最新高中数学解三角形实际应用题(详解).doc

1. 如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若 ,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）试用,表示和.ABCPQRS（2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.解：（1）、 如图，在中 ， 设正方形的边长为 则 7分（2）、 而 0 ,又0 ,0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 解法一（）依题意，有，又，。当 时， 又（）在MNP中MNP=120，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得,故040=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.11. 如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜. （1）求S关于m的函数关系式S（m）； （2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？（I）以O点为原点，指北的方向为y轴建立直角坐标系，则直线OZ的方程为y=3x， 设点A（x0，y0），则x0=asin=3a，y0=acos=2a，即A（3a，2a）， 又B（m，0），则直线AB的方程是y=， 由此得到C点坐标为， ； （II）， 当且仅当时等号成立， 答：征调海里处的船只时，补给最适宜.12. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设，把y表示成的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在中，所以=OA=.所以由题意知. 所以点P到A、B、C的距离之和为. 故所求函数关系式为. （2）由（1）得，令即，又，从而. 当时，；当时, .数学驿站 所以当 时，取得最小值， 此时（km），即点P在OA上距O点km处. 【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小.ACDB13. 如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，ADC=90，且高.（1）求sinBAD的值；高.考.资.源.网（2）设ABD的面积为SABD，BCD的面积为SBCD，求的值解 （1）在RtADC中，AD=8，CD=6，则AC=10，又，AB=13， ， （2）， 则， ACDB解 （1）在RtADC中，AD=8，CD=6，则AC=10，又，AB=13，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， （2）， 则，14. 如图，现在要在一块半径为1m。圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设的面积为S。（1） 求S关于的函数关系式；（2） 求S的最大值及相应的值15. 如图一块长方形区域，。在边的中点处，有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.(1) 当时，写出关于的函数表达式(2) 当时，求的最大值。(3) 若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到,再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定。设边上有一点,且,求点在“一个来回”中被照到的时间。16. 某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.DOABEF第18题2x（）试将表示为的函数；w ww.ks5 u.co m（）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？解：（）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为3分 连接OD，则由OD=OE=OF=1，所以 所以 （）因为由解得，即 又当时，所以此时y在上单调递增；当时，所以此时y在上单调递减.故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳17.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角.(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；x(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值. 解：由已知得等腰梯形的高为xsin，上底长为2+2xcos，从而横截面面积S=(2+2+2xcos)xsin=x2sincos+2xsin.(1)当时，面积是(0,+)上的增函数，当x=2时，S=38；当x=3时，S=. 所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3.(2)当x=2时，S=4sincos+4sin，S=4cos2-4sin2+4cos=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)(cos+1)，由S=0及是锐角，得. 当00，S是增函数；当时，S0，S是减函数。所以，当=时，S有最大值. 综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是.18. 某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？解析：设连结BD.则在中，BACD地面设则等号成立时答：当时，建造这个支架的成本最低.19. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 ，时的图象，且图象的最高点为B（1，2）。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD/ EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧（1）求的值和的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值解：（1）由条件，得， ， 曲线段FBC的解析式为 当x=0时，又CD=， （2）由（1），可知又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故设，“矩形草坪”的面积为 = ，故取得最大值20. 解：（）设为圆环的圆心，依题意，CA1O=CA2O=CA3O=，CA1=CA2=CA3=，CO=， 设金属杆总长为ym，则=，（）， 当时，；当时，当时，函数有极小值，也是最小值。 （）依题意，=，当时，；当时，当时，函数有极小值，也是最小值。当n4时，所以C点应上移。21. 在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A（-1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上