单相正弦交流电路

1 4 单相正弦交流电路 课题课题 4 1 正弦交流电路的基本物理量正弦交流电路的基本物理量 教学目标教学目标 描述正弦交流电的基本概念 了解正弦量的三要素 教学重点教学重点 正弦交流电的三要素 教学难点教学难点 正弦交流电的角频率 有效值 相位 初相位和相位差 教学过程教学过程 一 复习一 复习 正弦函数及表达形式 二 二 引入新课引入新课 本节内容是正弦交流电的基础知识 是单相正弦和三相正弦交流电路的基础 要特别注意正弦 交流电的 三要素 的理解和掌握 三 三 讲授新课讲授新课 4 1 1 交流电的基本概念交流电的基本概念 1 交流电 大小和方向随时间作周期性变化 并且在一个周期内的平均值为零的电压 电流 和电动势 图 4 1 画出了直流电和几种交流电的波形 图 4 1 直流电和交流电的波形 2 直流电和交流电的表示 直流电的物理量用大写字母表示 例如 E I U 等 交流电的 物理量用小写字母表示 例如 e i u 3 交流电的参考方向 如图 4 2 所示为交流电的参考方向 图中标出的 us i u 的方向均为 参考方向 它们的实际方向是在不断反复变化的 与参考方向相同的半个周期为正值 与参考方向 相反的半个周期为负值 2 图 4 2 交流电的参考方向 4 1 2 正弦交流电相关量正弦交流电相关量 1 周期 交流电变化一个循环所需要的时间 如图 4 3 所示 2 频率 交流电在单位时间内 每秒钟 完成的周期数 单位是赫 兹 Hz 频率和周期是 互为倒数 即 f T 1 图 4 3 正弦交流电的波形 3 角频率 单位时间内变化的角度 以弧度为单位 单位是弧度 秒 rad s 角频率与周期 T 频率 f 之间的关系为 2 f 例 4 1 我国供电电源的频率为 50Hz 称为工业标准频率 简称工频 其周期为多少 角频率 为多少 解 T s 0 02s 50 11 f 2 f 2 3 14 50 rad s 314 rad s 即工频 50 Hz 的交流电 每 0 02 s 钟变化一个循环 每秒钟变化 50 个循环 4 瞬时值 交流电每一瞬时所对应的值 5 最大值 交流电在一个周期内数值最大的值 6 有效值 规定用来计量交流电大小的物理量 如果交流电通过一个电阻时 在一个周期内产 生的热量与某直流电通过同一电阻在同样长的时间内产生的热量相等 就将这一直流电的数值定义 为交流电的有效值 正弦交流电的有效值和最大值之间的关系为 0 707 Im 2 m I I 一般情况下 人们所说的交流电流和交流电压的大小以及测量仪表所指示的电流和电压值都是 指有效值 例 4 2 我国生活用电是 220 V 交流电 其最大值为多少 解 Um U 220 V 311 V22 7 相位 正弦交流电流在每一时刻都是变化的 t 0 是该正弦交流电流在 t 时刻所对应 的角度 8 初相角 t 0 所对应的角度 0 9 相位差 两个同频正弦交流电的相位之差 t 01 t 02 01 02 若 0 时 波形如图 4 4 a 所示 i1总比 i2先经过对应的最大值和零值 这时就称 i1超 前 i2 角 或称 i2滞后 i1 角 3 若 0 时 波形如图 4 4 b 所示 称为 i1滞后于 i2 或称 i2超前 i1 若 0 时 波形如图 4 4 c 所示 称为 i1与 i2相位相同 简称同相 若 时 波形如图 4 4 d 所示 称为 i1与 i2相位相反 简称反相 a 0 b 0 c 0 d 图 4 4 正弦交流电的相位差 4 1 3 正弦交流电的表示法正弦交流电的表示法 1 波形图表示法 波形图表示正弦交流电 如图 4 5 所示 图 4 5 正弦交流电的波形表示法 图中直观的表达出被表示的正弦交流电压的最大值 Um 初相和角频率 2 f 2 解析式表示法 