初中数学竞赛辅导资料(66)

初中数学竞赛辅导资料 66 辅助圆 甲内容提要甲内容提要 1 经过两个点可以画无数个圆 经过三个点作圆 必须是不在同一直线上的三个点 可 以作一个圆 并且只能作一个圆 2 经过四点作圆 即四点共圆 有如下的判定定理 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上 圆的定义 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 推论 同斜边的直角三角形顶点共圆 斜边就是圆的直径 3 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质 常用的有 同弧所对的圆周角相等 圆内接四边形对角互补 外角等于内对角 圆心角 圆周角 弧 弦 弦心距的等量关系 圆中成比例线段定理 相交弦定理 切割线定理 4 证明 型如 ab cd m2常用切割线定理 乙例题乙例题 例 1 已知 点 O 是 ABC 的外心 BE CD 是高 求证 AO DE 证明 延长 AO 交 ABC 的外接圆于 F 连接 BF O 是 ABC 的外心 AF 是 ABC 外接圆的直径 ABF Rt BE CD 是高 BDC CEB Rt B C E D 四点共圆 同斜边的直角三角形顶点共圆 ADE ECB F AGD ABF Rt 即 AO DE 例 2 正方形 ABCD 的中心为 O 面积为 1989cm2 P 为正方形内的一点 且 OPB 45 PA PB 5 14 则 PB cm 1989 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题 解 OPB OAB 45 ABOP 四点共圆 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 APB AOB Rt 在 Rt APB 中 设 PA 为 5x 则 PB 是 14x 5x 2 14x 2 1989 解得 x 3 14x 42 PB 42 cm 例 3 已知 平行四边形 ABCD 中 CE AB 于 E AF BC 于 F 求证 AB AE CB CF AC2 证明 作 BG AC 交 AC 于 G CE AB AF BC G O C B A D F E B DC A O P B D A E C F G A F B G 和 B E C G 分别共圆 对角互补的四边形顶点共圆 根据切割线定理 得 AB AE AG AC CB CF CG AC AB AE CB CF AC AG CG AC2 例 4 已知 AD 是 Rt ABC 斜边的高 角平分线 BE 交 AD 于 F 求证 AE2 AB2 BE BF 分析 根据同角的余角相等 可证 AE AF 由射影定理 AB2 BD BC 故只要证 AE AF BD BC BE BF 创造应用切割线定理的条件 作 ABC 的 外接圆并延长 BE 交圆于 G 得 F D C G 四点共圆 BD BC BF BG 右边 BF BG BE BF BF BG BE BF EG 从而转为要证 AE AF BF BG 即 AF EG BF AE 只要证 AEG BFA 证明由同学自已完成 例 5 已知 从 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PA PB 切点 A 和 B 在 AB 上任取一点 C 经过点 C 作 OC 的垂线交 PA 于 M 交 PB 于 N 求证 OM ON 证明 连结 OA OB A B 是切点 OA PA OB PB 又 OC MN A M C O 和 B N O C 分别共圆 辅助圆可以不画 根据同弧所对的圆周角相等 得 OAC OMC ONC OBC OA OB OAC OBC OMC ONC OM ON 丙练习丙练习 66 1 已知 AD 是 ABC 的高 DE DF 分别是 ADB 和 ADC 的高 求证 B C F E 四点共圆 2 已知 两条线段 AB 和 CD 相交于点 P 且 PA PB PC PD 求证 A B C D 四点共圆 3 已知 O 和 O 相交于 A B 过点 A 作一直线交 O 于 C 交 O 于 D 分别 过 点 C 和点 D 作 O 和 O 的切线相交于点 P 求证 P C B D 四点在同一个圆上 4 已知 E 是正方形 ABCD 边 BC 上的一点 过点 E 作 AE 的垂线和 C 的外角平分 线交于点 F F A B C D E G l O J P A B C M N 求证 AE AF 5 已知 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的一点 过点 M 画两组对边的垂线段分 别交 AB CD 于 E F 交 AD BC 于 G H 求证 EG FH 6 已知 ABC 的三条高 AD BE CF 交于点 H 求证 BH BE CH CF BC2 7 已知 AB 是 O 的直径 C 是半圆上的一点 CD AB 于 D G 是 CD 上的一点 AG 的延长线交半圆于 H 求证 CD2 AD2 AG AH 8 已知 AD 是 ABC 的角平分线 求证 AD2 AB AC DB DC 9 已知 凸五边形 ABCDE 中 A 3 BC CD DE C D 180 2 求证 AC AD AE 三等分 A 1990 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题 10 求证 圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等 11 求证 圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积 托列密定理托列密定理 12 如图已知 圆内接四边形 ABCD 中 由 AB 上一点 M 作 MP BC MQ CD MR DA PR 交 MQ 于 N 求证 MA BM NR PN 1983 年福建省初中数学联赛题年福建省初中数学联赛题 13 如图已知 ACE CDE Rt 点