心率 22 22 1 0 xy ab ab 求椭圆方程 3 2 e 第 8 页 共 8 页 8 已知 A B 分别是椭圆的左右两个焦点 O 为坐标原点 点 P在椭圆上 线段