2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 平面解析几何(教师版)

平面解析几何平面解析几何 一 高考预测一 高考预测 解析几何初步的内容主要是直线与方程 圆与方程和空间直角坐标系 该部分内容是整 个解析几何的基础 在解析几何的知识体系中占有重要位置 但由于在高中阶段平面解析几 何的主要内容是圆锥曲线与方程 故在该部分高考考查的分值不多 在高考试卷中一般就是 一个选择题或者填空题考查直线与方程 圆与方程的基本问题 偏向于考查直线与圆的综合 试题难度不大 对直线方程 圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行 根据近年来各地 高考的情况 解析几何初步的考查是稳定的 预计 2012 年该部分的考查仍然是以选择题或 者填空题考查直线与圆的基础知识和方法 而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一 在高考中一般有 1 2 个选择题或者填空 题 一个解答题 选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆 双曲线 抛物线的定义 标 准方程和简单几何性质及其应用 试题考查主要针对圆锥曲线本身 综合性较小 试题的难 度一般不大 解答题中主要是以椭圆为基本依托 考查椭圆方程的求解 考查直线与曲线的 位置关系 考查数形结合思想 函数与方程思想 等价转化思想 分类与整合思想等数学思 想方法 这道解答题往往是试卷的压轴题之一 由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干 知识 在高考命题上已经比较成熟 考查的形式和试题的难度 类型已经较为稳定 预计 2012 年仍然是这种考查方式 不会发生大的变化 解析几何的知识主线很清晰 就是直线方程 圆的方程 圆锥曲线方程及其简单几何性 质 复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上 要在解题方法 解题思想上深入 下去 解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线 曲线的某些几何性质 代数方程是解题的桥梁 要掌握一些解方程 组 的方法 掌握一元二次方程的知识在解析几 何中的应用 掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法 数学思想方法在解析几何问题中 起着重要作用 数形结合思想占首位 其次分类讨论思想 函数与方程思想 化归与转化思 想 如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数 通过函数的最值研究几何中的 最值 复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用 二 知识导学二 知识导学 一 直线的方程 1 点斜式 11 xxkyy 2 截距式 bkxy 3 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 4 截距式 1 b y a x 5 一般式 0 CByAx 其中 A B 不同时为 0 二 两条直线的位置关系 两条直线1 l 2 l 有三种位置关系 平行 没有公共点 相交 有且只有一个公共点 重合 有无数个公共点 在这三种位置关系中 我们重点研究平行与相交 设直线1 l y 1 k x 1 b 直线2 l y 2 k x 2 b 则 1 l 2 l 的充要条件是1 k 2 k 且1 b 2 b 1 l 2 l 的充要条件是1 k 2 k 1 三 圆的有关问题 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 222 rbyax r 0 称为圆的标准方程 其圆心坐标为 a b 半径为 r 特别地 当圆心在原点 0 0 半径为 r 时 圆的方程为 222 ryx 2 2 圆的一般方程圆的一般方程 0 22 FEyDxyx FED4 22 0 称为圆的一般方程 其圆心坐标为 2 D 2 E 半径为 FEDr4 2 1 22 当FED4 22 0 时 方程表示一个点 2 D 2 E 当FED4 22 0 时 方程不表示任何图形 3 3 圆的参数方程圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系 222 ryx cos sin xr yr 为参数 222 rbyax cos sin xar ybr 为参数 四 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点1 F 2 F 的距离的和大于 1 F 2 F 这个条件不可忽视 若这个距离之和小于 1 F 2 F 则这样的点不存在 若距离之和等于 1 F 2 F 则动点的轨迹是线段1 F 2 F 2 椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 1 2 2 2 2 b x a y a b 0 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果 2 x项的分母大 于 2 y 项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 4 求椭圆的标准方程的方法 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定 系数法求解 五 椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 范围 a x a b x b 所以椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里 对称性 分别关于 x 轴 y 轴成轴对称 关于原点中心对称 椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心 