人教版初一数学上册知识点

1 初一上册数学知识点初一上册数学知识点 第一章第一章 有理数有理数 知识点一 有理数的分类知识点一 有理数的分类 有理数的另一种分类有理数的另一种分类 有理数有理数 整数整数 分数分数 正整数 负整数 0 负分数 正分数 自然数 想一想 零是整数吗 自然数一定是整数吗 自然数一定是正整数吗 整数一定是 自然数吗 零是整数 自然数一定是整数 自然数不一定是正整数 因为零也是自然数 整数不一定是自然数 因为负整数不是自然数 判断正误 不带 号的数都是正数 如果 a 是正数 那么 a 一定是负数 不存在既不是正数 也不是负数的数 表示没有温度 知识点二 数轴知识点二 数轴 1 填空 正有理数正有理数 零零 负有理数负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 有理数有理数 含正有限小数和无限循环小数 含负有限小数和无限循环小数 2 规定了唯一的 原点 正方向 和 单位长度 三要素三要素 的直线直线叫 做数轴 比 3 大的负整数是 已知 是整数且 4 m 号连接 知识点五 有理数加减法知识点五 有理数加减法 1 有理数的加 减法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝 对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 一个数同 0 相加 仍得这个数 减去一个数 等于加上这个数的相反数 2 计算 25 0 5 4 1 8 5 10 18 25 12 4 2131 1 3344 2 4028 19 24 32 2411 3 0 5 3523 5 知识点六 乘除法法则知识点六 乘除法法则 两数相乘 同号得 正正 异号得 负负 并把绝对值 相乘相乘 0 乘以任何数 都得 0 0 几个不为 0 的数相乘 积的符号由负因数的个数负因数的个数确定 负因数的个数为 偶偶 数数 时 积为正 负因数的个数为 奇数奇数 时 积为负 两数相除 同号得 正正 异号得 负负 并把绝对值 相除相除 0 除以任何一个 不等于 0 的数 都得 0 0 有理数中仍然有 乘积是 1 的两个数互为 倒数倒数 除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的 倒数倒数 知识点七 乘方知识点七 乘方 乘方定义 乘方定义 求n个相同因数的积的运算 叫做乘方 中 底数是 指数是 幂是乘方的结果 读作 的 n 次方 或 的 nanaa 次幂 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 0 0 的的 任何正整数次幂都是任何正整数次幂都是 0 0 1 填空 23中 底数是 指数是 结果是 读作 2 2中 底数是 结果是 5 中 底数是 指数是 中 底数是 指数是 幂是 2 3 2 18表示 个 相乘 结果是 2 计算 32 23 14 3 2 05 0 13 知识点八 运算律及混合运算知识点八 运算律及混合运算 1 基本知识 加法交换律 乘法交换律 加法结合律 abba abba cbacba n a 6 乘法结合律 乘法分配律 有理数混合运算顺序 先 乘方 再 乘除 最后算 加减 有括号 先算 括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 同级运算 从左到右进行 2 计算 知识点九 科学记数法近似数知识点九 科学记数法近似数 把一个大于 10 的数表示成的形式 其中是整数数位只有一位的数 n a 10 a 即 1 a 10 是正整数 使用的是科学记数法科学记数法 如 n 7 107 557000000 知识点十 近似数知识点十 近似数 1 1 近似数 近似数 在一定程度上反映被考察量的大小 能说明实际问题的意义 与准 确数非常地接近 像这样的数我们称它为近似数 2 2 近似数的分类 近似数的分类 1 具体近似数 如 30 2 58 0 2 带单位近似数 如 2 4 万 3 科学记数法 如 5 102 3 3 3 精确度 精确度 用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数 有一个近似程 度的问题 这个近似程度就是精确度 四舍五入到哪一位 就说精确到哪一位 看精确度得到原数中去看在哪一位上 如如 2 4 2 4 万精确到千位 而非十分位 因万精确到千位 而非十分位 因 为为 2 42 