用解析式表示正弦交流电为 u Um sin t 0 Um sin 式中 t 0 为该正弦交流电压的相位 为角频率 0为初相角 Um为最大值 3 旋转矢量表示法 旋转矢量表示正弦交流电 如图 4 6 所示 图 4 6 正弦交流电的矢量表示 4 图中矢量的长度表示正弦交流电的最大值 也可表示有效值 矢量与横轴的夹角表示初相 0 0 在横轴的上方 0 0 在横轴的下方 矢量以 角速度逆时针旋转 例 4 3 将正弦交流电流 i 10 sin 314 t A 用旋转矢量表示 2 3 解 选定矢量长度为 10 与横轴夹角为 以 314 rad s 的角速度逆时针旋转 可得旋转2 3 矢量如图 4 7 所示 例 4 4 某两个正弦交流电流 其最大值为 2A 和 3A 初相为和 角频率为22 3 6 作出它们的旋转矢量 写出其对应的解析式 图 4 7 例题 4 3 附图 图 4 8 例题 4 4 附图 解 分别选定 2和 3为矢量长度 在横轴上方和角度作矢量 它们都以同样 角22 3 6 速度逆时针旋转 如图 4 8 所示 它们所对应的解析式为 i1 2sin t A 2 3 i2 3sin t A 2 6 注意 不同频率的正弦交流电是不能画在一个图上的 所以矢量长度即可以使用最大值度量 也可以使用有效值度量 四 小结小结 1 正弦量的三要素 频率 幅值和初相位 2 初相位是确定正弦量初始值的 而且初相位因计时起点 t 0 取得不同而不同 3 相位差是两个同频正弦交流电的初相位之差 它不随计时起点而变化 4 初相位 相位差和相位都是电角度 但意义是不同的 5 正弦交流电可以用波形表示法 解析式表示法和矢量表示法来描述 五 习题五 习题 一 是非题 1 2 3 二 选择题 1 2 3 4 四 作图题 1 2 5 课题课题 4 2 纯电阻 纯电感 纯电容电路纯电阻 纯电感 纯电容电路 教学目标教学目标 1 解释纯电阻电路电压 电流大小及相位关系 2 解释纯电感电路电压 电流大小及相位关系 3 解释纯电容电路电压 电流大小及相位关系 教学重点教学重点 1 纯电阻电路电压与电流关系 2 纯电阻电路的有功功率概念与数学表达式 3 纯电感电路电压与电流关系 4 纯电容电路电压与电流关系 5 纯电感 纯电容电路的无功功率概念与数学表达式 教学难点教学难点 纯电阻 纯电感 纯电容电路的电压与电流的关系 教学过程教学过程 一 一 复习复习 1 正弦交流电旋转矢量表示法 2 电功率的计算方法 二 二 引入新课引入新课 纯电阻是理想元件 但有些实际负载 如电炉 可以看成是纯电阻负载 由于交流电路的特性 本节将研究电流 电压及功率的瞬时值等 三 三 讲授新课讲授新课 4 2 1 纯电阻电路纯电阻电路 1 电压与电流的关系 1 纯电阻电路如图 4 9 a 所示 设图示方向为参考方向 电压的初相为零 即 tUu sin m 根据欧姆定律得t R U R u i sin m i Im sin t 2 纯电阻电路电流和电压关系 波形如图 4 9 b 所示 为 1 电压 u 和电流 i 的频率相同 2 电压 u 和电流 i 的相位相同 3 最大值和有效值仍然满足欧姆定律 R U I m m R U I 6 3 矢量关系如图 4 9 c 所示 2 功率 1 瞬时功率 每个瞬间电压与电流的乘积 p u i Um sin t Im sin t Um Im sin2 t 2 U I sin2 t 纯电阻电路瞬时功率的变化曲线如图 4 10 所示 图 4 10 纯电阻电路有功功率 纯电阻瞬时功率始终在横轴上方 说明它总为正值 它总是在从电源吸收能量 是个耗能元件 2 有功功率 平均功率 有功功率 平均功率 取瞬时功率在一个周期内的平均值其数学表达式为 2 mmI U P 或 P R U IRUI 