【高分秘笈】2013中考数学-解题方法及提分突破训练：换元法专题

1 解题方法及提分突破训练 换元法专题解题方法及提分突破训练 换元法专题 一 真题链接一 真题链接 1 2011 恩施州 解方程 x 1 2 5 x 1 4 0 时 我们可以将 x 1 看成一个整体 设 x 1 y 则原方程可化为 y2 5y 4 0 解得 y1 1 y2 4 当 y 1 时 即 x 1 1 解得 x 2 当 y 4 时 即 x 1 4 解得 x 5 所以原方程的解为 x1 2 x2 5 则利用这种方法求得方程 2x 5 2 4 2x 5 3 0 的解为 A x1 1 x2 3 B x1 2 x2 3C x1 3 x2 1 D x1 1 x2 2 2 2005 温州 用换元法解方程 x2 x 2 x2 x 6 时 如果设 x2 x y 那么原方程可变形为 A y2 y 6 0 B y2 y 6 0 C y2 y 6 0 D y2 y 6 0 3 2005 兰州 已知实数 x 满足 的值是 A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 D 2 4 已知 x2 y2 2 x2 y2 12 0 则 x2 y2 的值是 二 名词释义二 名词释义 概念 概念 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法 我们通常把未知数或变数称为元 所谓换元法 就是在一个比较复杂的数学式子中 用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子 使它简化 使问题易于解 决 经验 经验 换元法 可以运用于因式分解 解方程或方程组等方面 换元法是数学中重要的解题方法 对于一些较繁较难 的数学问题 若能根据问题的特点 进行巧妙的换元 则可以收到事半功倍的效果 现举例说明 详解 详解 换元法主要有双换元 整体换元 均值换元 倒数换元几种形式 下面结合例题一一讲解 三 典题事例三 典题事例 1 整体换元整体换元 例 1 分解因式 16 4a3a 2a3a 22 解 设 m2a3a 2 则 原式 4a3a 6a3a 2m 8m 16m6m16 6m m 222 1a 4a 6a3a 2 评注 此题还可以设 ma3a 2 或 m4a3a 2 或 m1a3a 2 运用换元法分解因式 是将原多项式中的 某一部分巧用一个字母进行代换 从而使原多项式的结构简化 进而便于分解因式 2 双换元 双换元 例 2 分解因式 ba ac 4 cb 2 解 设 qba pac 两式相加 则 qp cb 原式 a2cb ba ac qp pq4 qp 2222 例 3 解方程组 1 106 3 106 yxyx yxyx 解 设 m yx 6 n yx 10 原方程组可化为 1 3 nm nm 解得 2 1 n m 2 2 10 1 6 yx yx 即 20 6 yx yx 解得 7 13 y x 原方程组的解为 7 13 y x 而所谓双换元法 就是根据多项式的特征用两个字母 元 分别代换原多项式中的代数式 3 均值换元均值换元 例 4 解方程组 2 97177 1 1232 yx yx 解 由 可设 tx662 ty663 即 tx33 ty22 代入 得 97 22 17 33 7 tt 2 t 9233 x 2 222 y 原方程组的解为 2 9 y x 说明 本题若按常规设法 可设 tx 62 ty 63 此时 2 3 t x 3 2 t y 由于出现了分数 给运算带来 麻烦 因此设 tx662 ty663 此时 tx33 ty22 没有出现分类 使运算变得简捷 换元的作用 降次 化分式方程为整式方程 化繁为简 4 系数对称方程换元系数对称方程换元 例 5 解方程 分析 方程的系数相等 上面方程的系数是对称的 可以通过变形后 换元 变形 设 得 可解出方程 5 倒数换元倒数换元 例 6 分解因式 1 a7a14a7a 234 解 原式 2 22 a 1 a 7 14a7aa m a 1 a 14m7 2m a 14 a 1 a7 a 1 aa 22 2 22 设 12m7m a 22 3 1a4a 1a3a 4 a 1 a3 a 1 aa 4m 3m a 22 2 2 四 巩固强化 四 巩固强化 1 分解因式 15 7a 5a 3a 1a 2 分解因式 1 1 2 2 nmnm 3 解方程 02 7 7 2 