4 万就是万就是 2400024000 4 4 在千位上在千位上 4 4 有效数字 有效数字 对于一个不为 0 的近似数 从左边第一个不为 0 的数字起 到末 尾数止 所有数字都是这个近似数的有效数字 求近似数要求保留 n 个有效数字时 第 n 1 个有效数字作四舍五入处理 例 0 0109 有三个有效数字 1 0 9 要求保留 2 个有效数字时 0 0109 的第 cbacba acabcba 3 12 6 1 15 90 5 7 2 6 25 8 48 3 25 0 4 3 3 2 42 4 7 三个有效数字 9 四舍五入 变为 0 0110 保留两个有效数字 1 1 后求出近似 数 0 0109 0 011 5 5 计算 计算 按括号内的要求 用四舍五入法对下列各数取近似数 1 0 1296 精确到 0 1 0 01 0 001 2 220 45 精确到个位 0 1 3 0 0099999 保留 3 个有效数字 第二章第二章 整式的加减整式的加减 知识点一 整式的相关概念知识点一 整式的相关概念 代数式中的一种有理式 不含除法运算或分数 以及虽有除法运算及分数 但除式或分母中不含变数者 则称为整式整式 分母中含有字母有除法运算的 那么式子叫做分式分式 1 1 单项式单项式 数或字母的积 如 5n 等 单个的数或字母也是单ab 3 2 2 x 项式 1 单项式的系数系数 单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数 如果一个单项式 只含有数字因数 系数是它本身 次数是 0 2 单项式的次数次数 一个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式 的次数 非零常数的次数为 0 2 2 多项式多项式 1 概念 几个单项式的和叫做多项式 在多项式中 每个单项式叫做多 项式的项 其中不含字母的项叫做常数项 一个多项式有几项就叫做几项式 2 多项式的次数次数 多项式中 次数最高的项的次数 就是这个多项式的 次数 3 多项式的排列排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来 叫做把多项 式按这个字母降幂排列降幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排 列起来 叫做把多项式按这个字母升幂排列升幂排列 在做多项式的排列的题时注意 1 由于单项式的项包括它前面的性质符号 因此在排列时 仍需把每一项 的性质符 8 看作是这一项的一部分 一起移动 2 有两个或两个以上字母的多项式 排列时 要注意 a 先确认按照哪个字母的指数来排列 b 确定按这个字母降幂排列 还是升幂排列 3 整式整式 单项式和多项式统称为整式 4 列代数式的几个注意事项 列代数式的几个注意事项 1 数与字母相乘 或字母与字母相乘通常使用 乘 或省略不写 2 数与数相乘 仍应使用 乘 不用 乘 也不能省略乘号 3 数与字母相乘时 一般在结果中把数写在字母前面 如 a 5 应写成 5a 4 带分数与字母相乘时 要把带分数改成假分数形式 如 a 应写成a 2 1 1 2 3 5 在代数式中出现除法运算时 一般用分数线将被除式和除式联系 如 3 a 写成的 a 3 形式 6 a 与 b 的差写作 a b 要注意字母顺序 若只说两数的差 当分别设两数为 a b 时 则应分类 写做 a b 和 b a 知识点二 整式的加减运算知识点二 整式的加减运算 1 1 同类项同类项的概念 所含字母相同 并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项 几个常数项也是同类项 同类项与系数无关 与字母排列的顺序也无关 2 2 合并同类项合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 法则 同类 项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指数不变 不能合并的项单 独作为一项 不可遗漏 3 3 整式加减实质整式加减实质就是去括号 合并同类项 注 注 去括号时 如果括号外的因数是正数 去括号后原括号内各项的符号与原 来的符号相同 如果括号外的因数是负数 去括号后原括号内各项的符号与原 来的符号相反 一般地 几个整式相加减 如果有括号就先去括号 然后再合先去括号 然后再合 并同类项并同类项 4 4 几个重要的代数式 几个重要的代数式 