顶点 有四个1 A a 0 2 A a 0 1 B 0 b 2 B 0 b 线段1 A 2 A 1 B 2 B 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 所以椭圆和它的对称轴有四个交点 称为椭圆的顶点 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比a c e 叫做椭圆的离心率 它的值表示椭圆的扁平 程度 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 时 椭圆就越接近于圆 椭圆的四个主要元素 a b c e 中有 2 a 2 b 2 c a c e 两个关系 因此确定椭圆的 标准方程只需两个独立条件 六 椭圆的参数方程 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的参数方程为 cos sin xa yb 为参数 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同 tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程 1 2 2 2 2 b y a x 与三角恒等式 1sincos 22 相比较而 得到 所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 七 双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点1 F 2 F 的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于 1 F 2 F 的动点M的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条件 2a 1 F 2 F 这一条件 可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 若 2a 1 F 2 F 则动点的轨迹是两条射 线 若 2a 1 F 2 F 则无轨迹 若 1 MF 2 MF 时 动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 1 MF 2 MF 时 轨 迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 2 双曲线的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 和 1 2 2 2 2 b x a y a 0 b 0 这里 222 acb 其中 1 F 2 F 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 1 的常数 离心率 的点的轨迹叫做双曲线 对于双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 它的焦点坐标是 c 0 和 c 0 与它们对应的准线方程分别是c a x 2 和c a x 2 在双曲线中 a b c e 四个元素间有a c e 与 222 bac 的关系 与椭圆一样确定双曲线的标准方程 只要两个独立的条件 九 抛物线的标准方程和几何性质 1 抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫 抛物线 这个定点 F 叫抛物线的焦点 这条定直线 l 叫抛物线的准线 需强调的是 点 F 不在直线 l 上 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 而不是抛物线 2 抛物线的方程有四种类型 2 2ypx 2 2ypx 2 2xpy 2 2xpy 对于以上四种方程 应注意掌握它们的规律 曲线的对称轴是哪个轴 方程中的该项即 为一次项 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向 一次项前面是负号 则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向 3 抛物线的几何性质 以标准方程 y2 2px 为例 1 范围 x 0 2 对称轴 对称轴为 y 0 由方程和图像均可以看出 3 顶点 O 0 0 注 抛物线亦叫无心圆锥曲线 因为无中心 4 离心率 e 1 由于 e 是常数 所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的 5 准线方程2 p x 6 焦半径公式 抛物线上一点 P x1 y1 F 为抛物线的焦点 对于四种抛物线的 的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形或轨迹 注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念 斜率k反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度 当斜率k存在时 直线方程通常用点斜式或斜截式表示 当斜率不存在时 直线方程为 x a a R R 因此 利用直线的点斜式或斜截式方程解题时 斜率 k 存在与否 要分别考虑 直线的截距式是两点式的特例 a b 分别是直线在 x 轴 y 轴上的截距 因为 a 0 b 0 所以当直线平行于 x 轴 平行于 y 轴或直线经过原点 不能用截距式求出它的 方程 而应选择其它形式求解 求解直线方程的最后结果 如无特别强调 都应写成一般式 当直线1 l 或2 l 的斜率不存在时 可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 在处理有关圆的问题 除了合理选择圆的方程 还要注意圆的对称性等几何性质的运 用 这样可以简化计算 2 用待定系数法求椭圆的标准方程时 要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上 