数的认识--知识点梳理

1 数的认识知识要点数的认识知识要点 整数 整数 1 自然数自然数 0 和整数和整数 数物体的时候 用来表示物体个数的 0 1 2 3 叫做自然数 一个物体也没有用 0 表示 0 也是自然数 0 和自然数都是整数 正整数 整数 零 负整数 2 十进制计数法十进制计数法 一 个 十 百 千 万 都叫做计数单位 其中 一 是计数的基本单位 10 个一是十 10 个十是百 10 个一百亿是一千亿 每相邻两个计数单位之间的进率都是十 这种计数方法叫做十进制计数法 3 整数的读法和写法整数的读法和写法 读数时 从高位起 一级一级地往下读 属于亿级和万级的要读出级名 读数时 每级末尾的 0 都不读 其他数位有一个 0 或连续几个 0 都只读一个 0 例如 8000406000 读作 八十亿零四十万六千 写数时 从高位起 一级一级地往下写 哪一位上一个单位也没有 就在哪个数位上写 0 4 四舍五入法四舍五入法 求一个数的近似数 要看尾数的最高位上的数是几 如果比 5 小 就把尾数都舍去 如果尾数最高位上 的数是 5 或大于 5 就把尾数舍去后 要向它的前一位进 1 5 整数大小的比较整数大小的比较 比较两个多位数的大小 首先看它们位数的多少 位数较多的数较大 如果两个数的位数相同 那么首先看最高位 最高位上的数较大的 这个数就大 如果最高位相同 则左边第二位上的数较大的 这个数就大 6 整除与除尽整除与除尽 整除 整数 a 除以整数 b b 0 除得的商是整数而没有余数 我们就说数 a 能被数 b 整除 或数 b 能 整除 a 除尽 数 a 除以数 b b 0 除得的商是整数或是有限小数 这就叫做除尽 整除与除尽的区别 整除是除尽的一种特殊情况 整除也可以说是除尽 但除尽不一定是整除 7 因数和倍数因数和倍数 如果数 a 能被数 b 整除 b 0 a 就叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的约数 一个数的因数的个数是有限的 其中最小的因数是 1 最大的约数是它本身 一个数的倍数的个数是无限的 其中最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 约数和倍数是相互依存的 8 能被能被 2 3 5 整除的数的特征整除的数的特征 能被 2 整除的数的特征 个位上是 0 2 4 6 8 能被 5 整除的数的特征 个位上是 0 或 5 能被 3 整除的数的特征 各个位上的数字的和能被 3 整除 能同时被 2 5 整除的数的特征 个位是 0 能同时被 2 3 5 整除的数的特征 个位是 0 而且各个位上的数字的和能被 3 整除 注意 有一些数能被 7 9 11 13 整除 但是不容易看出来 这是大家在约分中容易忽略的 9 偶数和奇数偶数和奇数 一个自然数 不是奇数就是偶数 偶数 能被 2 整除的数叫做偶数 奇数 不能被 2 整除的数叫做偶数 最小的偶数 0 最小的奇数 1 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 10 质数与合数 质数与合数 质数 只有 1 和它本身两个约数 合数 除了 1 和它本身还有别的约数 1 既不是质数也不是合数 最小的质数 2 最小的合数 4 11 质因数与分解质因数质因数与分解质因数 质因数 每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式 这几个质数叫做这个合数的质因数 分解质因数 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数 分解质因数的方法 短除法 例如 把 30 分解质因数 把 30 分解质因数正确的做法是 C A 30 1 2 3 5 B 2 3 5 30 C 30 2 3 5 12 最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数 公因数公因数 最大公因数最大公因数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 其中最大的一个叫做这几个数的 最大公约数 例 1 2 4 是 8 和 12 