m m n n 表示整数 表示整数 1 a 与 b 的平方差是 a2 b2 a 与 b 差的平方是 a b 2 2 若 a b c 是正整数 则两位整数是 10a b 则三位整数是 100a 10b c 3 若 m n 是整数 则被 5 除商 m 余 n 的数是 5m n 偶数是 2n 9 奇数是 2n 1 三个连续整数是 n 1 n n 1 4 若 b 0 则正数是 a2 b 负数是 a2 b 非负数是 a2 非正数 是 a2 补充例题如下 10 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 知识点一 方程的相关概念知识点一 方程的相关概念 等式等式 表示相等关系的式子 方程方程 含有未知数的等式 方程一定是等式方程一定是等式 但等式不一定是方程但等式不一定是方程 方程的解方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 解方程解方程 求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程 一元一次方程一元一次方程 只含一个一个未知数 未知数的次数是未知数的次数是 1 1 并且等式两边都是整式整式 的方程 同解方程同解方程 两方程的解相同 知识点二 等式的性质知识点二 等式的性质 等式的性质等式的性质 1 1 等式两边加 或减 同一个数 或式子 结果仍相等 即 如果 那么 ba cbca 等式的性质等式的性质 2 2 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 即 如果 那么 如果 那么 ba bcac 0 cba c b c a 知识点三 解一元一次方程知识点三 解一元一次方程 一般解法 一般解法 去分母 两边同乘以各分母的最小公倍数 11 去括号 移项 移项要变号 合并同类项 把方程化成 ax b a 0 的形式 系数化为 1 两边同除以未知数的系数 得到方程的解 x b a 一一元元一一次次方方程程的的应应用用 重重点点难难点点 列方程解应用题的关键关键是 仔细审题 找出能正确表达题目整体数量关系的一 个相等关系 再设未知数 并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来 几种常见问题 几种常见问题 1 1 和差倍分问题和差倍分问题 这类问题主要是正确理解是几倍 增加了几倍 增加到几 倍 多少 大小 不足 剩余 等关键词语的意义 2 2 行程相遇问题行程相遇问题 三个基本量的关系 路程路程 速度速度 时间时间 1 两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间 甲的路程 乙的 路程 一圈的长度 直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同 2 两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间 快人的路程 慢 人的路程 一圈的长度 3 3 工程任务问题 工程任务问题 三个基本量的关系 工作量工作量 工作效率工作效率 工作时间工作时间 一般情况下 把全部工作量看做把全部工作量看做 1 1 即即 100 100 工作效率工作效率 1 1 工作时间 工作时间 各个量一 定要对应 自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量 合作效率合作效率 各个人的各个人的 效率之和效率之和 4 4 利润问题 利润问题 利润 售价 成本 成本 利润率 利润率 利润 成本 实际售价 标价 折扣率 5 5 分配问题 分配问题 例 某车间有 22 名工人加工生产一种螺栓和螺母 每人每天平均 生产螺栓 120 个或螺母 200 个 一个螺栓要配两个螺母一个螺栓要配两个螺母 建立等量关系的依据 应该分配多少名工人生产螺栓 多少名工人生产螺母 才能使每天生产的产品 刚好配套 6 6 水上航行问题 水上航行问题 顺水速度 静水速度 水流速度 逆水速度 静水速度 水流速 度 应用举例 应用举例 1 一本书 小明第一天读了十分之一 第二天读了 10 页 已读的是未读的 1 4 请问这本书一共有多少页 等量关系 已读的 未读的 总页数 或已读的 总页数 未读的 未读的 总页数 已读的 2 某服装七月份下降了 10 八月份上升了 10 则八月份价格与原价比 12 A 