还是两种 都存在 注意椭圆定义 性质的运用 熟练地进行 a b c e 间的互求 并能根据所给 的方程画出椭圆 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定系数法求解 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 x a b y 或 表示为 0 2 2 2 2 b y a x 若已知双曲线的渐近线方程是 x n m y 即 0 nymx 那么双曲 线的方程具有以下形式 kynxm 2222 其中 k 是一个不为零的常数 双曲线的标准 方程有两个 1 2 2 2 2 b y a x 和 1 2 2 2 2 b x a y a 0 b 0 这里 222 acb 其中 1 F 2 F 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 求抛物线的标准方 程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再求抛物线的标准方程 要线根据题设判 断抛物线的标准方程的类型 再由条件确定参数 p 的值 同时 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者 相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 解题的策略有 1 注意直线倾斜角范围 设直线方程时注意斜率是否存在 可以设成 包含斜率不存在情况 但不包含斜率为 0 情况 注意截距为 0 的情况 注意点关于直线对 称问题 光线的反射问题 注意证明曲线过定点方法 两种方法 特殊化 分离变量 2 注意二元二次方程表示圆的充要条件 善于利用切割线定理 相交弦定理 垂径定理等平面 中圆的有关定理解题 注意将圆上动点到定点 定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距 离 注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理 余弦定理 以过某点的线段为弦的面积 最小的圆是以线段为直径 而面积最大时 是以该点为线段中点 3 注意圆与椭圆 三角 向量 注意利用加减法转化 利用模与夹角转化 然后考虑坐标化 结合 4 注意构建平 面上的三点模型求最值 一般涉及 和 的问题有最小值 差 的问题有最大值 只有当 三点共线时才取得最值 5 熟练掌握求椭圆方程 双曲线方程 抛物线方程的方法 待定 系数法或定义法 注意焦点位置的讨论 注意双曲线的渐近线方程 焦点在轴上时为 焦 点在 轴上时为 注意化抛物线方程为标准形式 即 2p p 的关系 注意利用比例思想 减少变量 不知道焦点位置时 可设椭圆方程为 6 熟练利用圆锥曲线的第一 第二定义 解题 熟练掌握求离心率的题型与方法 特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意 利用比例思想方法 减少变量 7 注意圆锥曲线中的最值等范围问题 产生不等式的条件 一般有 法 离心率 的范围 自变量 的范围 曲线上的点到顶点 焦点 准 线的范围 注意寻找两个变量的关系式 用一个变量表示另一个变量 化为单个变量 建立 关于参数的目标函数 转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 可考虑利用数形结合法 注意点是要考虑曲线上点坐标 x y 的取值范围 离心率范围以 及根的判别式范围 8 求轨迹方程的常见方法 直接法 几何法 定义法 相关点法 9 注意利用向量方法 注意垂直 平行 中点等条件以向量形式给出 注 意将有关向量的表达式合理变形 特别注意遇到角的问题 可以考虑利用向量数量积解决 10 注意存在性 探索性问题的研究 注意从特殊到一般的方法 三 易错点点睛三 易错点点睛 命题角度命题角度 1 1 对椭圆相关知识的考查对椭圆相关知识的考查 1 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P 若 FlPF2为等 腰直角三角形 则椭圆的离心率是 12 2 2 2 12 2 2 DCBA 考场错解 A 专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义 错误地把 2 1 PF PF 当作离心率 对症下药 D 设椭圆的方程为 2 2 2 2 b y a x l a b 0 由题意可设 PF2 F1F2 k PF1 2k 则 e 12 2 2 2 kk k a c 2 设双曲线以椭圆 925 22 yx 1 长轴的两个端点为焦点 其准线过椭圆的焦点 则双曲线的渐 近线的斜率为 A 2 B 3 4 C 2 1 D 4 3 考场错解 D 由题意得 a 5 b 3 则 c 4 而双曲线以椭圆 925 22 yx 1 长轴的两个端点为 焦点 则 a c 4 b 3 k 4 3 a b 专家把脉 没有很好理解 a b c 的实际意义 对症下药 C 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x 1 则由题意知 c 5 c a2 4 则 a2 20 b2 5 而 a 2 5 b 5 双曲线渐近线斜率为 a b 2 1 3 从集合 1 2 3 11 中任选两个元素作为椭圆方程 2 2 2 2 n y m x 1 中的 m 和 n 则能组成落 在矩形区域 B x y x 11 且 y 9 内的椭圆个数为 A 43 B 72 C 86 D 90 考场错解 D 由题意得 m n 都有 10 种可能 但 m n 故椭圆的个数 10 10 10 90 专家把脉 没有注意 x y 的取值不同 对症下药 B 由题意得 m 有 10 种可能 n 只能从集合 11 2 3 4 5 6 7 81 中选取 且 m n 故椭圆的个数 10 8 8 72 4 设直线 l 与椭圆 1625 22 yx 1 相交于 A B 两点 l 又与双曲线 x2 y2 1 相交于 C D 两点 C D 三等分线段 AB 求直线 l 的方程 