数学归纳法知识总结

理科数学归纳法知识总结理科数学归纳法知识总结 一一 基本概念基本概念 1 运用数学归纳法证明命题要分两步 第一步是归纳奠基 或递推基础 第二步是归纳递推 或归纳假设 两步缺一不可 二二 易错点易错点 1 归纳起点易错 1 n 未必是从 n 1 开始 例 用数学归纳法证明 凸 n 边形的对角线条数为 2 3 2 nn 点拔 本题的归纳起点 n 3 2 n 1 时的表达式 例 用数学归纳法证明 1 1 1 1 2 2 Nna a a aaa n n 在验证 n 1 时 左 边计算所得的式子是 A 1 B a 1 C 2 1aa D 42 1aaa 点拨 n 1 时 左边的最高次数为 1 即最后一项为a 左边是a 1 故选 B 2 没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 例 1 用数学归纳法证明 22 43 1 3 1 4 1 4 1 4 1 n 错证 1 当 n 1 时 左 右 4 1 1 等式成立 2 假设当 n k 时等式成立 则当 n k 1 时 2 1 12 43 1 3 1 4 1 1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 k k 综合 1 2 等式对所有正整数都成立 点拨 错误原因在于只有数学归纳法的形式 没有数学归纳法的 实质 即在归纳递推中 没有运用归纳假设 3 从 n k 到 n k 1 增加项错误 例 1 已知 n 是正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设 n k 2 k且为偶数 时命题为 真 则还需证明 A n k 1 时命题成立 B n k 2 时命题成立 C n 2k 2 时命题成立 D n 2 k 2 时命题成立 点拨 因 n 是正偶数 故只需证等式对所有偶数都成立 因 k 的下一个偶数是 k 2 故选 例 2 用数学归纳法证明不等式 24 131 2 1 1 1 nnnn 的过程中 由 k 推导到 k 1 时 不等式左边增加的式子是 点拨 求 1 kfkf 即可 当 n k 时 左边 kkkk 1 2 1 1 1 n k 1 时 左边 1 1 1 3 1 2 1 kkkk 故左边增加的式子是 1 1 22 1 12 1 kkk 即 22 12 1 kk 三三 知识应用知识应用 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题 其中包括恒等式 不等式 数列 通项公式 整除性问题 几何问题等 1 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明等式 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 例 2 用数学归纳法证明 121212 1 75 1 53 1 31 1 n n nn 2 用数学归纳法证明不等式 例 3 用数学归纳法证明不等式 2 1 2 1 1 3221 nnn 例 4 证明不等式 n N n n 2 1 3 1 2 1 1 3 用数学归纳法证明整除问题 例 5 求证 能被 6 整除 5 3 Nnnn 例 6 证明 3 1 Nnx n 能被2 x整除 4 用 归纳 猜想 证明 解决数列问题 例 7 在数列 n a中 n n n a a axa 1 1 tan 11 1 写出 21 aa 3 a 2 求数列 n a的通项公式 例 8 在数列 n a中 2 2 2 1 11 Nnaaa nn nn 其中0 求数 列 n a的通项公式 5 用 归纳 猜想 证明 解决几何问题 例 9 n 个半圆的圆心在同一条直线 l 上 这 n 个半圆每两个都相交 且都在直线 l 的同侧 问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧 四四 练习巩固练习巩固 1 用数学归纳法证明 1 n2 1 2 n2 22 n n2 n2 n N 2 n n 1 n 1 4 2 用数学归纳法证明 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 n 4 n N 3 当 n 1 n N 时 求证 1119 12310nnn 4 用数学归纳法证明 n N n n1111 1 1 n 22322 5 用数学归纳法证明 49n 16n 1 能被 64 整除 n N 6 用数学归纳法证明 mn 2 m 1 2n 1能被 m2 m 1 整除 n N 7 在数列中 an 0 且 Sn 1 2 an n a n 1 a 1 求 a1 a2 a3 2 猜测出 an的关系式并用数学归纳法证明 8 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且方程 x2 anx an 0 有一根为 Sn 1 n 1 2 3 1