不变 B 增加 1 C 减少 9 D 减少 1 注意 不要误以为不变注意 不要误以为不变 百分数的基数不一样会变化百分数的基数不一样会变化 7 7 月份是在原价基础上下月份是在原价基础上下 降降 10 810 8 月份是在月份是在 7 7 月份基础上上升月份基础上上升 10 10 而不再是在原价基础上上升 而不再是在原价基础上上升 3 甲乙两人在 400 米的圆形跑道上跑步 甲每秒跑 9 米 乙每秒跑 7 米 1 当两人同时同地背向而行时 经过多少秒后两人首次相遇 2 当两人同时同地同向而行时 经过多少秒后两人首次相遇 分析 1 设经过 x 秒首次相遇 两人加起来跑完一圈即 400 米时首次相遇 所以 等量关系式是 甲的路程 乙的路程 一圈的长度 400 米 甲的路程 甲的速度 时间 x 乙的路程 乙的速度 时间 x 得到方程 9x 7x 400 2 设经过 x 秒首次相遇 同向首次相遇 即快的人多跑一圈与慢的人相遇 所以等量关系式是 快人的路程 慢人的路程 一圈的长度 400 米 在这即是甲的 路程 乙的路程 400 4 一项任务 甲独做需 x 天 乙独做需 y 天 若两人合作需 天 分析 合作时间 工作量 合作效率 工作量 1 合作效率 甲的效率 乙的效 率 甲的效率 工作量 甲的时间 1 x 乙的效率 工作量 乙的时间 1 y 合作时间 1 1 x 1 y 5 某种商品每件的进价为 250 元 按标价的 9 折销售时 利润率为 15 2 这种商 品每件标价多少元 分析 设标价 x 元 等量关系 利润 求 成本 已知 250 元 利润率 已知 15 2 利润 实际售价 标价的 9 折即 90 x 成本 250 90 x 250 250 15 2 练习 小明 小红买工具 所带钱之比为 7 6 小明用掉 50 元 小红用掉 60 元 两人余下钱之比为 3 2 求他们分别余下多少钱 第四章第四章 图形认识初步图形认识初步 知识点一 几何图形知识点一 几何图形 1 我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形几何图形 2 有些几何图形的各部分不都在同一平面内 它们是立体图形立体图形 如长方体 正 方体 圆柱 圆锥 球 棱柱 棱锥等 13 3 有些几何图形的各部分都在同一平面内 它们是平面图形平面图形 如线段 角 三 角形 长方形 圆等 4 立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形 但是立体图形中某些部分 是平面图形 对于一些立体图形的问题 常把它们转化为平面图形来研究和处 理 有些立体图形是由一些平面图形围成的 将它们的表面适当剪开 可以展 开成平面图形 这样的平面图形成为相应立体图形的展开图展开图 知识点二 点 线 面 体知识点二 点 线 面 体 1 立体图形是几何体 简称体体 包围着体的是面面 面有平面和曲面 面和面相 交的地方形成线线 线有直线和曲线 线和线相交的地方是点 点 2 几何图形都是由点 线 面 体组成 点点是构成图形的基本元素 知识点三 直线 射线 线段知识点三 直线 射线 线段 1 线段 线段 直线上两个点和它们之间的部分叫线段 这两个点叫线段的端点 射线 射线 将线段向一个方向一个方向无限延长就形成了射线 直线 直线 将线段向两个方向两个方向无限延长就形成了直线 2 点与直线的位置关系 点 p 在直线 a 上 或说直线 a 经过点 p 点 p 不在直线 a 上 或说直线 a 不经过点 p 过一点可画无数条无数条直线 过两点有且仅有一条一条直线 简述为 两点确定一条两点确定一条 直线直线 3 线段的中点 线段的中点 把一线段分成两相等线段的点 两点的所有连线中 线段最短 简述为 两点之间 线段最短两点之间 线段最短 两点间的距离 两点间的距离 连接两点间的线段线段的长度长度 线段的长短比较 线段的长短比较 度量法 叠合法 判断 两点间的距离是指两点间的线段 两点间连线的长度叫这两点间的距离 知识点四 角知识点四 角 角 角 由两条具有公共端点引出射线组成的图形 也可看做是由一射线绕端点旋转 而成 角的表示 角的表示 三个大写字母 一个大写字母 不混淆情况下方可使用 一个数字 一 个希腊字母 角的要素 角的要素 顶点和边 角的大小与边的长短无关 角的单位 角的单位 度 分 秒 1 的 60 分之一为 1 分 记作 1 即 1 60 1 的 60 分之一为 1 秒 记作 1 即 1 60 角的大小比较 角的大小比较 度量法 叠合法 角平分线 