考场错解 设直线 l 的方程为 y kx b 如图所示 l 与椭圆 双曲线的交点为 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 依题意有 ABDBAC 3CD 由 1 0 40025 50 2516 1 1625 222 22 bbkxxk yx bkxy 得 所以 x1 x2 2516 50 2 k bk 由 1 22 yx bkxy 得 1 k2 x2 2bkx b2 1 0 2 若 k 1 则 l 与双曲线最多只有一个交点 不合题意 故 k 1 所以 x3 x4 2 1 2 k bk 由 BDAC x3 x1 x2 x4 x1 x2 x3 x4 22 1 2 2516 50 k bk k bk bk 0 或 b 0 当 k 0 时 由 1 得 x1 2 2 16 4 5 b 由 2 得 x3 4 1 2 b 由 12 3xxCDAB 3 x4 x1 即 13 16 1616 4 10 22 bbb 故 l 的方程为 y 13 16 当 b 0 时 由 1 得 x1 2 2 2516 20 k 由 2 得 x3 4 2 1 1 k 由 12 3xxCDAB 3 x4 x3 即 25 16 25 16 1 6 2516 40 22 xylk kk 的方程为故 综上所述 直 线 l 的方程为 y xy 25 16 13 16 专家把脉 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在 致使造成思维片面 漏解 对症下药 解法一 首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的 情况 设直线 l 的方程为 y kx b 如图所示 l 与椭圆 双曲线的交点为 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 依题意有 CDABBDAC3 由 1 1625 22 yx bkxy 得 16 25k2 x2 50bkx 25b2 400 0 1 所以 x1 x2 2516 50 2 k bk 由 1 22 yx bkxy 得 1 k2 x2 2bkx b2 1 0 若 k 1 则 l 与双曲线最多只有一个交点 不合题意 故 k 1 所以 x3 x4 2 1 2 k bk 由 4213 xxxxBDAC x1 x2 x2 x4 00 1 2 2516 50 22 kbk k bk k bk 或 b 0 当 k 0 时 由 1 得 16 4 5 2 2 1 bx 由 2 得 x3 4 1 2 b 由 33 12 xxCDAB x4 x3 即 13 16 116 4 10 22 bbb 故 l 的方程为 y 13 16 当 b 0 时 由 1 得 x1 2 2 2516 20 k 自 2 得 x3 4 33 1 1 12 2 xxCDAB k 由 x4 x3 即 25 16 1 6 2516 40 22 k kk 故 l 的方程为 y x 25 16 再讨论 l 与 x 轴垂直时的情况 设直线 l 的方程为 x c 分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl 2 25 5 4 2 c y3 4 3 3 1 3412 2 yyyyCDABc 由 即 241 25 241 25 1625 5 8 22 xlccc的方程为故 综上所述 直线 l 的方程是 y 25 16 x y 13 16 和 x 241 25 x3 4 1 2 b x2 x1 3 x4 x3 4 10 13 16 1616 22 bbb 故 l 的方程为 y 13 16 当 y0 0 x0 0 由 2 得 x4 x3 0 这时 l 平行 y 轴 设 l 的方程为 x c 分别代入椭圆 双曲线方程得 yl 2 25 5 4 2 c y3 4 1 2 c y2 y1 3 y4 y3 241 25 1625 5 8 22 ccc 故 l 的方程为 241 25 x 当 x0 0 y0 0 时 这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直 设 l 的方程为 y kx 分别代入 椭圆 双曲线方程得 x1 2 1 1 2516 20 2 4 3 2 k x k 25 16 3 3412 kxxxx 故 l 的方 程为 y 25 16 xy 综上所述 直线 l 的方程是 y x 25 16 y 13 16 和 x 241 25 5 设 A B 是椭圆 3x2 y2 上的两点 点 N 1 3 是线段 AB 的中点 线段 AB 的垂直平分线 与椭圆相交于 C D 两点 1 确定 A 的取值范围 并求直线 AB 的方程 试判断是否 存在这样的 A 使得 A B C D 四点在同一个圆上 并说明理由 此题不要求在答题卡上画 图 考场错解 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 yx yx x1 x2 x1 x2 yl y2 yl y2 0 依题意 x1 x2 kAB 21 21 3 xx yy N 1 3 是 AB 的中点 x1 x2 2 yl y2 6 从而 kAB 9 又 由 N 1 3 在椭圆内 3 12 32 12 应用结论时也易混淆 对症下药 1 解法 1 依题意 可设直线 AB 的方程为 y A x 1 3 代入 3x2 y2 整理 得 k2 3 x2 2k k 3 x k 3 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2是方程 的两 个不同的根 4 k2 3 3 k 3 2 0 且 x1 x2 3 3 2 2 k kk 由 N 1 3 是线段 AB 的中点 得 1 2 21 xx A k 3 k2 3 解得 k 1 代入 得 12 即 的取值范围是 12 于是 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 yx yx x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 