函数的概念教案

1 2 1 函数的概念教案函数的概念教案 教学目标教学目标 1 知识与技能 通过丰富的实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重 要数学模型 用集合与对应的思想理解函数的概念 理解函数的三要素及函数符号的深刻 含义 会求一些简单函数的定义域及值域 2 过程与方法 从具体到抽象 从特殊到一般 培养学生抽象概括能力和逻辑思维 能力 培养学生联系 对应 转化的辩证思想 强化 形 与 数 结合并相互转化的数 学思想 3 情感态度与价值观 渗透数学思想和文化 激发学生观察 分析 探求的兴趣和 热情 强化学生参与意识 培养学生严谨的学习态度 获得积极的情感体验 感受数学的 简洁美 对称美 数与形的和谐统一美 树立 数学源于实践 又服务于实践 的数学应 用意识 重点与难点重点与难点 教学重点 理解函数的概念 主要包括对函数的定义和函数三要素的理解与认识 理 解函数记号 yf x 教学难点 函数的定义和函数符号的理解与应用 教学过程教学过程 一 创设情境 温故知新一 创设情境 温故知新 问题 1 我们在初中学习过函数的概念 它是如何定义的呢 在初中已经学过哪些函 数 学生温习初中函数定义 在一个变化过程中有两个变量 x 与 y 如果对于的每一个值 y 都有惟一的一个值与 x 它对应 那么就说 y 是 x 的函数 我们已经学习了一些具体的函数 那么为什么还要学习函数呢 先请同学们思考下面 的问题 问题 2 由上述定义你能判断 y 1 是否表示一个函数 函数 y x 与函数表 x x y 2 示同一个函数吗 引入课本的三个实际例子 1 一枚炮弹发射后 经过 26s 落到地面击中目标 炮弹的射高为 845m 且炮弹距地面的 高度 h 随时间 t 的变化规律是 0 t 26 0 h 845 2 近几十年来 大气层中的臭氧迅速减少 因而出现了臭氧层空洞问题 下图中的曲 线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979 年到 2001 年的变化情况 时间 t 的变化范围 是数集 A t 1979 t 2001 臭氧空层洞的面积 S 的变化范围是数集 B S 0 S 26 3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低 恩格尔系数越低 生活 质量越高 下表中恩格尔系数随时间 年 变化的情况表明 八五 计划以来 我国城镇居 民的生活质量发生了显著变化 八五 计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数 53 8 52 9 50 1 49 9 49 9 48 6 46 4 44 5 41 9 39 2 37 9 问题 分析以上三个实例 对任一个给定的 射高 臭氧层空洞面积 恩格尔系数 是否有值与之对应 若有 有几个 引导学生归纳出如下共性 上述问题中都含有两个变量 当一个变量的取值确定后 另一个变量都有唯一值与之对应 下面我们深入地对例 3 进行分析 年份数组成一个集合 A 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数 组成另一个集合 B 53 8 52 9 50 1 49 9 49 9 48 6 46 4 44 5 41 9 39 2 37 9 对于集合 A 中的每个元素 x 按表格的规定 集合 B 中都有唯一的元素 y 与之对应 如 x 取 1991 则 y 取 53 8 我们就说 1991 对应到 53 8 简记为 199153 8 让学生说出这个对应的特点 A 中的每一个元素都对应到 B 中唯一元素 二 讨论归纳 形成概念二 讨论归纳 形成概念 通过上三个实例的分析 对比 得到共性 函数就是建立在两个非空的数集上的单值 对应 让学生试着归纳函数的定义 构建函数定义 一般地 设 A B 是两个非空的数集 如果按某种对应法则 对于集合 A 中的每一个 元素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 这样的对应叫作从 A 到 B 的一个函数 x y 记为 其中 x 叫作自变量 