角平分线 从一个角的顶点引出一条射线射线 把这个角分成两个等角 这条射线 14 叫角平分线 余角和补角 余角和补角 如果两个角的和等于 90 90 直角 就说这两个角互为余角余角 如 果两个角的和等于 180 180 平角 就说这两个角互为补角补角 性质 性质 等角的补角相等 等角的余角相等 题型一 作图题题型一 作图题 例1 已知 线段 m n 如图 求作 线段 AC 使 AC m n 作法 1 作射线 AM 2 在射线 AM 上截取 AB m 3 在线段 AB 上截取 BC n 则线段 AC 就是所求作的线段 题型二 线段的分类考虑题型二 线段的分类考虑 例例 2 2 已知线段AB 8cm 在直线AB上画线段BC 使它等于 3cm 求线段AC的 长 解 解 本题分两种情况 如图 4 4 9 所示 当点C在线段AB的延长线上时 AC AB BC 8 3 11 crn 如图 4 4 10 所示 当点C在线段AB上时 AC AB BC 8 3 5 cm 所以线段AC的长为 11 cm 或 5cm 例例 3 3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是 A 1 或 3 B 3 C 2 D 1 解析 解析 这道题要分两种情况考虑 一是这三点都在一条直线上时 就只能 画出一条直线 二是这三点不在同一条直线上时 此时共可以画出三条直线 答案 答案 A 题型三 题型三 两角互补 互余定义及其性质的应用两角互补 互余定义及其性质的应用 例例 4 4 一个角的补角是这个角的 4 倍 求这个角的度数 解 解 设这个角是x 则它的补角是 180 x 由题意 得 180 x 4 x 解得x 36 所以这个角是 36 点拨点拨 本题主要考查补角定义的应用 数学中利用方程 转化思想 可将 形 的问题转化为 数 的问题研究 从而简捷解决问题 m n 15 例例 5 5 如果一个角的补角是 120 那么这个角的余角是 A 30 B 60 C 90 D 150 解析 解析 本题是对余角 补角的综合考查 先根据这个角的补角是 120 求出这个角是 60 再求出它的余角是 30 答案 答案 A 例例 6 6 根据补角的定义和余角的定义可知 10 的角的补角是170 余角是80 15 的角的补角是 165 余角是 75 32 的角的补角是 148 余角是 58 观察以上各组数据 你能得出怎样的结论 请用任意角 代替题中 的 10 15 32 的角来说明你的结论 解 解 结论为 一个角的补角比这个角的余角大 90 说明 设任意角是 0 90 的补角是 180 的余角 是 90 则 180 90 90 题型四 题型四 角的有关运算角的有关运算 例例 7 7 如图 4 4 3 所示 AB和CD都是直线 AOE 90 3 FOD 1 27 20 求 2 3 的度数 解 解 因为 AOE 90 所以 2 90 1 90 27 20 62 40 又因为 AOD 180 1 152 40 3 FOD 所以 3 AOD 76 20 1 2 所以上 2 62 40 3 76 20 例例 8 8 如图 4 4 4 所示 OB OC是 AOD内任意两条射 线 OM平分 AOB ON平分 COD 若 MON BOC 用 表示 AOD 解 解 因为 MON BOC 所以 BOM CON MON BOC 又OM平分 AOB ON平分 COD 所以 AOB COD 2 BOM 2 CON 2 BOM CON 2 所以 AOD AOB COD BOC 2 2 例例 9 9 1 用度 分 秒表示 54 12 2 32 44 24 等于多少度 3 计算 133 22 43 3 解 解 1 因为 0 12 60 0 12 7 2 0 2 60 0 2 12 所以 54 12 54 7 12 2 因为 24 24 0 4 44 4 44 4 0 74 1 60 1 60 所以 32 44 24 32 74 3 133 22 43 3 132 82 3 43 3 44 82 3 43 3 44 81 1 3 43 3 44 27 1 3 43 3 44 27 103 3 44 27 3 44 27 3 方法总结方法总结 16 角的有关运算是指角的单位换算和角的加 减 乘 除运算 角度制的单 位是 60 进制的 和计量时间的时 分 秒一样 加减时 要将度 分 秒分 别相加 相减 分 秒逢 60 要进位 而相减不够时要借 1 作 60 度 分 秒 形式乘一个数时 要将度 分 秒分别乘这个数 分 秒逢 60 进位