依题意 x1 x2 kAB 21 21 3 yy xx N 1 3 是 AB 的中点 x1 x2 2 yl y2 6 从而 kAB 1 又由 N 1 3 在椭圆内 3 12 32 12 的取值范围是 12 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 1 CD 垂直平分 AB 直线 CD 的方程为 y 3 x 1 即 x y 2 0 代入椭圆方 程 整理得 4x2 4x 4 又设 C x3 y3 D x4 y4 CD 的中点为 M x0 y0 则 x3 x4是方程 的两根 x3 x4 1 且 x0 2 1 x3 x4 2 1 y0 x0 2 2 3 即 M 2 1 2 3 于是由弦长公式可得 CD 3 2 1 1 43 2 xx k 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程得 4x2 8x 16 0 同理可得 AB 12 2 1 21 2 xxk 当 12 时 3 2 12 2 AB 12 使得 A B C D 四点共圆 则 CD 必为圆的直径 点 M 为圆心 点 M 到直 线 AB 的距离为 d 2 23 2 4 2 3 2 1 2 4 00 yx 于是 由 式和勾股定理可得 MA 2 MB 2 d2 2 2 3 2 12 2 9 2 22 CDAB 故当 12 时 A B C D 四点均在以 M 为圆心 2 CD 为半径的圆上 注 上述解法中最后一步可按如下解法获得 A B C D 共圆 ACD 为直角三角形 A 为直角 AN 2 CN DN 即 2 2 2 2 d CD d CDAB 由 式知 式左边 2 12 由 和 知 式右边 2 12 2 9 2 3 2 23 2 3 2 2 23 2 3 2 式成立 即 A B C D 四点共圆解法 2 由 解法 1 及 12 CD 垂直平分 AB 直线 CD 方程为 y 3 x 1 代入椭圆方程 整理得 4x2 4x 4 0 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程 整理得 4x2 8x 16 0 解 和 式可得 xl 2 2 31 2 122 4 3 x 不妨设 A 1 2 33 2 31 2 33 2 31 12 2 1 3 12 2 1 DC 2 1233 2 3123 2 1233 2 3123 CA CA 计算可得 0 CACA A 在以 CD 为直径的圆上 又 B 为 A 关于 CD 的对称点 A B C D 四点共圆 注 也可用勾股定理证明 AC AD 专家会诊专家会诊 1 重点掌握椭圆的定义和性质 加强直线与椭圆位置关系问题的研究 2 注重思 维的全面性 例如求椭圆方程时只考虑到焦点在 轴上的情形 研究直线与椭圆位置关系时 忽略了斜率不存在的情形 3 注重思想方法的训练 在分析直线与椭圆位置关系时要利用数 形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决 关于参数范围问题常用思路有 判别 式法 自身范围法等 求椭圆的方程常用方法有 定义法 直接法 待定系数法 相关点法 参数法等 命题角度命题角度 2 2 对双曲线相关知识的考查对双曲线相关知识的考查 1 已知双曲线 x2 2 2 y 1 的焦点为 F1 F2 点 M 在双曲线上且 0 21 MFMF 则点 M 到 x 轴的 距离为 3 3 32 3 5 3 4 DCBA 考场错解 B 专家把脉 没有理解 M 到 x 轴的距离的意义 对症下药 C 由题意得 a 1 b 2 c 3可设 M x0 y0 MF1 ex0 a 3x0 1 MF2 ex0 a 3x0 1 由 MF1 2 MF2 2 F1F2 2得 x02 3 32 3 4 3 5 0 2 0 yy则 即点 M 到 x 轴的距离为 3 3 2 2 已知双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 右准线与一条渐近线交于点 A OAF 的 面积为2 2 a O 为原点 则两条渐近线的夹角为 A 30 B 45 C 60 D 90 考场错解 B 专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角 对症下药 D 由题意得 A c ab c a 2 s OAF 2 1 c ba a ab c ab 22 1 2 则两条渐近线为 了 y x 与 y x 则求两条渐近线的夹角为 90 解不等式 得 5 2 5 01 5 4 5 2 eeee的取值范围是所以由于 专家会诊专家会诊 1 注意双曲线两个定义的理解及应用 在第二定义中 要强调 e 1 必须明确焦 点与准线的对应性 2 由给定条件求出双曲线的方程 常用待定系数法 当焦点位置不确定 时 方程可能有两种形式 应防止遗漏 3 掌握参数 a b c e 的关系 渐近线及其几 何意义 并注意灵活运用 命题角度命题角度 3 3 对抛物线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A B 两点 它们的横坐标之和等于 5 则这样的直线 A 有且仅只有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在 考场错解 D 由题意得 AB 5 p 4 通径长为 2 4 8 54 则这样 的直线有且仅有两条 解法二 用待定系数法设直线方程为 y k x 1 采用设而不求的方法 求出 k 有两个值 即直线有且仅有两条 2 设 A x1 y1 B x2 y2 两点在抛物线 y 2x2上 l 是 AB 的垂直平分线 1 当且仅当 x1 x2取何值时 直线 l 经过抛物线的焦点 F 证明你的结论 当直线 l 的斜率为 2 时 求 l 在 y 轴上截距的取值范围 考场错解 设 l 在 y 轴上的截距为 b 依题意得 l 的方程为 y 2x b 过点 A B 的直线方程可写为 y 2 1 mx 与 y 2x2联立得 2x2 2 1 x m 0 得 x1 x2 4 1 设 AB 的中点 N 的坐标为 x0 y0 则 