x 的取值范围 A 叫作函数的定义 yf x xA 域 与 x 的值相对应的 y 叫作函数值 函数值的集合 y y f x x A 叫作函数 的值域 在函数概念得出后 教师强调指出 y f x 仅仅是数学符号 为了更好地理解函数符号 y f x 的含义 教师提出下一个问题 问题 3 y f x 一定就是函数的解析式吗 函数符号 y f x 的说明 1 函数是非空数集到非空数集上的一种对应 2 y f x 即为 y 是 x 的函数 的符号表示 3 y f x 不一定能用解析式表示 4 f x 与 f a 是不同的 通常 f a 表示函数 f x 当 x a 时的函数 5 在同时研究两个或多个函数时 常用不同符号表示不同的函数 除用符号 f x 外 还 常用 g x F x x 等符号来表示 研读课本 叙述区间的概念 请同学们在阅读后填写下表 定 义 名称符 号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区 间 bxax ba bxax ba ba bxax a b ab bxax axx axx bxx bxx 教师指导学生自学 解决学生提出的问题 并指出说明 1 区间是集合 2 区间的左端点必小于右端点 3 无穷大是一个符号 不是一个数 4 以 或 为区间的一端时 这一端必须是小括号 三 深入探究 巩固新知三 深入探究 巩固新知 补充练习 下列图象中不能作为函数的图象的是 xfy A B C D 问题 4 集合 A A R 到集合 B B R 的对应 f A B 使得集合 B 中的元素 0 abaxy与集合 A 中的元素 x 对应 如何表示这个函数 定义域和值域各是什 么 函数 0 k x k y呢 函数 0 0 2 acbxaxy呢 启发学生观察 分析 并请同学们思考之后填写下表 函数一次 函数 反比例 函数 二次函数 对应 关系 定义 域 值域 让同学们重新审视上面三个例子 指出其中的自变量和因变量 问题 5 函数是几部分构成的 提出函数的三要素 实例 3 中表示的 199153 8 这是对应符号 若设这个函数是 那写成函数符号就是 f 1991 53 8 yf x 函数的三要素是定义域 值域及对应法则 四 回顾反思四 回顾反思 问题 6 学生在前面学习的基础上 反思对问题 2 的解答 重新思考问题 2 谈谈自己 的认识 教师启发 引导学生画图 以形求数 师生 是函数 1Rxy 与不是同一个函数 xy x x y 2 0 a0 a x y o 2 2 x y o 2 2 x y o 2 2 x y o 2 2 x y o 1 y 2 2 x y o xy 2 2 x y o x x y 2 2 2 问题 7 如何判断两个函数是否相同 引导学生对问题 2 进行抽象概括并归纳总结 当两个函数的定义域 对应关系完全一致时 我们就称这两个函数相等 练习 下列函数中哪个与函数 y x 相等 1 2 y 2 xy 33 x 3 y 4 y 2 x x x2 五 精讲例题 深化目标五 精讲例题 深化目标 例 已知函数 2 Rxxxf 1 画出函数 xf的图象 2 求 afafafaf 的值 3 求函数 xf的值域 解 1 2 2a f a 2a f a f a 0 af 3 Ry 教师引导学生解决此题的关键点 并进行变式 变式 1 已知 2 Rxxxf 当20 x时 求函数的值域 当 2 1 0 1 2 x时 求函数的值域 解 由图像可知 当20 x时 函数的值域是4y0 当 2 1 0 1 2 x时 函数的值域 42024y 变式 2 已知 2 Rxxxf 当函数值域为 4 2 时 求函数定义域 当 函数值域为 2 8 4 时 求函数定义域 解 当函数值域为 4 2 时 函数定义域是 40 当函数值域为 2 8 4 时 函数定义域是 142 变式 3 1 已知 2 Rxxxf 求 12 1 xfaf的值 2 已知 1 1 2 Raaaf 求函数 xf 解 1 f a 1 2 a 1 2a 2 f 2x 1 2 2x 1 4x 2 2 令 x a 1 则 a x 1 2x2x11x2x11xxf 222 六 课堂小结六 课堂小结 知识点 函数的定义 区间的定义 函数的符号表示 y f x 函