2 2 有功功率如图 4 10 所示 是一定值 是电流和电压有效值的乘积 也是电流和电压最大值乘积 的一半 例 4 5 电炉的额定电压 UN 220 V 额定功率 PN 1 000 W 把它接到 220 V 的工频交流电源 上工作 求电炉的电流和电阻值 如果连续使用 2 h 它所消耗的电能是多少 解 电炉接在 220V 交流电源上 它就工作在额定状态 这时流过的电流就是额定电流 因为 电炉可以看成是纯电阻负载 所以 A 4 55 A 220 1000 N N N U P I 它的电阻值为 48 4 55 4 220 I U R 工作 2h 消耗的电能为 W Pt 1000 2 W h 2000 W h 2 kW h a 电路图 b 电压和电流的波形 c 矢量图 图 4 9 纯电阻电路 7 4 2 2 纯电感电路纯电感电路 2 4 1 电压和电流的关系电压和电流的关系 1 纯电感线圈 当线圈的电阻小到可以忽略不计的程度 设图 4 11 a 所示方向为参考方向 电流的初相为零 即 i Im sin t 经整理可得 u L Im 2 sin t 或 u Um 2 sin t 2 纯电感电路电流和电压的关系为 1 电压和电流的频率相同 即同频 2 电压和电流的相位差 电压在相位上超前电流 其波形如图 4 11 b 所示 2 2 3 电压和电流的最大值之间和有效值之间的关系分别为 Um L Im Um XL Im U XL I 式中 XL L 2 f L 称为电感的电抗 简称感抗 感抗的单位是欧 姆 3 电压和电流的矢量关系如图 4 11 c 所示 a 电路图 b 电压和电流的波形 c 矢量图 图 4 11 纯电感电路 2 功率 1 瞬时功率 Um Im sin tiup 2 sin t UmIm cos t sin t p tUI 2sin 变化曲线如图 4 12 所示 1 瞬时功率以电流或电压 2 倍频率变化 2 当 p 0 时 电感从电源吸收电能转换成磁场能储存在电感中 当 p 0 时 电感中储存的磁 场能转换成电能送回电源 3 瞬时功率 p 的波形在横轴上 下的面积是相等的 所以电感不消耗能量 是个储能元件 8 图 4 12 纯电感电路瞬时功率 2 有功功率 电感的有功功率根据理论计算可得 p 0 电感有功功率为零 说明它并不耗能 只是将能量不停地吸收和释放 3 无功功率 无功功率 电感与电源之间有能量的往返互换 这部分功率没有消耗掉 互换功率的大小用其 瞬时功率最大值来衡量 L L X U IXUIQ 2 2 无功功率的单位用乏 尔 var 表示 例 4 6 有一电阻可以忽略的电感线圈 电感 L 300 mH 把它接到 u 220 V 的t sin2 工频交流电源上 求电感线圈的电流有效值和无功功率 若把它改接到有效值为 100 V 的另一交流 电源上 测得其电流为 0 4 A 求该电源的频率是多少 解 1 电压 u 220 V 的工频交流电压的有效值为 220 V f 为 50 HZt sin2 电感感抗 XL L 2 f L 2 3 14 50 300 10 3 94 2 电感电流为 A 2 34 A 2 94 220 L X U I 无功功率为 Q U I 220 2 34 var 514 8 var 2 接 100V 交流电源时 电感电抗 250 4 0 100 I U XL 电源频率 Hz 133 Hz L X f L 2 3 1030014 3 2 250 4 2 3 纯电容电路 1 电流和电压的关系 1 纯电容电路如图 4 13 a 所示 设图 4 13 a 所示方向为参考方向 电压初相为零 即 u Um sin t 整理可得 i C Um cos t i Im sin t 2 2 纯电容电路电流和电压关系 波形如图 4 