x0 2 1 x1 x2 8 1 y0 2 1 x0 m 16 1 m 由 N l 得16 1 m 4 1 b 于是 b 16 5 16 5 m 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 16 5 专家把脉 没有借助 0 来求出 m 32 1 无法进一步求出 b 的范围 只好胡乱地把 m 当作大于或等于 0 对症下药 1 F l FA FB A B 两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的 准线是 x 轴的平行线 y1 0 y2 0 依题意 y1 y2不同时为 0 上述条件等价于 yl y2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 上述条件等价于 x1 x2 0 即当且仅当 x1 x2 0 时 l 经过抛物线的焦点 F 设 l 在 y 轴上的截距为 b 依题意得 l 的方程为 y 2x b 过点 A B 的直线方程可写为 y 2 1 x m 所以 x1 x2满足方程 2x2 2 1 x m 0 得 x1 x2 4 1 A B 为抛物线上不同的两点 等价于上述方程的判别式 4 1 8m 0 即 m 32 1 设 AB 的中点 N 的坐标为 x0 y0 则 x0 2 1 x1 x2 8 1 y0 2 1 x0 m 16 1 m 由 N l 得16 1 m 4 1 b 于是 b 16 5 m 32 9 32 1 16 5 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 32 9 3 如图 过抛物线 y2 2px p 0 上一定点 p x0 y0 y0 0 作两条直线分别交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 1 求该 抛物线上纵坐标为2 P 的点到其焦点 F 的距离 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 求 0 21 y yy 的值 并证明直线 AB 的斜率是非零常数 考场错解 1 当 y 2 p 时 x 8 p 又抛物线的准线方程为 x P 由抛物线定义得 所求距离为 8 9 8 pp p 设直线 PA 的斜率为 kPA 直线 PB 的斜率为 kPB由 y21 2px1 y20 2px0 相减得 yl y0 y1 y0 2P x1 x0 故 kPA 01 2 yy P x1 x0 同理可得 kpB 01 2 yy P x2 x0 由 kPA kPB得 y0 2 yl y2 故 2 1 0 21 y yy 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22 2px2 y21 2px1 相减得 y2 y1 y2 y1 2P x2 x1 故 kAB 2 21 2112 12 xx yy p xx yy 将 y1 y2 2 1 y0 y0 0 代入得 kAB 0 4 y p 故 kAB是非零常数 专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程 计算不够准确 对症下药 1 当 y 2 p 时 x 8 p 又抛物线 y2 2px 的准线方程为 x 2 p 由抛物线定义得 所求距离为8 p 2 p 8 5p 设直线 PA 的斜率为 kPA 直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12 2px1 y20 2px0相减得 y1 y0 yl y0 2P x1 x0 故 kPA 0101 01 2 yy p xx yy x1 x0 同理可得 kPB 01 2 yy p x2 x0 由 PA PB 倾斜角互补知 kPA kPB 即 01 2 yy p 02 2 yy p 所以 yl y2 2y0 故 0 21 y yy 2 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22 2px2 y21 2pxl 相减得 y2 y1 y2 y1 2p x2 x1 所以 2 21 2112 12 xx yy p xx yy kAB 将 yl y2 2y0 y0 0 代入得 2 021 y p yy p kAB 所以 kAB是非零常数 4 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2上异于坐标原点 O 的两不同动点 A B 满足 AO BO 如图所示 1 求 AOB 的重心 C 即三角形三条中线的交点 的轨迹方 程 AOB 的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 考场错解 设 AOB 的重心为 G x y A x1 y1 B x2 y2 则 1 3 3 21 21 yy y xx x OA 0 OBOAOB x1x2 yly2 0 2 又点 A B 在抛物线上 有 y1 x12 y2 x22代入 2 化简得 xlx2 0 或 1 y 3 1 3 1 3 2 2 2 1 21 xx yy x1 x2 2 2x1x2 3x2 3 2 或 3x2 故重心为 G 的轨迹方程为 y 3x2 或 y 3x2 3 2 专家把脉 没有考虑到 x1x2 0 时 AOB 不存在 对症下药 设 AOB 的重心为 G x y A x1 y1 B x2 y2 则 1 3 3 21 21 yy y xx x 2 0 1 2121 yyxxkkOBOA OBOA 即 又点 A B 在抛物线上 有 y1 x12 y2 x22代入 2 化 简得 xlx2 1 y 3 1 3 1 3 2 2 2 1 21 xx yy x1 x2 2 2x1x2 3 2 3 3 1 2 x 3x2 3 2 所以重心为 G 的轨迹方程为 y 3x2 3 2 S AOB 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 yyyxyxxxyxyxOBOA 由 1 得 S AOB 