的公约数 4 是 8 和 12 的最大公约数 2 公倍数公倍数 最小公倍数最小公倍数 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个叫做这几个数的 最小公倍数 例 12 24 36 都是 4 和 6 的公倍数 12 是 4 和 6 的最小公倍数 互质数互质数 公约数只有 1 的两个数叫做互质数 互质数的几种特殊情况 两个数都是质数 这两个数一定互质 相邻的两个数互质 1 和任何数都互质 求最大公约数和最小公倍数的方法 求最大公约数和最小公倍数的方法 如果较小数是较大数的约数 那么较小数就是这两个数的最大公约数 较大数就是这两个数的最 小公倍数 例如 4 和 28 最大公约数是 4 最小公倍数是 28 如果两个数互质 它们的最大公约数就是 1 最小公倍数就是它们的积 例如 4 和 15 最大公约数是 1 最小公倍数是 60 短除法 例如 求 24 和 36 的最大公约数和最小公倍数 商互质 24 和 36 的最大公约数是 2 2 3 12 除数相乘 24 和 36 的最小公倍数是 2 2 3 2 3 72 所有的除数和商相乘 负数负数 1 1 负数 任何正数前加上负号都等于负数 负数 任何正数前加上负号都等于负数 在数轴线上 负数都在 0 的左侧 所有的负数都比 自然数小 负数用负号 标记 如 2 5 33 45 0 6 等 2 2 正数 大于 正数 大于 0 0 的数叫正数 不包括的数叫正数 不包括 0 0 数轴上 数轴上 0 0 右边的数叫做正数右边的数叫做正数 若一个数大于 零 0 则称它是一个正数 正数的前面可以加上正号 来表示 正数有无数个 其中分为正 整数 正分数和正小数 3 3 0 0 既不是正数 也不是负数 它是正 负数的界限 既不是正数 也不是负数 它是正 负数的界限 正数都大于 0 负数都小于 0 正数大于一切负数 4 4 数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫数轴 数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫数轴 所有的数都可以用数轴上的点来表示 也可以用数轴来比较两个数的大小 5 5 数轴的三要素 原点 单位长度 正方向 数轴的三要素 原点 单位长度 正方向 在数轴上表示的两个数 正方向的数大于负方向的数 不同数轴上的单位长度不一定相同 6 6 正数与负数的简单计算正数与负数的简单计算 例 1 今天北京最高气温是 11 度 最低气温是 8 度 这一天的温差是 度 A 3 B 19 C 8 例 2 下列数中 最接近 0 的一个数是 A 4 B 1 C 2 例 3 小明和小华玩 石头 剪刀 布 胜者记 1 分 输者记 1 分 玩 5 次 小明胜 3 次 输 2 次 他最后的得分是 分 A 3 B 1 C 2 D 1 例 4 一种饼干包装袋上标着 净重 150 5 克 表示这种饼干实际每袋最少不少于 克 A 145 B 150 C 155 例 5 一只梅花鹿从起点向前跳 5 米 再向后跳 4 米 又朝前跳 7 米 朝后跳 10 米 然后停下 休息 你知道梅花鹿停在起点前还是起点后 与起点相距几米 例 6 公交车上原来有若干人 上车的人数为正 下车的人数为负 5 人 3 人 5 人 8 人 10 人 6 人 4 人 7 人 3 人 2 人 经过十站后 车上人数比原来多或少多少人 小数小数 1 1 意义意义 把整数 1 平均分成 10 份 100 份 这样的一份或几份分别是十分之几 百分之几 可以用 小数表示 如 记作 0 1 记作 0 08 10 1 100 8 2 2 数位和计数单位数位和计数单位 小数点右边第一位是十分位 计数单位是十分之一 第二位是百分位 计数单位是百分之一 小数部分的最大计数单位是十分之一 没有最小的计数单位 小数部分有几个数位 就叫做几位小数 3 3 小数的读写小数的读写 读小数时 小数的整数部分按整数的读法来读 小数点读作 点 小数部分按照顺序读出每一个 数位上的数字 如 45 469 读作 四十五点四六九 写小数时 整数部分按照整数的写法来写 小数点写在个位右下角 小数部分顺次写出每一个数位 上的数字 4 4 小数的性质小数的性质 