13 b 所示 为 9 1 电流和电压的频率相同 即同频 2 电流和电压的相位互差 电流在相位上超前电压 即电压在相位上滞后电流 2 2 2 3 电流和电压的最大值之间和有效值之间的关系为 Im C Um C U 1 m C X Um I C X U 式中 XC 称为电容的电抗 简称容抗 单位为欧 姆 CfC 2 11 3 电压和电流矢量关系如图 4 13 c 所示 a 电路图 b 电压和电流的波形 c 矢量图 图 4 13 纯电容电路 2 功率 1 瞬时功率 p u i Um sint Im sin t 2 Um Imsin t cos t p UI sin2 t 变化曲线如图 4 14 所示 1 瞬时功率以 2 倍频变化 2 当 p 0 时 电容从电源吸收电能转换成电场能储存在电容中 当 p XC 即 UL UC 图 4 19 R L C 串联电路矢量图 由矢量图可见 1 电源电压矢量为电阻 电感和电容电压矢量之和 U UR UL UC 由矢量图可得 U 22 CLR UUU arctan R CL U UU 可得电压三角形 如图 4 20 a 所示 a 电压三角形 b 阻抗三角形 c 功率三角形 图 4 20 R L C 串联电路三角形 2 阻抗 U I 22 CLR UUU 22 CL XXR U I Z I 22 XR 阻抗 Z 电阻 R 和电抗 X 构成一个与图 4 20 a 相似的三角形 如图 4 20 b 所示 这个三 角形不是矢量 16 arctan arctan R XX CL X R 4 4 2 功率功率 1 有功功率 电阻是耗能元件 即电阻消耗的功率就是该电路的有功功率 P I UR I U cos 式中 UR U cos 可看作是总电压 U 的有功分量 是电路的功率因数角 2 无功功率 在电阻 电感和电容串联电路中 电感和电容都与电源进行能量交换 当电感吸收能量时 PL 0 此时电容正好从释放能量 PC 0 反之电容吸收能量时 PC 0 电感释放能量 PL XC 时 则 UL UC QL QC 电路呈感性呈感性 电路中电压超前电流 其矢 量图如图 4 21 a 所示 2 呈容性 当 XL XC时 则 UL UC QL XC UL UC QL QC 0 i 滞后 u 电容性负载 XL XC UL UC QL QC 0 即电路呈容性也是没有必要的 例 4 13 在 220 V 50 Hz 交流电源上接入电感性负载 它消耗的有功功率为 5 kW 功率因数 为 0 6 若要将功率因数提高到 0 85 应并联多大的电容器 解法 1 并联电容器以前感性负载本身的功率因数 cos RL 0 6 对应的功率因数角 RL arccos0 6 53o 感性负载的视在功率 SR L V A 8 3 kV A 6 0 105 cos 3 RL P 20 感性负载无功功率 Q L SRL sin RL 8 3 10 3 sin 53o var 6 63 kvar 并联电容器后有功功率不变 但其功率因数 cos 0 85 其对应的功率因数角 arccos 0 85 31 79o 并联电容器后电路的视在功率 S V A 5 89 kV A 85 0 105 cos 3 P 并联电容器后电路的无功功率 Q S sin 5 89 10 3 sin 31 79 var 3 1 kvar 与并联电容器以前相比 所需的无功功率减少了 这部分无功功率是由电容提供的 所以电容 的无功功率的绝对值为 QC Q Q RL 3 1 6 63 kvar 3 53 kvar 这时电容中的电流为 IC A 16 A 220 1053 3 3 U QC 电容容抗为 XC 13 75 C I U 220 16 所需并联的电容为 C F 232 F 75 135014 3