第三章-岩石的弹塑性本构关系.ppt

第三章 岩石的弹塑性本构模型 岩石的弹塑性本构模型 前言张量知识简介线性弹性理论非线性弹性理论应力空间表述的弹塑性本构理论 前言 1 条件 将岩石介质看作成一种连续介质 宏观分析 2 主要研究内容 研究材料固有的特性 建立应力 应变及与温度之间关系的表达式 本构关系 分析弹塑性变形体内应力 应变分布 研究物体在各种荷载下的稳定性问题 求解边值问题或求解初值 边值问题 应用数学问题 探求各种解析方法或数值方法 本章着重解决本构关系 张量知识简介 一 预备知识1 坐标系2 约定求和3 克罗尼克尔符号4 置换符号 二 张量的定义1 坐标变换2 零阶张量 标量 3 一阶张量 向量 4 二阶张量 1 坐标系 1 直线坐标系由坐标原点与三条不共面标架直线构成2 仿射坐标系各标架上单位尺度不同3 笛卡尔坐标系各标架上单位尺度相同 笛卡尔直角坐标系标架直线互相垂直 笛卡尔斜角坐标系标架直线不互相垂直以表示笛卡尔直角坐标系的坐标 分别表示三个坐标的单位矢量 2 约定求和 定义 如果在同一项中 某个指标重复出现两次 就表示对这个指标从1到3求和 例1例2 例3 例4 3 克罗尼克尔符号 定义 故有 例1 在笛卡尔直角坐标系中 例2 单位矩阵可表示为 例3 例4 例5 例6 4 置换符号 1 定义 即 例1 例2 2 和的关系 练习 将下式写成常见的应力 应变方程组 广义虎克定律 例 将 2 1 式转换为 2 2 式 由得 2 1 式可以写成两端乘 调整参数或代入 2 3 式 得 整理得 二 张量的定义 张量是由满足一定关系的一组元素所组成的整体 元素的个数由空间的维数N及张量的阶数n决定 我们以N 3为代表 给出各阶张量的定义 1 笛卡尔直角坐标系间的坐标变换 式中 是轴与轴夹角的余弦 为坐标轴的单位向量即 2 零阶张量 标量 有30 1个元素 是坐标变换下的不变量 即 3 一阶张量 向量 有31 3个元素 它们随坐标系变化的规律为或 该3个元素组成的整体称为一阶张量 记作称为的分量 记作一阶张量 向量 4 二阶张量 有个元素 它们随坐标系的变化规律为或 则由这9个元素所组成的整体称为二阶张量 记作 5 应力 应变张量 应力张量 是二阶对称张量 应变张量 是二阶对称张量 广义虎克定律 式中 弹性系数张量 根据张量识别定理 是4阶张量 共有34 81个分量 线性弹性理论 一 空力空间和应变空间二 用cauchy方法给出的本构方程 一 空力空间和应变空间 1 应力空间 定义 以应力分量作为笛卡尔坐标系中的坐标轴所形成的空间 一般概念上来说应是一个9维空间 岩体中某一点的应力状态可用应力空间中的一点 坐标 来表示 常用应力空间9维空间不直观 通常采用三维 二维空间i 用三个主应力来表示 ii 用二个主应力来表示 iii 用剪应力和平均应力来表示 用剪应力和平均应力来表示 应力分解 式中 为平均应力 用剪应力和平均应力来表示 常用二维 空间表示其中 用剪应力和平均应力来表示 常用三维 空间表示 八面体剪应力 偏应力第二不变量 与形变能V有关轴对称情况 常规三轴试验 用剪应力和平均应力来表示 有限元计算中常用的应力空间有 空间 2 应力路径 stressroute 1 定义 应力空间中用来表示应力状态变化历史的一条曲线 2 举例 不同应力空间中常规三轴加载条件下的应力路线 3 应变应空间与应变路径 相同定义本构关系就是应力 应变这两种状态所满足的数学表达式 二 用cauchy方法给出的本构方程 1 Cauchy假设 在外力作用下 物体内各点的应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关系 因此 弹性介质的响应仅与当时的状态有关而与应变路径或应力路径无关 推论 卸荷后 介质回到初始状态 应力 应变都是瞬时发生的 在时间上无先后顺序 