2 2 2 x x x x 4 解方程 01742 2 3 22 xxx 5 解方程 3 4 3 2 1 xxxx 6 解方程组 3 23 18 yx yx 7 计算 2005 1 3 1 2 1 1 2006 1 3 1 2 1 2005 1 3 1 2 1 2006 1 3 1 2 1 1 8 解方程组 2 12 1 3 3 4 3 1 0 4 2 3 1 yx yx 9 解方程组 1 106 3 106 yxyx yxyx 10 解方程组 11 解方程组 2 97177 1 1232 yx yx 12 解方程 13 解方程 代入 求方程的解 并检验 1 52 2 23 5 10 52 3 23 4 yxyx yxyx 4 五 参考答案五 参考答案 真题链接答案 真题链接答案 1 解 2x 5 2 4 2x 5 3 0 设 y 2x 5 方程可以变为 y2 4y 3 0 y1 1 y2 3 当 y 1 时 即 2x 5 1 解得 x 2 当 y 3 时 即 2x 5 3 解得 x 1 所以原方程的解为 x1 2 x2 1 故选 D 2 解 把 x2 x 整体代换为 y y2 y 6 即 y2 y 6 0 故选 A 3 4 解 设 x2 y2 t 则由原方程 得 t2 t 12 0 t 3 t 4 0 t 3 0 或 t 4 0 解得 t 3 或 t 4 又 t 0 t 4 故选 B 巩固强化答案 巩固强化答案 1 解 原式 15 15a8a 7a8a 15 5a 3a 7a 1a 22 取 均值 设 11a8a 15a8a 7a8a 2 1 m 222 原式 1m 1m 1m1516m15 4m 4m 22 10a8a 6a 2a 10a8a 12a8a 222 2 解 设ynm 则 原式 1 1 2 2 yy 122 2 yy 32 2 yy 1 3 yy 5 1 3 nmnm 3 解 原方程可化为 02 1 72 1 2 2 x x x x 设y x x 1 则方程 化为 0672 2 yy 解方程 得 2 3 2 21 yy 当2 1 y时 2 1 x x 解得 21 x 当 2 3 2 y时 2 31 x x 解得 2 1 x或2 x 经检验 知21 1 x 21 2 x 2 1 3 x 2 4 x都是原方程的解 所以 原方程的解为21 1 x 21 2 x 2 1 3 x 2 4 x 4 解 原方程可化为 08742 74 3 22 xxxx 设yxx 74 2 则方程 化为 0823 2 yy 解方程 得 3 4 2 21 yy 当2 1 y时 274 2 xx 解得 3 1 21 xx 当 3 4 2 y时 6 3 4 74 2 xx 此方程无解 经检验 知3 1 21 xx都是原方程的解 所以 原方程的解为3 1 21 xx 5 解 原方程可化为 3 3 2 4 1 xxxx 即3 65 45 22 xxxx 设yxx 55 2 则方程 化为 3 1 1 yy 解得 2 y 当2 y时 255 2 xx 解方程 得 2 135 x 当2 y时 255 2 xx 0 方程 无实数根 因此 原方程的根为 2 135 2 135 21 xx 6 解 设vyux 2 3 则原方程组可化为 3 17 22 vu vu 2 1 由 2 得 vu 3 3 将 3 代入 1 得 17 3 22 vv 解得 4 1 21 vv 2 y不能为负 舍去 4 u 7 得 1 2 43 y x 解得 1 19 y x 经检验 知 1 19 y x 是原方程组的解 所以 原方程组的解为 1 19 y x 7 解 设x 2006 1 3 1 2 1 1 则 原式 2006 1 1 2006 1 1 xxxx 20062006 1 2006 22 x xxx x x 2006 1 8 解 由 得 4 2 3 1 yx 设k yx 4 2 3 1 则13 kx 24 ky 代入 得 12 1 3 324 4 313 kk 1 k 213 x 224 y 原方程组的解是 2 2 y x 9 解 设m yx 6 n yx 10 原方程组可化为 1 3 nm nm 解得 2 1 n m 2 10 1 6 yx yx 即 20 6 yx yx 解得 7 13 y x 原方程组的解为 7 13 y x 10 解 设 原方程组可化为 解得 yx a 23 1 yx b 52 1 125 1034 ba ba 2 1 b a 8 解得 11 解 由