21 变量分离方程与变量变换

第二章第二章 一阶微分方程的初等积分法一阶微分方程的初等积分法 初等积分法 初等积分法 通过积分求解常微分方程的一种方法 其特点是方程的解可用初等函数以及 初等函数的积分形式表示 本章要求本章要求 熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法 熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法 主要内容 主要内容 1 1 变量分离方程与变量变换 变量分离方程与变量变换 2 2 线性方程与常数变易法 线性方程与常数变易法 3 3 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 4 4 一阶隐式方程与参数表示 一阶隐式方程与参数表示 注意 正确判断方程的类型 2 1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 本节要求本节要求 1 熟练掌握变量分离方程 齐次方程的求解方法 2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法 求解更广泛的方程 本节主要内容本节主要内容 变量分离方程 与变量变换 1 变量分离方程变量分离方程 其中 分别是 x 与 y 的已知连续函数 特点特点 一般的一阶方程 中的 f f x x y y 可表示成 如 可化为齐次方程的类型 齐次方程 可化为变量分离的类型 举例 解法 特点 变量分离方程 1 2 yxf dx dy yxf yxf dx dy y xfyxf y x dx dy kRR 解法步骤 如果 1 1 分离变量 2 2 两边积分 用G y F x 分别表示 的某一个原函数 3 3 方程 2 1 的通解为G y F x C 因为 将 y 视为 x 的函数 对G y F x C 两端关于x求导 所以 2 2 为方程 2 1 的通解 如果存在 使得 直接验证得 为方程 2 1 的常数解 故 分离变量方程 2 1 的解为 举例 举例 例1 求解方程 解 1 分离变量 2 积分 3 求通解 或者 c 为任意正常数 例2 求解方程 并求出满足初始条件 当 x 0时 y 1的特解 解 1 分离变量 2 两边积分 3 为方程的通解 0 y dxxf y dy dxxf y dy xf y 及 1 xf dx dy y 1 yxf dx dy i ykiyi 2 1 0 i yy kiyy CxFyG i 2 1 y x dx dy 0 1 y y xdxydy 222 22 cxy xdxydy cyx 22 2 xcy xy dx dy cos 2 0 y xdx y dy cos 2 cxdx y dy cos 2 cx y sin 1 cx y sin 1 注意 y 0 时 也是方程的解 而其并不包含在通解中 因而方程还有解 y 0 所以 原方程的解为 求特解 将初始条件 y 0 1代入通解中 得c 1 则 满足所给条件的特解为 2 2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型 1 齐次方程 形式 g g u u 为 u u 的连续函数 特点 一般方程的右端函数 f x y 是x y 的零次齐次式 即 或 f x y 可表示成以 解法 1 令变量变换 即 y ux 2 对两边关于 x 求导 3 将上式代入原方程 得 整理 得 这是变量可分离方程 4 求解方程 2 3 若其解为 5 原方程的通解为 举例 举例 例3 求解方程 解 令 c为任意常数 0 sin 1 y cx y 1sin 1 x y x y g dx dy 0 0 kyxf x y gk kx ky gkgkxf 为整体变量的函数 x y u x y u dx du x dx dy uug xdx du 1 ugu dx du x 0 cx x y cxxy 或 0 cx x y cxxy 或 x y x y dx dy tan uxy x y u 或 u dx du x dx dy uuu dx du xtan x u dx dutan x dx u du tan dx xu ud1 sin sin cxu lnsinln 令 得 Sinu cx c 为非零任意数 另当 tanu 0 时 u 0 即 u 0 也是方程 2 4 的解 故 2 4 的通解为 sinu cx c 为任意常数 代回原来的变量 原方程的通解为 2 可化为齐次方程的方程 形式 均为常数 且 不同时为零 若 即 设 则原方程可化为 令 这是变量分离方程 即可求解 若 则 有唯一的解 令 变量代换 则方程 2 5 化为 xeu c sin xeu c sin c ec cx x y sin 222 111 cybxa cybxa dx dy 21 icba iii 21 cc 0 22 11 ba ba 2 1 2 1 b b a a k b b a a 2 1 2 1 2121 kbbkaa ybxaf cybxa cybxak dx dy 22 222 122 ybxau 22 dx dy ba dx du 22 ufba dx du 22 0 21 21 bb aa 0 0 222 111 cybxa cybxa yY xX Yy Xx 或 dX dY dx dy 222 111 cYbXa cYbXa 22222 11111 cbaYbXa cbaYbXa 为齐次方程 即可求解 特别地 当 时 方程 2 5 的求解步骤步骤 1 解代数方程组 其解为 2 作变换 将方程 2 5 化为齐次方程 3 再作变换 将其化为变量分离方程 4 求解上述变量分离方程 最后代回原变量即可得原 方程的解 类似的方法 可求解更广泛的方程 P 26 例4 求解方程 解 解方程组 得 x 1 y 2 令 将原方程转化为齐次方程 再令 即方程可化为 22 11 X Y g YbXa YbXa dX dY 0 21 21 bb aa 0 0 222 111 cybxa cybxa yx YyXx YbXa YbXa dX dY 22 11 X Y U 222 111 cybxa cybxa f dx dy 3 1 yx yx dx dy 03 01 yx yx 2 1 Yy Xx YX YX dX dY uXY X Y u 即u dX du X dX dY u u u dX du X 1 1 u uuu u u u dX du X 1 1 1 1 1 du uu u X dX 2 21 1 21 21 2 1 2 2 uud uu 两边积分 得 记 并代回变量 得 再代回原变量 得 此外 容易验证 也是方程 2 18 的解 因此原方程 2 17 的通解为 其中 c 为任意常数 本节小结本节小结 变量分离方程与变量变换 注意注意 通解的形式及其中任意常数的意义 课堂练习课堂练习 思考思考 以下方程的求解方法 作业作业 P 31 P 31 2 2 3 3 5 5 8 8 11 11 13 13 16 16 18 1 18 1 2121 cuuX lnln 12 22 c euuX 12 22 1 cec 1 22 12 cuuX 1 22 12122cxyxy 012 2 uu cxyxxyy 262 22 可化为齐次方程的类型 齐次方程 可化为变