28.2-1-1解直角三角形及其应用基础训练

28 2 解直角三角形及其应用基础训练解直角三角形及其应用基础训练 一一 知识要点 知识要点 1 解直角三角形的依据 解直角三角形的依据 三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 锐角之间关系 A B 90 边角之间关系 正弦函数 sinA 余弦函数 cosA A的对边 斜边 A的邻边 斜边 正切函数 tanA A的对边 A的邻边 2 解直角三角形的类型 解直角三角形的类型 根据求解的条件分类 利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法 1 已知两边 两条直角边 a b 其解法 c 用 tanA 求得 A B 90 A 22 ba b a 斜边和一条直角边 c a 其解法 b 用 sinA 求得 A B 90 A 22 ac c a 2 一边和一锐角 一条直角边 a 和锐角 A B 90 A 用 tanA 求得 b 用 sinA 求 b a A a tanc a 得 c A a sin 斜边 c 和锐角 A B 90 A 用 sianA 求得 a csianA 用 cosA 求得 c a c b b ccosA 3 解直角三角形的方法 口诀 解直角三角形的方法 口诀 有斜用弦 无斜用切 宁乘毋除 取原避中 有斜用弦 无斜用切 宁乘毋除 取原避中 这两句话的意思是 当已知和求解中有 斜边时 就用正弦或余弦 无斜边时 就用正切 当所求的元素既可用乘法又可用除法时 则用乘法 不用除法 既可用已知数据又可用中间数据求解时 则用原始数据 尽量避免 用中间数据 4 4 解直角三角形的应用举例 解直角三角形的应用举例 1 仰角 视线在水平线上方的角 俯角 视线在水平线下方的角 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 ih l h l 2 坡面的铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度 坡比 用字母 表示 即 坡hli h i l 度一般写成的形式 如等 1 m1 5i 把坡面与水平面的夹角记作 叫做坡角 那么 tan h i l 3 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角 叫做方位角 如图 3 OA OB OC OD 的方向角分别是 45 135 225 4 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90 的水平角 叫做方向角 如图 4 OA OB OC OD 的方向角分别是 北偏东 30 东北方向 南偏东 45 东南 方向 南偏西 60 西南方向 北偏西 60 西北方向 二二 例题教学 例题教学 1 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 坡度坡角问题 坡度坡角问题 例 1 如图是一山谷的横断面示意图 宽 AA 为 15m 用曲尺 两直尺相交成直 角 从山谷两侧测量出 OA 1m OB 3m O A 0 5m O B 3m 点 A O O A 在同一条水平线上 则该山谷的深 h 为 30 m 分析 过谷底构造相应的直角三角形 利用坡比定义表示山谷宽求解 解答 解 设 A A 到谷底的水平距离为 AC m A C n m n 15 根据题意知 OB CD O B OA 1 OB 3 O A 0 5 O B 3 3 6 h 15 解得 h 30 m 二 解直角三角形的应用二 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 仰角俯角问题 菁优网版权所有菁优网版权所有 例 2 咸宁市某中学数学兴趣小组在开展 保护环境 爱护树木 的活动中 利用 课外时间测量一棵古树的高 由于树的周围有水池 同学们在低于树基 3 3 米 的一平坝内 如图 测得树顶 A 的仰角 ACB 60 沿直线 BC 后退 6 米到点 D 又测得树顶 A 的仰角 ADB 45 若测角仪 DE 高 1 3 米 求这棵树的高 AM 结果保留两位小数 1 732 分析 可在 Rt ABD 和 Rt ABC 中 利用已知角的三角函数 用 AB 表示出 BD BC 根据 CD BD BC 6 即可求出 AB 的长 已知 HM DE 的长 易求得 BM 的值 由 AM AB BM 即可求出树的高度 解答 解 设 AB x 米 Rt ABD 中 ADB 45 BD AB x 米 Rt ACB 中 ACB 60 BC AB tan60 x 米 CD BD BC 1 x 6 解得 x 9 3 即 AB 9 3 米 BM HM DE 3 3 1 3 2 AM AB BM 7 3 12 20 米 答 这棵树高 12 20 米 三 解直角三角形的应用三 解直角三角形的应用 方向角问题 方向角问题 例 3 如图 一艘船以每小时 30 海里的速度向东北方向航行 在 A 处观测灯塔 S 在船的北偏东 75 的方向 航行 12 分钟后到达 B 处 这时灯塔 S 恰好在船的 正东方向 已知距离此灯塔 8 海里以外的海区为航行安全区域 这艘船可以继 续沿东北方向航行吗 为什么 参考数据 1 41 1 73 分析 问这艘船能否可以继续沿东北方向航行 只要证明 D 与 S 的距离要大 于 8 海里 可以做与正北方向平行的直线 与 SB 的延长线相交于点 C 则 ABC ACS 都是直角三角形 可以运用勾股定理来计算 解答 解 作与正北方向平行的直线 与 SB 的延长线相交于点 C 过点 S 作 SD AB 于 D AB 30 6 海里 CAB 45 ACB 90 AC BC AB sin45 6 3 海里 CAS 75 