小数的末尾添上 0 或者去掉 0 小数的大小不变 运用小数的性质 可以在小数末尾添上 0 3 5 3 50 也可以把小数化简 3 500 3 5 5 5 小数点数位移动引起小数大小的变化小数点数位移动引起小数大小的变化 小数点向右 左 移动一位 两位 三位 原来的数就扩大 缩小 10 倍 100 倍 1000 倍 如果要把一个数扩大或缩小 10 倍 100 倍 只需要移动小数点 数位不够时用 0 补足 3 6 6 循环小数循环小数 一个小数的小数部分 从某一位起 有一个或几个数字依次不断重复出现 这样的数叫做循环小数 如 0 5555 7 23838 依次不断重复出现的数字叫做循环节 循环小数的简便记法 0 5555 记作 0 5 7 23838 记作 7 238 循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数纯循环小数 如 0 5 循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数混循环小数 如 7 238 7 7 小数的分类小数的分类 1 1 按小数位数是有限还是无限分按小数位数是有限还是无限分 2 2 按小数的整数部分是否为按小数的整数部分是否为 0 0 分分 8 8 小数的改写小数的改写 一个较大的多位数 为了读写方便 常常把它改写成用 万 或 亿 作单位的数 有时还可以根 据需要 省略这个数某一位后面的尾数 写成近似数 例如 把 76450000 改写成用 万 作单位的数是 7645 万 把 235800 改写成用 万 作单位的数是 23 58 万 235800 省略万位后面的尾数约为 24 万 把 34562800000 改写成用 亿 作单位的数后 保留两位小数是 345 63 亿 4 62975 保留两位小数是 4 63 4 62975 保留三位小数是 4 630 分数分数 1 1 分数的意义和分数单位分数的意义和分数单位 单位 1 一个物体 一个计量单位或是许多物体组成的一个整体 都可以用自然数 1 来表示 通 常我们把它叫做单位 1 分数 把单位 1 平均分成若干份 表示这样的一份或者几份的数 叫做分数 分数单位 把单位 1 平均分成若干份 表示其中的一份的数 分数各部分的名称 分子 表示所取的份数 分母 表示平均分的份数 分数线 2 2 分数与除法的关系分数与除法的关系 被除数被除数 除数除数 除数除数 0 0 表示 把单位把单位 1 1 平均分成平均分成 9 9 份份 取其中的取其中的 5 5 份份 9 5 米表示 把把 5 5 米平均分成米平均分成 9 9 份份 每份是每份是 5 5 米的米的 每份是每份是 米米 9 5 9 1 9 5 3 3 分数大小的比较分数大小的比较 分母相同的两个分数 分子大的分数比较大 分子相同的两个分数 分母小的分数比较大 通分 先求出原来几个分母的最小公倍数 然后把各个分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分 数 4 4 分数的分类分数的分类 真分数 分子比分母小 真分数 1 假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的份数 假分数 1 5 5 分数的基本性质分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数 零除外 分数的大小不变 一个分数的分母不变 分子乘以 3 则这个分数 扩大 3 倍 如果分子不变 分母除以 5 则这个分数 扩大 5 倍 6 6 最简分数最简分数 计算的结果 能约分的要约成最简分数最简分数 假分数的 一般要化成带分数或整数 判断一个最简分数能不能化成有限小数 分母中除了 2 和 5 以外 不含有其他的质因数 就能化 成有限小数 7 7 约分约分 把一个分数化成和它相等 但分子和分母都比较小的分数 约分的方法 1 用分子分母的公约数 1 除外 逐次去除分子和分母 直到得到最简分数为止 2 用分子和分母的最大公约数去除分子和分母 4 百分数百分数 1 1 意义意义 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分