12 2 1 2 1 2 2 1 22 2 1 2 2 1 66 2 6 1 6 2 6 1 xxxx 当且仅当 x16 x26即 x1 x2 1 时 等号成立 所以 AOB 的面积存在最小值 最小值为 1 专家会诊专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程 注意分类讨论思想 凡涉及抛物线的弦长 弦的 中点 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理 能避免求交点坐标的复杂运算 解决焦点弦问 题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 x1 yl 1 12 5 x2 y2 1 由此得 x1 12 5 x2 由于 x1 x2都是方程 的根 且 1 a2 0 所 以 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 5 1 2 12 17 a a x a a x 消去 x2得 13 17 60 289 1 2 2 2 a a a 专家把脉 1 没有考虑到 1 a2 0 没有注意到题目本身的条件 a 0 对症下药 1 由 C 与 l 相交于两个不同的点 故知方程组 1 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解 消去 y 并整理得 1 a2 x2 2a2x 2a2x 2a2 0 所以 0 1 84 01 224 2 aaa a 解得 0 a2 6 且 e 2 即离心率 e 的取值范围为 2 6 2 设 A x1 y1 B x2 y2 P 0 1 PBPA 12 5 x1 y1 1 12 5 x2 y2 1 由此得 x1 12 5 x2 由于 x1 x2都是方程 的根 且 1 a2 0 所以12 17 x2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 5 1 2 a a x a a 消 x2 得 60 289 1 2 2 2 a a 由 a 0 所以 a 13 17 2 给定抛物线 C y2 4x F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 1 设 l 的 斜率为 1 求OA与OB夹角的大小 设 AFFB 若 4 9 求 l 在 y 轴上截距的 变化范围 考场错解 1 设OA与OB夹角为 由题意 l 的方程为了 y x 1 将 y x 1 代入 y2 4x 得 x2 6x 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 x1 x2 6 x1x2 1 易得OA OB x1x2 y1y2 3 41 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxOBOA cos 41 413 OBOA OBOA arccos 由题意知 AFFBAFFB 过 A B 分别作准线的垂线 垂足分别为 A B FB BB AF AA BB AA 4 9 设 l 的方程为 y k x 1 由 xy xky 4 1 2 得 k2x2 2k2 4 x k2 0 x 2 22 122 k kk AA 2 22 122 k kk l 2 22 12 1 2 k kk BB 2 22 2 22 12 1 2122 k kk k kk 4 3 3 4 0 9 12 1 2 12 1 2 4 12 1 2 12 1 2 22 22 22 22 kk kk kk kk kk AA BB 专家把脉 没有理解反余弦的意义 思路不清晰 对症下药 1 C 的焦点为 F 1 0 直线 l 的斜率为 1 所以 l 的方程为了 y x 1 将 y x 1 代入方程 y2 4x 并整理得 x2 6x 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 xl x2 6 x1x2 1 OBOA x1 y1 x2 y2 x1x2 yly2 2x1x2 x1 x2 1 3 所以OA与OB夹角的大小为 arc cos 41 413 由题设 AFFB 得 x2 1 y2 1 x1 y1 即 12 12 1 1 yy xx 由 得 y22 2y21 y21 4x1 y22 4x2 x2 2x1 联立 解得 x2 依题意有 0 B 2 或 B 2 又 9 1 0 得直 线 3 2 1 2 e 2 当 PF1 F1F2 时 同理可得 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 c e ce c e ce 解得 e2 3 于是 1 3 2 3 当 PF2 F1F2 时 同理可得 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 c e ce c e ce 4c2 解得 e2 1 于是 1 1 0 综上所述 当 3 2 或 2 或 0 时 PF1F2 F2为等腰三角形 专家把脉 1 没有注意到因为 PF1 l 所以 PF1F2 90 BAF1为钝角 要使 PF1F2 为等腰三角形 必有 PF1 F1F2 2 没有注意到椭圆离心率的范围 对症下药 1 证法一 因为 A B 分别是直线 l y ex a 与 x 轴 y 轴的交点 所以 A B 的坐标分别是 0 e a 0 a 由 1 222 2 2 2 2 bac c b y cx b y a x aexy 这里得 所以点 M 的坐标是 c a b2 由 ABAM 得 c a b e a 2 e a a 即 2 2 1e a a b e a c e a 解得 证法二 因为 A B 分别是直线 l y ex a 与 x 轴 y 轴的交点 所以 A B 的坐标分别是 e a 0 0 a 设 M 的坐标是 x0 y0 由 ABAM 得 a e a x 0 所以 1 0 0 ay e a x 因为点 M 在椭圆上 所以 2 2 0 2 2 0 b y a x 1 即 