ACS 90 SC AC tan75 3 2 6 3 海里 BS 3 3 海里 DBS ABC 45 SD BS sin45 3 3 3 3 8 2 8 这艘船可以继续沿东北方向航行 三三 巩固练习 巩固练习 一 一 选择 选择 1 河堤的横断面如图 1 所示 堤高 BC 是 5 米 迎水斜坡 AB 的长是 13 米 那么斜坡 AB 的坡度 是 i A 1 3 B 1 2 6 C 1 2 4 D 1 2 2 如图 2 某渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 600方向 这艘渔船以 28 海里 小时的速度向正东航行半小时到 B 处 在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 150方向 此时灯塔 M 与渔船的距离是 A 海里 B 海里 C 7 海里 D 14 海里27214 图 1 3 如图 3 从山顶 A 望地面 C D 两点 测得它们的俯角分别为 450和 300 已知 CD 100 米 点 C 在 BD 上 则山高 AB A 100 米 B 米 C 米 D 米350250 13 50 4 重庆市 旧城改造 中 计划在市内一块如图 4 所示的三角形空地上种植某种草皮 以 美化环境 已知这种草皮每平方米售价元 则购买这种草皮至少需要 a A 元 B 元 C 元 D 元a450a225a150a300 5 如图 5 某地夏季中午 当太阳移至房顶上方偏南时 光线与地面成 80 角 房屋朝南 的窗子高 AB 1 8 m 要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC 使午间光线不能直接射入室内 那么挡光板的宽度 AC 为 A 1 8tan80 m B 1 8cos80 m C m D m 80sin 8 1 80tan 8 1 6 身高相同的三个小朋友甲 乙 丙放风筝 他们放出的线长分别为 300 m 250 m 200 m 线与地面所成的角度分别为 30 45 60 假设风筝线是拉直的 则三人所放的 风筝 A 甲的最高 B 乙的最低 C 丙的最低 D 乙的最高 7 如图 6 为了测量一河岸相对两电线杆 A B 间的距离 在距 A 点 15 米的 C 处 AC AB 测 图 2图 3 图 4图 5图 6 图 7 得 ACB 50 则 A B 间的距离应为 A 15sin50 米 B 15tan50 米 C 15tan40 米 D 15cos50 米 8 如图 7 在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆 拉线和地面成 60 角 则拉线 AC 的 长是 A 10 m B m 3 310 C m D 5 m 2 25 3 二 二 填空 填空 1 图 8 表示甲 乙两山坡情况 其中 tan tan 坡更陡 前一空填 或 后一空填 甲 乙 2 小明要在坡度为的山坡上植树 要想保证水平株距为 5 m 则相邻两株树植树地点的 5 3 高度差应为 m 3 有一拦水坝的横断面是等腰梯形 它的上底长为 6 米 下底长为 10 米 高为 2米 3 那么此拦水坝斜坡的坡度为 坡角为 4 如图 9 从楼顶 A 点测得电视塔 CD 的仰角为 俯角为 若楼房与电视塔之间的水 平距离为 m 求电视塔的高度 将这个实际问题写成数学形式 已知在 ADC 中 AB CD 于 B m 求 5 要把 5 米长的梯子上端放在距地面 3 米高的阳台边沿上 猜想一下梯子摆放坡度最小为 6 如图 10 某建筑物 BC 直立于水平地面 AC 9 米 要建造阶梯 AB 使每阶高不超过 20 图 8 cm 则此阶梯最少要建 阶 最后一阶的高度不足 20 cm 时 按一阶算 取3 1 732 图 11 图 12 7 小刚在一山坡上依次插了三根木杆 第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为 30 且 坡面距离是 6 米的坡面上 而第二根与第三根又在倾斜角为 45 且坡面距离是 8 米 的坡面上 则第一根与第三根木杆的水平距离是 如图 11 精确到 0 01 米 8 如图 12 小明想测量电线杆 AB 的高度 发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和 地面 BC 上 量得 CD 4 m BC 10 m CD 与地面成 30 角 且此时测得 1 m 杆的影子 长为 2 m 则电线杆的高度约为 m 结果保留两位有效数字 1 41 1 73 23 三 简答题三 简答题 1 某校在周一举行升国旗仪式 小明同学站在离旗杆 20 米处 如图 13 所示 随着国旗响 起 五星红旗冉冉升起 当小明同学目视国旗的仰角为 37 假设该同学的眼睛距地面的高 度为 1 6 米 求此时国旗离地面的距离 CB D A 37 E 2 如图 14 甲 乙两船同时从港口 O 出发 甲船以 16 1 海里 时的速度向东偏西 32 方向航 行 乙船向西偏南 58 方向航行 航行了两小时 甲船到达 A 处并观测到 B 处的乙船恰好在 其正西方向 求乙船的速度 精确到 0 1 海里 时 B O 东 北 A 3 苏州的虎丘塔身倾斜 却经历千年而不例 被誉为 中国第一斜塔 如图 15 BC 是过塔底中 心 B 的铅垂线 AC 是塔顶 A 偏离 BC 的距离 据测量 AC 约为 2 34m 塔身 AB 的长为 47 9m 求 塔身倾斜的角度 ABC 的度数 精确到 1 C B A 4 河堤横断面如图 16 所示 堤高 BC 5 米 迎水坡 AB 的长为 8 米 求斜坡 AB 与水平面所夹 的锐角度数 C B A 5 如图 17 一勘测人员从 B 点出发 沿坡角为 15 的坡面以 5 千米 时的速度行至 D 处 用了