在应力空间和应变空间的各点之间构成一一对应的映射关系 2 弹性本构方程 1 弹性变形是各向同性的 用应变表示应力 1 其中 为4阶张量 对于各向同性 式中 为某一标量 是两个独立的常数 称为拉梅常数 用应力表示应变 2 弹性参数 纯拉 或压 虎克定律中的扬氏弹性模量E纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G泊松比 E 纯拉 或压 其余 实验上 单向伸缩的虎克定律可以写成故 泊松比 纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G 又 故 3 不同表示的弹性本构方程 用E 表示的弹性本构方程 用K G表示的弹性本构方程 用G E 表示的弹性本构关系 用表示的弹性本构关系 上述各式中的E G K等弹性参数可采用割线参数 4 增量形式的弹性本构方程上述各式中的E G K等弹性参数可采用切线参数 非线性弹性理论 非线性弹性Duncan 邓肯 模型该模型在岩土工程计算中运用相当广泛 一 弹性模量 二 泊松比 一 弹性模量 1 基本假定 由常规三轴试验 应力 应变关系为双曲线形式 或 2 参数意义 式中 为初始模量 3 割线模量 4 切线模量 5 用三轴试验参数表示的非线性关系 不同 有不同 不同 有不同 摩尔 库仑准则 有 式中 内聚力 内摩擦角 实验参数 大气压 二 泊松比1 基本假定 轴向应变 径向应变为双曲线关系或 2 参数的物理意义 3 割线泊松比 4 切线泊松比 5 用三轴实验参数表示的非线性关系 不同 有不同其中 G F为试验参数 割线泊松比 切线泊松比 三 讨论1 邓肯模型由常规三轴试验曲线来确定切线的弹性常数 常规三轴试验 是一种特殊的加荷路径 只要假定材料是各向同性的 沿方向增加所确定的弹性常数可以用于方向荷载增加的情况 当然也适用于和同时增加的情况 这样的确定方法在理论上是正确的 具有增量弹模和增量泊松比的物理意义 2 常规三轴试验曲线的割线斜率不具有全量 割线 弹模的物理意义 因全量侧压力不为0 且不等于全部的 不可以用来确定弹性常数 3 该模型只考虑硬化 不能反映软化 4 塑性全量理论的本构关系在本质上也是一种非线性弹性关系 该理论中假设在全量应力与全量应变之间存在着一一对应的关系 因此 在岩土工程计算中 只要是在比例加载或偏离比例加载的条件下 使用的全量塑性理论模型在本质上都是非线性弹性模型 在节理岩石的有限元分析中 广泛使用zienkiewicz等人提出的不抗拉模型和层状材料模型 在这些模型中 只要规定了超出库仑准则的应力点拉回到库仑面上的具体方式 则在应力与应变之间也有一一对应的关系 因而它们可以被看作是一种全量形式的非线性弹性关系 岩石的弹塑性本构模型 前言张量知识简介线性弹性理论非线性弹性理论应力空间表述的弹塑性本构理论 应力空间表述的弹塑性本构理论 一 岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念二 屈服条件和屈服面三 塑性状态的加 卸载准则四 塑性势理论和相应的本构方程 增量形式 一 岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念1 稳定阶段 非稳定阶段 2 弹塑性材料的特点 屈服 产生塑性变形 加载 卸载时遵循不同的规律 加工硬化 软化 破坏要表述弹塑性本构关系 必须反应上述特点 二 屈服条件和屈服面1 屈服条件或屈服准则一般概念应力状态达到某种组合时 产生屈服 出现塑性变形 应力张量 内应力张量 塑性应变所对应的应力 塑性应变张量 n 标量的内变量 可以代表塑性功W 塑性体应变或等效塑性应变 若 弹性状态 塑性状态 不存在 2 初始屈服条件3 屈服面 应力空间继 4 理想塑性体屈服面大小和开状不发生变化 5 硬化 软化后继屈服面屈服面大小和形状由于内变