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 eeb a a e a 所以 e4 2 1 e2 1 2 0 解得 e2 1 即 1 e2 解法一 因为 PF1 l 所以 PF1F2 90 BAF1为钝角 要使 PF1F2为等腰三角形 必有 PF1 F1F2 即2 1 PF1 c 设点 F1到 l 的距离为 d 由2 1 PF1 d c e eca e ace 22 1 1 0 得 2 2 1 1 e e e 所以 e2 3 1 于是 1 e2 3 2 即当 3 2 时 PF1F2为等腰三角形 解法二 因为 PF1 l 所以 PF1F2 90 BAF1为钝角 要使 PF1F2为等腰三角形 必 有 PF1 F1F2 设点 P 的坐标是 x0 y0 则 a cx e y ecx y 22 0 10 00 0 0 解得 1 1 2 1 3 2 2 0 2 2 0 e ae y e e x 由 PF1 FlF2 得 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 e ae c e ce 4c2 两边同时除以 4a2 化简得 1 1 1 2 e e e2 从而 e2 3 1 于是 l e2 3 2 即当 3 2 时 PF1F2 为等腰三角形 4 抛物线 C 的方程为 y ax2 a 0 过抛物线 C 上一点 P x0 y0 x0 0 作斜率为 k1 k2的两 条直线分别交抛物线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 两点 P A B 三点互不相同 且满足 k2 k1 0 0 且 1 求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 设直线 AB 上一点 M 满足BM MA 证明 线段 PM 的中点在 y 轴上 当 A 1 时 若点 P 的坐标为 1 1 求 PAB 为钝角时点 A 的 纵坐标 y1的取值范围 考场错解 1 抛物线 C 的方程 y ax2 a 0 得 焦点坐标为 4 a 0 准线方程为 x 4 a P 1 1 在 y ax2上 故 a 1 y x2 由 易得 y1 k1 1 2 y2 k2 1 2 因此 直线 PA PB 分别与抛物线 C 的交点 A B 的坐 标为 A k1 1 k21 2k1 1 B k1 1 k21 2k1 1 于是AP k1 2 k21 2k1 AB 2k1 4k1 ABAP 2k1 k1 2 2k1 1 因 PAB 为钝角且 P A B 三点互不相同 故必有AP AB 0 易得 k1的取值范围是 k1 2 或2 1 kl 0 又 yl k1 1 2 故当 k1 2 时 y 1 当 2 1 k1 0 时 1 yl 4 1 即 y1 专家把脉 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念 对症下药 1 由抛物线 C 的方程 y ax2 a 0 得 焦点坐标为 0 a4 1 准线方程为 y a4 1 证明 设直线 PA 的方程为 y y0 k1 x x0 直线 PB 的方程为 y y0 k2 x x0 点 P x0 y0 和 点 A x1 y1 的坐标是方程组 2 1 2 010 axy xxkyy 的解 将 式代入 式得 ax2 k1x klx0 y0 0 于是 x1 x0 a k1 故 x1 a k1 x0 又点 P x0 y0 和点 B x2 y2 的坐标是方程组 5 4 2 010 axy xxkyy 的解 将 式代入 式得 ax2 k2x k2x0 y0 0 于是 x2 x0 a k2 故 x2 a k2 x0 由已知得 k2 kl 则 x2 01 xk a 设点 M 的坐标为 xM yM 由BM MA 则 xM 1 12 xx 将 式 和 式代入上式得 1 00 xx xM x0 即 xM x0 0 所以线段 PM 的中点在 y 轴上 因为点 P 1 1 在抛物线 y ax2上 所以 a 1 抛物线方程为 y x2 由 式知 x1 k1 1 代入 y x2得 y1 k1 1 2 将 1 代入 式得 x2 k1 1 代入 y x2得 y2 k2 1 2 因此 直线 PA PB 分别与抛物线 C 的交点 A B 的坐标为 A k1 1 k21 2k1 1 B k1 1 k12 2k1 1 于是AP k1 2 k12 2k1 AB 2K1 4K1 ABAP 2k1 k1 2 4kl k12 2k1 2k1 k1 2 2k1 1 因 PAB 为钝角且 P A B 三点互不相同 故必有ABAP 0 求得 k1的取值范围 是 k1 2 或 2 1 k1 0 又点 A 的纵坐标 y1满足 y1 k1 1 2 故当 k1 2 时 y1 1 当 2 1 k1 0 时 1 y1 4 1 即 y1 1 U 1 4 1 专家会诊专家会诊 1 判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组 判断方程组解的组 数 对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断 而直线与 抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定 不可混淆 2 涉及弦 长的问题中 应熟练地利用韦达定理 设而不求计算弦长 不要蛮算 以免出现差 错 3 涉及弦长的中点问题 常用 差分法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点 坐标联系起来 相互转化 命题角度命题角度 5 5 对轨迹问题的考查对轨迹问题的考查 1 典型例题 已知双曲线的中心在原点 离心率为若它的一条准线与抛物线 y2 4x 的准线 重合 则该双曲线与抛物线 y2 4x 的交点到原点的距离是 A 2 63 B 21 C 18 122 D 21 考场错解 C 专家把脉 对双曲线的定义理解不够深刻 对症下药 B 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x 1 由题意得 1 3 2 c a a c